Theorem numltc 9347

Description: Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numlt.1	|- T e. NN
numlt.2	|- A e. NN0
numlt.3	|- B e. NN0
numltc.3	|- C e. NN0
numltc.4	|- D e. NN0
numltc.5	|- C < T
numltc.6	|- A < B

Assertion

Ref	Expression
numltc	|- ( ( T x. A ) + C ) < ( ( T x. B ) + D )

Proof of Theorem numltc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numlt.1	. . . . 5 |- T e. NN
2		numlt.2	. . . . 5 |- A e. NN0
3		numltc.3	. . . . 5 |- C e. NN0
4		numltc.5	. . . . 5 |- C < T
5	1, 2, 3, 1, 4	numlt 9346	. . . 4 |- ( ( T x. A ) + C ) < ( ( T x. A ) + T )
6	1	nnrei 8866	. . . . . . 7 |- T e. RR
7	6	recni 7911	. . . . . 6 |- T e. CC
8	2	nn0rei 9125	. . . . . . 7 |- A e. RR
9	8	recni 7911	. . . . . 6 |- A e. CC
10		ax-1cn 7846	. . . . . 6 |- 1 e. CC
11	7, 9, 10	adddii 7909	. . . . 5 |- ( T x. ( A + 1 ) ) = ( ( T x. A ) + ( T x. 1 ) )
12	7	mulid1i 7901	. . . . . 6 |- ( T x. 1 ) = T
13	12	oveq2i 5853	. . . . 5 |- ( ( T x. A ) + ( T x. 1 ) ) = ( ( T x. A ) + T )
14	11, 13	eqtri 2186	. . . 4 |- ( T x. ( A + 1 ) ) = ( ( T x. A ) + T )
15	5, 14	breqtrri 4009	. . 3 |- ( ( T x. A ) + C ) < ( T x. ( A + 1 ) )
16		numltc.6	. . . . 5 |- A < B
17		numlt.3	. . . . . 6 |- B e. NN0
18		nn0ltp1le 9253	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN0 ) -> ( A < B <-> ( A + 1 ) <_ B ) )
19	2, 17, 18	mp2an 423	. . . . 5 |- ( A < B <-> ( A + 1 ) <_ B )
20	16, 19	mpbi 144	. . . 4 |- ( A + 1 ) <_ B
21	1	nngt0i 8887	. . . . 5 |- 0 < T
22		peano2re 8034	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( A + 1 ) e. RR )
23	8, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( A + 1 ) e. RR
24	17	nn0rei 9125	. . . . . 6 |- B e. RR
25	23, 24, 6	lemul2i 8820	. . . . 5 |- ( 0 < T -> ( ( A + 1 ) <_ B <-> ( T x. ( A + 1 ) ) <_ ( T x. B ) ) )
26	21, 25	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( A + 1 ) <_ B <-> ( T x. ( A + 1 ) ) <_ ( T x. B ) )
27	20, 26	mpbi 144	. . 3 |- ( T x. ( A + 1 ) ) <_ ( T x. B )
28	6, 8	remulcli 7913	. . . . 5 |- ( T x. A ) e. RR
29	3	nn0rei 9125	. . . . 5 |- C e. RR
30	28, 29	readdcli 7912	. . . 4 |- ( ( T x. A ) + C ) e. RR
31	6, 23	remulcli 7913	. . . 4 |- ( T x. ( A + 1 ) ) e. RR
32	6, 24	remulcli 7913	. . . 4 |- ( T x. B ) e. RR
33	30, 31, 32	ltletri 8005	. . 3 |- ( ( ( ( T x. A ) + C ) < ( T x. ( A + 1 ) ) /\ ( T x. ( A + 1 ) ) <_ ( T x. B ) ) -> ( ( T x. A ) + C ) < ( T x. B ) )
34	15, 27, 33	mp2an 423	. 2 |- ( ( T x. A ) + C ) < ( T x. B )
35		numltc.4	. . 3 |- D e. NN0
36	32, 35	nn0addge1i 9162	. 2 |- ( T x. B ) <_ ( ( T x. B ) + D )
37	35	nn0rei 9125	. . . 4 |- D e. RR
38	32, 37	readdcli 7912	. . 3 |- ( ( T x. B ) + D ) e. RR
39	30, 32, 38	ltletri 8005	. 2 |- ( ( ( ( T x. A ) + C ) < ( T x. B ) /\ ( T x. B ) <_ ( ( T x. B ) + D ) ) -> ( ( T x. A ) + C ) < ( ( T x. B ) + D ) )
40	34, 36, 39	mp2an 423	1 |- ( ( T x. A ) + C ) < ( ( T x. B ) + D )

Syntax hints:   <-> wb 104   e. wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   x. cmul 7758   < clt 7933   <_ cle 7934   NNcn 8857   NN0cn0 9114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192

This theorem is referenced by:  decltc  9350  numlti  9358