Theorem isghmd 13841

Description: Deduction for a group homomorphism. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isghmd.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
isghmd.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)
isghmd.a	⊢ + = (+g‘𝑆)
isghmd.b	⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)
isghmd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
isghmd.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Grp)
isghmd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
isghmd.l	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
isghmd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑇,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥, ⨣ ,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Proof of Theorem isghmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isghmd.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
2		isghmd.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Grp)
3		isghmd.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶𝑌)
4		isghmd.l	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
5	4	ralrimivva 2614	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))
6	3, 5	jca 306	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦))))
7		isghmd.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑆)
8		isghmd.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑇)
9		isghmd.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑆)
10		isghmd.b	. . 3 ⊢ ⨣ = (+g‘𝑇)
11	7, 8, 9, 10	isghm 13832	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ↔ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑇 ∈ Grp) ∧ (𝐹:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 (𝐹‘(𝑥 + 𝑦)) = ((𝐹‘𝑥) ⨣ (𝐹‘𝑦)))))
12	1, 2, 6, 11	syl21anbrc 1208	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  Basecbs 13084  +_gcplusg 13162  Grpcgrp 13585   GrpHom cghm 13829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-inn 9144  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-ghm 13830

This theorem is referenced by:  ghmmhmb  13843  resghm  13849  conjghm  13865  qusghm  13871  ghmfghm  13915  invghm  13918  ringlghm  14077  ringrghm  14078  isrhmd  14183