ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  le9lt10 GIF version

Theorem le9lt10 9176
Description: A "decimal digit" (i.e. a nonnegative integer less than or equal to 9) is less then 10. (Contributed by AV, 8-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
le9lt10.c 𝐴 ∈ ℕ0
le9lt10.e 𝐴 ≤ 9
Assertion
Ref Expression
le9lt10 𝐴 < 10

Proof of Theorem le9lt10
StepHypRef Expression
1 le9lt10.e . . 3 𝐴 ≤ 9
2 le9lt10.c . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
32nn0zi 9044 . . . 4 𝐴 ∈ ℤ
4 9nn0 8969 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
54nn0zi 9044 . . . 4 9 ∈ ℤ
6 zleltp1 9077 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ) → (𝐴 ≤ 9 ↔ 𝐴 < (9 + 1)))
73, 5, 6mp2an 422 . . 3 (𝐴 ≤ 9 ↔ 𝐴 < (9 + 1))
81, 7mpbi 144 . 2 𝐴 < (9 + 1)
9 9p1e10 9152 . 2 (9 + 1) = 10
108, 9breqtri 3923 1 𝐴 < 10
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wb 104  wcel 1465   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742  0cc0 7588  1c1 7589   + caddc 7591   < clt 7768  cle 7769  9c9 8746  0cn0 8945  cz 9022  cdc 9150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-5 8750  df-6 8751  df-7 8752  df-8 8753  df-9 8754  df-n0 8946  df-z 9023  df-dec 9151
This theorem is referenced by:  declth  9179  decltdi  9188
  Copyright terms: Public domain W3C validator