ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bernneq2 Unicode version

Theorem bernneq2 10597
Description: Variation of Bernoulli's inequality bernneq 10596. (Contributed by NM, 18-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
bernneq2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  (
( ( A  - 
1 )  x.  N
)  +  1 )  <_  ( A ^ N ) )

Proof of Theorem bernneq2
StepHypRef Expression
1 peano2rem 8186 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
213ad2ant1 1013 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
3 simp2 993 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  N  e.  NN0 )
4 df-neg 8093 . . . . 5  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
5 0re 7920 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
6 1re 7919 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
7 lesub1 8375 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
0  <_  A  <->  ( 0  -  1 )  <_ 
( A  -  1 ) ) )
85, 6, 7mp3an13 1323 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  ( 0  -  1 )  <_ 
( A  -  1 ) ) )
98biimpa 294 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( 0  -  1 )  <_  ( A  -  1 ) )
104, 9eqbrtrid 4024 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  -u 1  <_  ( A  -  1 ) )
11103adant2 1011 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  -u 1  <_  ( A  -  1 ) )
12 bernneq 10596 . . 3  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  -u 1  <_  ( A  -  1 ) )  ->  (
1  +  ( ( A  -  1 )  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  ( A  - 
1 ) ) ^ N ) )
132, 3, 11, 12syl3anc 1233 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  (
1  +  ( ( A  -  1 )  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  ( A  - 
1 ) ) ^ N ) )
14 ax-1cn 7867 . . . 4  |-  1  e.  CC
151recnd 7948 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
16 nn0cn 9145 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
17 mulcl 7901 . . . . 5  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( A  - 
1 )  x.  N
)  e.  CC )
1815, 16, 17syl2an 287 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( A  - 
1 )  x.  N
)  e.  CC )
19 addcom 8056 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( A  - 
1 )  x.  N
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( ( A  - 
1 )  x.  N
) )  =  ( ( ( A  - 
1 )  x.  N
)  +  1 ) )
2014, 18, 19sylancr 412 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( ( A  -  1 )  x.  N ) )  =  ( ( ( A  -  1 )  x.  N )  +  1 ) )
21203adant3 1012 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  (
1  +  ( ( A  -  1 )  x.  N ) )  =  ( ( ( A  -  1 )  x.  N )  +  1 ) )
22 recn 7907 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
23 pncan3 8127 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( A  -  1 ) )  =  A )
2414, 22, 23sylancr 412 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  +  ( A  -  1 ) )  =  A )
2524oveq1d 5868 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 1  +  ( A  -  1 ) ) ^ N )  =  ( A ^ N ) )
26253ad2ant1 1013 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  (
( 1  +  ( A  -  1 ) ) ^ N )  =  ( A ^ N ) )
2713, 21, 263brtr3d 4020 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  (
( ( A  - 
1 )  x.  N
)  +  1 )  <_  ( A ^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 973    = wceq 1348    e. wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775    + caddc 7777    x. cmul 7779    <_ cle 7955    - cmin 8090   -ucneg 8091   NN0cn0 9135   ^cexp 10475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-seqfrec 10402  df-exp 10476
This theorem is referenced by:  bernneq3  10598  expnbnd  10599  expcnvap0  11465  cvgratnnlembern  11486
  Copyright terms: Public domain W3C validator