Theorem isrhmd 14311

Description: Demonstration of ring homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrhmd.b	|- B = ( Base ` R )
isrhmd.o	|- .1. = ( 1r ` R )
isrhmd.n	|- N = ( 1r ` S )
isrhmd.t	|- .x. = ( .r ` R )
isrhmd.u	|- .X. = ( .r ` S )
isrhmd.r	|- ( ph -> R e. Ring )
isrhmd.s	|- ( ph -> S e. Ring )
isrhmd.ho	|- ( ph -> ( F ` .1. ) = N )
isrhmd.ht	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) .X. ( F ` y ) ) )
isrhmd.c	|- C = ( Base ` S )
isrhmd.p	|- .+ = ( +g ` R )
isrhmd.q	|- .+^ = ( +g ` S )
isrhmd.f	|- ( ph -> F : B --> C )
isrhmd.hp	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
isrhmd	|- ( ph -> F e. ( R RingHom S ) )

Distinct variable groups:   ph, x, y   x, B, y   x, C, y   x, F, y   x, .+ , y   x, .+^ , y   x, R, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   .x. ( x, y)   .X. ( x, y)   .1. ( x, y)   N( x, y)

Proof of Theorem isrhmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrhmd.b	. 2 |- B = ( Base ` R )
2		isrhmd.o	. 2 |- .1. = ( 1r ` R )
3		isrhmd.n	. 2 |- N = ( 1r ` S )
4		isrhmd.t	. 2 |- .x. = ( .r ` R )
5		isrhmd.u	. 2 |- .X. = ( .r ` S )
6		isrhmd.r	. 2 |- ( ph -> R e. Ring )
7		isrhmd.s	. 2 |- ( ph -> S e. Ring )
8		isrhmd.ho	. 2 |- ( ph -> ( F ` .1. ) = N )
9		isrhmd.ht	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) .X. ( F ` y ) ) )
10		isrhmd.c	. . 3 |- C = ( Base ` S )
11		isrhmd.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` R )
12		isrhmd.q	. . 3 |- .+^ = ( +g ` S )
13		ringgrp 14145	. . . 4 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
14	6, 13	syl 14	. . 3 |- ( ph -> R e. Grp )
15		ringgrp 14145	. . . 4 |- ( S e. Ring -> S e. Grp )
16	7, 15	syl 14	. . 3 |- ( ph -> S e. Grp )
17		isrhmd.f	. . 3 |- ( ph -> F : B --> C )
18		isrhmd.hp	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
19	1, 10, 11, 12, 14, 16, 17, 18	isghmd 13969	. 2 |- ( ph -> F e. ( R GrpHom S ) )
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19	isrhm2d 14310	1 |- ( ph -> F e. ( R RingHom S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   -->wf 5348   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Basecbs 13212   +g cplusg 13290   .rcmulr 13291   Grpcgrp 13713   1rcur 14103   Ringcrg 14140   RingHom crh 14295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-map 6884  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-0g 13471  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-mhm 13672  df-grp 13716  df-ghm 13958  df-mgp 14065  df-ur 14104  df-ring 14142  df-rhm 14297

This theorem is referenced by: (None)