Theorem isrhmd 14170

Description: Demonstration of ring homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrhmd.b	|- B = ( Base ` R )
isrhmd.o	|- .1. = ( 1r ` R )
isrhmd.n	|- N = ( 1r ` S )
isrhmd.t	|- .x. = ( .r ` R )
isrhmd.u	|- .X. = ( .r ` S )
isrhmd.r	|- ( ph -> R e. Ring )
isrhmd.s	|- ( ph -> S e. Ring )
isrhmd.ho	|- ( ph -> ( F ` .1. ) = N )
isrhmd.ht	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) .X. ( F ` y ) ) )
isrhmd.c	|- C = ( Base ` S )
isrhmd.p	|- .+ = ( +g ` R )
isrhmd.q	|- .+^ = ( +g ` S )
isrhmd.f	|- ( ph -> F : B --> C )
isrhmd.hp	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
isrhmd	|- ( ph -> F e. ( R RingHom S ) )

Distinct variable groups:   ph, x, y   x, B, y   x, C, y   x, F, y   x, .+ , y   x, .+^ , y   x, R, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   .x. ( x, y)   .X. ( x, y)   .1. ( x, y)   N( x, y)

Proof of Theorem isrhmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrhmd.b	. 2 |- B = ( Base ` R )
2		isrhmd.o	. 2 |- .1. = ( 1r ` R )
3		isrhmd.n	. 2 |- N = ( 1r ` S )
4		isrhmd.t	. 2 |- .x. = ( .r ` R )
5		isrhmd.u	. 2 |- .X. = ( .r ` S )
6		isrhmd.r	. 2 |- ( ph -> R e. Ring )
7		isrhmd.s	. 2 |- ( ph -> S e. Ring )
8		isrhmd.ho	. 2 |- ( ph -> ( F ` .1. ) = N )
9		isrhmd.ht	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) .X. ( F ` y ) ) )
10		isrhmd.c	. . 3 |- C = ( Base ` S )
11		isrhmd.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` R )
12		isrhmd.q	. . 3 |- .+^ = ( +g ` S )
13		ringgrp 14004	. . . 4 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
14	6, 13	syl 14	. . 3 |- ( ph -> R e. Grp )
15		ringgrp 14004	. . . 4 |- ( S e. Ring -> S e. Grp )
16	7, 15	syl 14	. . 3 |- ( ph -> S e. Grp )
17		isrhmd.f	. . 3 |- ( ph -> F : B --> C )
18		isrhmd.hp	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
19	1, 10, 11, 12, 14, 16, 17, 18	isghmd 13829	. 2 |- ( ph -> F e. ( R GrpHom S ) )
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19	isrhm2d 14169	1 |- ( ph -> F e. ( R RingHom S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   -->wf 5320   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   Basecbs 13072   +g cplusg 13150   .rcmulr 13151   Grpcgrp 13573   1rcur 13962   Ringcrg 13999   RingHom crh 14154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-map 6814  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-sets 13079  df-plusg 13163  df-mulr 13164  df-0g 13331  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mnd 13490  df-mhm 13532  df-grp 13576  df-ghm 13818  df-mgp 13924  df-ur 13963  df-ring 14001  df-rhm 14156

This theorem is referenced by: (None)