Theorem isrhmd 14179

Description: Demonstration of ring homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrhmd.b	|- B = ( Base ` R )
isrhmd.o	|- .1. = ( 1r ` R )
isrhmd.n	|- N = ( 1r ` S )
isrhmd.t	|- .x. = ( .r ` R )
isrhmd.u	|- .X. = ( .r ` S )
isrhmd.r	|- ( ph -> R e. Ring )
isrhmd.s	|- ( ph -> S e. Ring )
isrhmd.ho	|- ( ph -> ( F ` .1. ) = N )
isrhmd.ht	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) .X. ( F ` y ) ) )
isrhmd.c	|- C = ( Base ` S )
isrhmd.p	|- .+ = ( +g ` R )
isrhmd.q	|- .+^ = ( +g ` S )
isrhmd.f	|- ( ph -> F : B --> C )
isrhmd.hp	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
isrhmd	|- ( ph -> F e. ( R RingHom S ) )

Distinct variable groups:   ph, x, y   x, B, y   x, C, y   x, F, y   x, .+ , y   x, .+^ , y   x, R, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   .x. ( x, y)   .X. ( x, y)   .1. ( x, y)   N( x, y)

Proof of Theorem isrhmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrhmd.b	. 2 |- B = ( Base ` R )
2		isrhmd.o	. 2 |- .1. = ( 1r ` R )
3		isrhmd.n	. 2 |- N = ( 1r ` S )
4		isrhmd.t	. 2 |- .x. = ( .r ` R )
5		isrhmd.u	. 2 |- .X. = ( .r ` S )
6		isrhmd.r	. 2 |- ( ph -> R e. Ring )
7		isrhmd.s	. 2 |- ( ph -> S e. Ring )
8		isrhmd.ho	. 2 |- ( ph -> ( F ` .1. ) = N )
9		isrhmd.ht	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) .X. ( F ` y ) ) )
10		isrhmd.c	. . 3 |- C = ( Base ` S )
11		isrhmd.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` R )
12		isrhmd.q	. . 3 |- .+^ = ( +g ` S )
13		ringgrp 14013	. . . 4 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
14	6, 13	syl 14	. . 3 |- ( ph -> R e. Grp )
15		ringgrp 14013	. . . 4 |- ( S e. Ring -> S e. Grp )
16	7, 15	syl 14	. . 3 |- ( ph -> S e. Grp )
17		isrhmd.f	. . 3 |- ( ph -> F : B --> C )
18		isrhmd.hp	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
19	1, 10, 11, 12, 14, 16, 17, 18	isghmd 13838	. 2 |- ( ph -> F e. ( R GrpHom S ) )
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19	isrhm2d 14178	1 |- ( ph -> F e. ( R RingHom S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   +g cplusg 13159   .rcmulr 13160   Grpcgrp 13582   1rcur 13971   Ringcrg 14008   RingHom crh 14163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-map 6818  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-mhm 13541  df-grp 13585  df-ghm 13827  df-mgp 13933  df-ur 13972  df-ring 14010  df-rhm 14165

This theorem is referenced by: (None)