Theorem bernneq2 10656

Description: Variation of Bernoulli's inequality bernneq 10655. (Contributed by NM, 18-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
bernneq2	|- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> ( ( ( A - 1 ) x. N ) + 1 ) <_ ( A ^ N ) )

Proof of Theorem bernneq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2rem 8238	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A - 1 ) e. RR )
2	1	3ad2ant1 1019	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> ( A - 1 ) e. RR )
3		simp2 999	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> N e. NN0 )
4		df-neg 8145	. . . . 5 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
5		0re 7971	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
6		1re 7970	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
7		lesub1 8427	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( 0 <_ A <-> ( 0 - 1 ) <_ ( A - 1 ) ) )
8	5, 6, 7	mp3an13 1338	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ A <-> ( 0 - 1 ) <_ ( A - 1 ) ) )
9	8	biimpa 296	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( 0 - 1 ) <_ ( A - 1 ) )
10	4, 9	eqbrtrid 4050	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> -u 1 <_ ( A - 1 ) )
11	10	3adant2 1017	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> -u 1 <_ ( A - 1 ) )
12		bernneq 10655	. . 3 |- ( ( ( A - 1 ) e. RR /\ N e. NN0 /\ -u 1 <_ ( A - 1 ) ) -> ( 1 + ( ( A - 1 ) x. N ) ) <_ ( ( 1 + ( A - 1 ) ) ^ N ) )
13	2, 3, 11, 12	syl3anc 1248	. 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> ( 1 + ( ( A - 1 ) x. N ) ) <_ ( ( 1 + ( A - 1 ) ) ^ N ) )
14		ax-1cn 7918	. . . 4 |- 1 e. CC
15	1	recnd 8000	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A - 1 ) e. CC )
16		nn0cn 9200	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
17		mulcl 7952	. . . . 5 |- ( ( ( A - 1 ) e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( A - 1 ) x. N ) e. CC )
18	15, 16, 17	syl2an 289	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( ( A - 1 ) x. N ) e. CC )
19		addcom 8108	. . . 4 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( A - 1 ) x. N ) e. CC ) -> ( 1 + ( ( A - 1 ) x. N ) ) = ( ( ( A - 1 ) x. N ) + 1 ) )
20	14, 18, 19	sylancr 414	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( 1 + ( ( A - 1 ) x. N ) ) = ( ( ( A - 1 ) x. N ) + 1 ) )
21	20	3adant3 1018	. 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> ( 1 + ( ( A - 1 ) x. N ) ) = ( ( ( A - 1 ) x. N ) + 1 ) )
22		recn 7958	. . . . 5 |- ( A e. RR -> A e. CC )
23		pncan3 8179	. . . . 5 |- ( ( 1 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 1 + ( A - 1 ) ) = A )
24	14, 22, 23	sylancr 414	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( 1 + ( A - 1 ) ) = A )
25	24	oveq1d 5903	. . 3 |- ( A e. RR -> ( ( 1 + ( A - 1 ) ) ^ N ) = ( A ^ N ) )
26	25	3ad2ant1 1019	. 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> ( ( 1 + ( A - 1 ) ) ^ N ) = ( A ^ N ) )
27	13, 21, 26	3brtr3d 4046	1 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> ( ( ( A - 1 ) x. N ) + 1 ) <_ ( A ^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 979   = wceq 1363   e. wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888   CCcc 7823   RRcr 7824   0cc0 7825   1c1 7826   + caddc 7828   x. cmul 7830   <_ cle 8007   - cmin 8142   -ucneg 8143   NN0cn0 9190   ^cexp 10533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-seqfrec 10460  df-exp 10534

This theorem is referenced by:  bernneq3  10657  expnbnd  10658  expcnvap0  11524  cvgratnnlembern  11545