Theorem le9lt10 9782

Description: A "decimal digit" (i.e. a nonnegative integer less than or equal to 9) is less then 10. (Contributed by AV, 8-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
le9lt10.c	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
le9lt10.e	⊢ 𝐴 ≤ 9

Assertion

Ref	Expression
le9lt10	⊢ 𝐴 < ;10

Proof of Theorem le9lt10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		le9lt10.e	. . 3 ⊢ 𝐴 ≤ 9
2		le9lt10.c	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3	2	nn0zi 9645	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℤ
4		9nn0 9566	. . . . 5 ⊢ 9 ∈ ℕ0
5	4	nn0zi 9645	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℤ
6		zleltp1 9679	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 9 ↔ 𝐴 < (9 + 1)))
7	3, 5, 6	mp2an 430	. . 3 ⊢ (𝐴 ≤ 9 ↔ 𝐴 < (9 + 1))
8	1, 7	mpbi 145	. 2 ⊢ 𝐴 < (9 + 1)
9		9p1e10 9758	. 2 ⊢ (9 + 1) = ;10
10	8, 9	breqtri 4150	1 ⊢ 𝐴 < ;10

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075  0cc0 8169  1c1 8170   + caddc 8172   < clt 8350   ≤ cle 8351  9c9 9341  ℕ₀cn0 9542  ℤcz 9623  ;cdc 9756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-dec 9757

This theorem is referenced by:  declth  9785  decltdi  9794