Theorem isghmd 13755

Description: Deduction for a group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isghmd.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
isghmd.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)
isghmd.a	⊢ + = (+g‘𝑆)
isghmd.b	⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)
isghmd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
isghmd.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Grp)
isghmd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
isghmd.l	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
isghmd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥, ⨣ ,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Proof of Theorem isghmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isghmd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
2		isghmd.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Grp)
3		isghmd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
4		isghmd.l	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
5	4	ralrimivva 2592	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
6	3, 5	jca 306	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦))))
7		isghmd.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
8		isghmd.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)
9		isghmd.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑆)
10		isghmd.b	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)
11	7, 8, 9, 10	isghm 13746	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))))
12	1, 2, 6, 11	syl21anbrc 1187	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ∀wral 2488  ⟶wf 5290  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  Basecbs 12998  +_gcplusg 13076  Grpcgrp 13499   GrpHom cghm 13743

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1re 8061  ax-addrcl 8064

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-inn 9079  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-ghm 13744

This theorem is referenced by:  ghmmhmb  13757  resghm  13763  conjghm  13779  qusghm  13785  ghmfghm  13829  invghm  13832  ringlghm  13990  ringrghm  13991  isrhmd  14095