Theorem isrhmd 13722

Description: Demonstration of ring homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrhmd.b	|- B = ( Base ` R )
isrhmd.o	|- .1. = ( 1r ` R )
isrhmd.n	|- N = ( 1r ` S )
isrhmd.t	|- .x. = ( .r ` R )
isrhmd.u	|- .X. = ( .r ` S )
isrhmd.r	|- ( ph -> R e. Ring )
isrhmd.s	|- ( ph -> S e. Ring )
isrhmd.ho	|- ( ph -> ( F ` .1. ) = N )
isrhmd.ht	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) .X. ( F ` y ) ) )
isrhmd.c	|- C = ( Base ` S )
isrhmd.p	|- .+ = ( +g ` R )
isrhmd.q	|- .+^ = ( +g ` S )
isrhmd.f	|- ( ph -> F : B --> C )
isrhmd.hp	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
isrhmd	|- ( ph -> F e. ( R RingHom S ) )

Distinct variable groups:   ph, x, y   x, B, y   x, C, y   x, F, y   x, .+ , y   x, .+^ , y   x, R, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   .x. ( x, y)   .X. ( x, y)   .1. ( x, y)   N( x, y)

Proof of Theorem isrhmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isrhmd.b	. 2 |- B = ( Base ` R )
2		isrhmd.o	. 2 |- .1. = ( 1r ` R )
3		isrhmd.n	. 2 |- N = ( 1r ` S )
4		isrhmd.t	. 2 |- .x. = ( .r ` R )
5		isrhmd.u	. 2 |- .X. = ( .r ` S )
6		isrhmd.r	. 2 |- ( ph -> R e. Ring )
7		isrhmd.s	. 2 |- ( ph -> S e. Ring )
8		isrhmd.ho	. 2 |- ( ph -> ( F ` .1. ) = N )
9		isrhmd.ht	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F ` ( x .x. y ) ) = ( ( F ` x ) .X. ( F ` y ) ) )
10		isrhmd.c	. . 3 |- C = ( Base ` S )
11		isrhmd.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` R )
12		isrhmd.q	. . 3 |- .+^ = ( +g ` S )
13		ringgrp 13557	. . . 4 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
14	6, 13	syl 14	. . 3 |- ( ph -> R e. Grp )
15		ringgrp 13557	. . . 4 |- ( S e. Ring -> S e. Grp )
16	7, 15	syl 14	. . 3 |- ( ph -> S e. Grp )
17		isrhmd.f	. . 3 |- ( ph -> F : B --> C )
18		isrhmd.hp	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( F ` ( x .+ y ) ) = ( ( F ` x ) .+^ ( F ` y ) ) )
19	1, 10, 11, 12, 14, 16, 17, 18	isghmd 13382	. 2 |- ( ph -> F e. ( R GrpHom S ) )
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19	isrhm2d 13721	1 |- ( ph -> F e. ( R RingHom S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   .rcmulr 12756   Grpcgrp 13132   1rcur 13515   Ringcrg 13552   RingHom crh 13706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-map 6709  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-mhm 13091  df-grp 13135  df-ghm 13371  df-mgp 13477  df-ur 13516  df-ring 13554  df-rhm 13708

This theorem is referenced by: (None)