Theorem numltc 9200

Description: Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numlt.1	|- T e. NN
numlt.2	|- A e. NN0
numlt.3	|- B e. NN0
numltc.3	|- C e. NN0
numltc.4	|- D e. NN0
numltc.5	|- C < T
numltc.6	|- A < B

Assertion

Ref	Expression
numltc	|- ( ( T x. A ) + C ) < ( ( T x. B ) + D )

Proof of Theorem numltc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numlt.1	. . . . 5 |- T e. NN
2		numlt.2	. . . . 5 |- A e. NN0
3		numltc.3	. . . . 5 |- C e. NN0
4		numltc.5	. . . . 5 |- C < T
5	1, 2, 3, 1, 4	numlt 9199	. . . 4 |- ( ( T x. A ) + C ) < ( ( T x. A ) + T )
6	1	nnrei 8722	. . . . . . 7 |- T e. RR
7	6	recni 7771	. . . . . 6 |- T e. CC
8	2	nn0rei 8981	. . . . . . 7 |- A e. RR
9	8	recni 7771	. . . . . 6 |- A e. CC
10		ax-1cn 7706	. . . . . 6 |- 1 e. CC
11	7, 9, 10	adddii 7769	. . . . 5 |- ( T x. ( A + 1 ) ) = ( ( T x. A ) + ( T x. 1 ) )
12	7	mulid1i 7761	. . . . . 6 |- ( T x. 1 ) = T
13	12	oveq2i 5778	. . . . 5 |- ( ( T x. A ) + ( T x. 1 ) ) = ( ( T x. A ) + T )
14	11, 13	eqtri 2158	. . . 4 |- ( T x. ( A + 1 ) ) = ( ( T x. A ) + T )
15	5, 14	breqtrri 3950	. . 3 |- ( ( T x. A ) + C ) < ( T x. ( A + 1 ) )
16		numltc.6	. . . . 5 |- A < B
17		numlt.3	. . . . . 6 |- B e. NN0
18		nn0ltp1le 9109	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> ( A < B <-> ( A + 1 ) <_ B ) )
19	2, 17, 18	mp2an 422	. . . . 5 |- ( A < B <-> ( A + 1 ) <_ B )
20	16, 19	mpbi 144	. . . 4 |- ( A + 1 ) <_ B
21	1	nngt0i 8743	. . . . 5 |- 0 < T
22		peano2re 7891	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( A + 1 ) e. RR )
23	8, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( A + 1 ) e. RR
24	17	nn0rei 8981	. . . . . 6 |- B e. RR
25	23, 24, 6	lemul2i 8676	. . . . 5 |- ( 0 < T -> ( ( A + 1 ) <_ B <-> ( T x. ( A + 1 ) ) <_ ( T x. B ) ) )
26	21, 25	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( A + 1 ) <_ B <-> ( T x. ( A + 1 ) ) <_ ( T x. B ) )
27	20, 26	mpbi 144	. . 3 |- ( T x. ( A + 1 ) ) <_ ( T x. B )
28	6, 8	remulcli 7773	. . . . 5 |- ( T x. A ) e. RR
29	3	nn0rei 8981	. . . . 5 |- C e. RR
30	28, 29	readdcli 7772	. . . 4 |- ( ( T x. A ) + C ) e. RR
31	6, 23	remulcli 7773	. . . 4 |- ( T x. ( A + 1 ) ) e. RR
32	6, 24	remulcli 7773	. . . 4 |- ( T x. B ) e. RR
33	30, 31, 32	ltletri 7863	. . 3 |- ( ( ( ( T x. A ) + C ) < ( T x. ( A + 1 ) ) /\ ( T x. ( A + 1 ) ) <_ ( T x. B ) ) -> ( ( T x. A ) + C ) < ( T x. B ) )
34	15, 27, 33	mp2an 422	. 2 |- ( ( T x. A ) + C ) < ( T x. B )
35		numltc.4	. . 3 |- D e. NN0
36	32, 35	nn0addge1i 9018	. 2 |- ( T x. B ) <_ ( ( T x. B ) + D )
37	35	nn0rei 8981	. . . 4 |- D e. RR
38	32, 37	readdcli 7772	. . 3 |- ( ( T x. B ) + D ) e. RR
39	30, 32, 38	ltletri 7863	. 2 |- ( ( ( ( T x. A ) + C ) < ( T x. B ) /\ ( T x. B ) <_ ( ( T x. B ) + D ) ) -> ( ( T x. A ) + C ) < ( ( T x. B ) + D ) )
40	34, 36, 39	mp2an 422	1 |- ( ( T x. A ) + C ) < ( ( T x. B ) + D )

Syntax hints:   <-> wb 104   e. wcel 1480   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   RRcr 7612   0cc0 7613   1c1 7614   + caddc 7616   x. cmul 7618   < clt 7793   <_ cle 7794   NNcn 8713   NN0cn0 8970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048

This theorem is referenced by:  decltc  9203  numlti  9211