Theorem zleltp1 9463

Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zleltp1	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> M < ( N + 1 ) ) )

Proof of Theorem zleltp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9411	. . 3 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
2		zre 9411	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
3		1re 8106	. . . 4 |- 1 e. RR
4		leadd1 8538	. . . 4 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( M <_ N <-> ( M + 1 ) <_ ( N + 1 ) ) )
5	3, 4	mp3an3 1339	. . 3 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( M <_ N <-> ( M + 1 ) <_ ( N + 1 ) ) )
6	1, 2, 5	syl2an 289	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> ( M + 1 ) <_ ( N + 1 ) ) )
7		peano2z 9443	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ZZ )
8		zltp1le 9462	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( M < ( N + 1 ) <-> ( M + 1 ) <_ ( N + 1 ) ) )
9	7, 8	sylan2 286	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < ( N + 1 ) <-> ( M + 1 ) <_ ( N + 1 ) ) )
10	6, 9	bitr4d 191	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> M < ( N + 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2178   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   RRcr 7959   1c1 7961   + caddc 7963   < clt 8142   <_ cle 8143   ZZcz 9407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408

This theorem is referenced by:  zltlem1  9465  nnleltp1  9467  nn0leltp1  9471  nn0lt10b  9488  suprzclex  9506  le9lt10  9565  fzdifsuc  10238  zssinfcl  10412  exbtwnz  10430  flqge  10462  btwnzge0  10480  flhalf  10482  frec2uzltd  10585  seq3f1olemqsumkj  10693  seqf1oglem1  10701  nn0ltexp2  10891  cvgratz  11958  ltoddhalfle  12319  prmind2  12557  prm23lt5  12701