Theorem zleltp1 9339

Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zleltp1	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> M < ( N + 1 ) ) )

Proof of Theorem zleltp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9288	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2		zre 9288	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
3		1re 7987	. . . 4 |- 1 e. RR
4		leadd1 8418	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( M <_ N <-> ( M + 1 ) <_ ( N + 1 ) ) )
5	3, 4	mp3an3 1337	. . 3 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M <_ N <-> ( M + 1 ) <_ ( N + 1 ) ) )
6	1, 2, 5	syl2an 289	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> ( M + 1 ) <_ ( N + 1 ) ) )
7		peano2z 9320	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
8		zltp1le 9338	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( M < ( N + 1 ) <-> ( M + 1 ) <_ ( N + 1 ) ) )
9	7, 8	sylan2 286	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < ( N + 1 ) <-> ( M + 1 ) <_ ( N + 1 ) ) )
10	6, 9	bitr4d 191	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> M < ( N + 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897   RRcr 7841   1c1 7843   + caddc 7845   < clt 8023   <_ cle 8024   ZZcz 9284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-ltadd 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-inn 8951  df-n0 9208  df-z 9285

This theorem is referenced by:  zltlem1  9341  nnleltp1  9343  nn0leltp1  9347  nn0lt10b  9364  suprzclex  9382  le9lt10  9441  fzdifsuc  10113  exbtwnz  10283  flqge  10315  btwnzge0  10333  flhalf  10335  frec2uzltd  10436  seq3f1olemqsumkj  10531  nn0ltexp2  10724  cvgratz  11575  ltoddhalfle  11933  zssinfcl  11984  prmind2  12155  prm23lt5  12298