ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bernneq2 Unicode version
Theorem bernneq2 11120
Description: Variation of Bernoulli's inequality bernneq 11119. (Contributed by NM, 18-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
bernneq2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> ( ( ( A - 1 ) x. N ) + 1 ) <_ ( A ^ N ) )
Proof of Theorem bernneq2
StepHypRef Expression
1 peano2rem 8600 . . . 4 |- ( A e. RR -> ( A - 1 ) e. RR )
213ad2ant1 1049 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> ( A - 1 ) e. RR )
3 simp2 1029 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> N e. NN0 )
4 df-neg 8507 . . . . 5 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
5 0re 8332 . . . . . . 7 |- 0 e. RR
6 1re 8331 . . . . . . 7 |- 1 e. RR
7 lesub1 8791 . . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( 0 <_ A <-> ( 0 - 1 ) <_ ( A - 1 ) ) )
85, 6, 7mp3an13 1369 . . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ A <-> ( 0 - 1 ) <_ ( A - 1 ) ) )
98biimpa 296 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( 0 - 1 ) <_ ( A - 1 ) )
104, 9eqbrtrid 4166 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> -u 1 <_ ( A - 1 ) )
11103adant2 1047 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> -u 1 <_ ( A - 1 ) )
12 bernneq 11119 . . 3 |- ( ( ( A - 1 ) e. RR /\ N e. NN0 /\ -u 1 <_ ( A - 1 ) ) -> ( 1 + ( ( A - 1 ) x. N ) ) <_ ( ( 1 + ( A - 1 ) ) ^ N ) )
132, 3, 11, 12syl3anc 1278 . 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> ( 1 + ( ( A - 1 ) x. N ) ) <_ ( ( 1 + ( A - 1 ) ) ^ N ) )
14 ax-1cn 8278 . . . 4 |- 1 e. CC
151recnd 8360 . . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A - 1 ) e. CC )
16 nn0cn 9584 . . . . 5 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
17 mulcl 8312 . . . . 5 |- ( ( ( A - 1 ) e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( A - 1 ) x. N ) e. CC )
1815, 16, 17syl2an 289 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( ( A - 1 ) x. N ) e. CC )
19 addcom 8470 . . . 4 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( A - 1 ) x. N ) e. CC ) -> ( 1 + ( ( A - 1 ) x. N ) ) = ( ( ( A - 1 ) x. N ) + 1 ) )
2014, 18, 19sylancr 418 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( 1 + ( ( A - 1 ) x. N ) ) = ( ( ( A - 1 ) x. N ) + 1 ) )
21203adant3 1048 . 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> ( 1 + ( ( A - 1 ) x. N ) ) = ( ( ( A - 1 ) x. N ) + 1 ) )
22 recn 8318 . . . . 5 |- ( A e. RR -> A e. CC )
23 pncan3 8541 . . . . 5 |- ( ( 1 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 1 + ( A - 1 ) ) = A )
2414, 22, 23sylancr 418 . . . 4 |- ( A e. RR -> ( 1 + ( A - 1 ) ) = A )
2524oveq1d 6103 . . 3 |- ( A e. RR -> ( ( 1 + ( A - 1 ) ) ^ N ) = ( A ^ N ) )
26253ad2ant1 1049 . 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> ( ( 1 + ( A - 1 ) ) ^ N ) = ( A ^ N ) )
2713, 21, 263brtr3d 4162 1 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> ( ( ( A - 1 ) x. N ) + 1 ) <_ ( A ^ N ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   CCcc 8183   RRcr 8184   0cc0 8185   1c1 8186   + caddc 8188   x. cmul 8190   <_ cle 8367   - cmin 8504   -ucneg 8505   NN0cn0 9574   ^cexp 10996
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-seqfrec 10906  df-exp 10997
This theorem is used by:  bernneq3  11121  expnbnd  11122  expcnvap0  12294  cvgratnnlembern  12315
  Copyright terms: Public domain W3C validator