Theorem bernneq2 10576

Description: Variation of Bernoulli's inequality bernneq 10575. (Contributed by NM, 18-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
bernneq2	|- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> ( ( ( A - 1 ) x. N ) + 1 ) <_ ( A ^ N ) )

Proof of Theorem bernneq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2rem 8165	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A - 1 ) e. RR )
2	1	3ad2ant1 1008	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> ( A - 1 ) e. RR )
3		simp2 988	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> N e. NN0 )
4		df-neg 8072	. . . . 5 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
5		0re 7899	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
6		1re 7898	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
7		lesub1 8354	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( 0 <_ A <-> ( 0 - 1 ) <_ ( A - 1 ) ) )
8	5, 6, 7	mp3an13 1318	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ A <-> ( 0 - 1 ) <_ ( A - 1 ) ) )
9	8	biimpa 294	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( 0 - 1 ) <_ ( A - 1 ) )
10	4, 9	eqbrtrid 4017	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> -u 1 <_ ( A - 1 ) )
11	10	3adant2 1006	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> -u 1 <_ ( A - 1 ) )
12		bernneq 10575	. . 3 |- ( ( ( A - 1 ) e. RR /\ N e. NN0 /\ -u 1 <_ ( A - 1 ) ) -> ( 1 + ( ( A - 1 ) x. N ) ) <_ ( ( 1 + ( A - 1 ) ) ^ N ) )
13	2, 3, 11, 12	syl3anc 1228	. 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> ( 1 + ( ( A - 1 ) x. N ) ) <_ ( ( 1 + ( A - 1 ) ) ^ N ) )
14		ax-1cn 7846	. . . 4 |- 1 e. CC
15	1	recnd 7927	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A - 1 ) e. CC )
16		nn0cn 9124	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
17		mulcl 7880	. . . . 5 |- ( ( ( A - 1 ) e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( A - 1 ) x. N ) e. CC )
18	15, 16, 17	syl2an 287	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( ( A - 1 ) x. N ) e. CC )
19		addcom 8035	. . . 4 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( A - 1 ) x. N ) e. CC ) -> ( 1 + ( ( A - 1 ) x. N ) ) = ( ( ( A - 1 ) x. N ) + 1 ) )
20	14, 18, 19	sylancr 411	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( 1 + ( ( A - 1 ) x. N ) ) = ( ( ( A - 1 ) x. N ) + 1 ) )
21	20	3adant3 1007	. 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> ( 1 + ( ( A - 1 ) x. N ) ) = ( ( ( A - 1 ) x. N ) + 1 ) )
22		recn 7886	. . . . 5 |- ( A e. RR -> A e. CC )
23		pncan3 8106	. . . . 5 |- ( ( 1 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 1 + ( A - 1 ) ) = A )
24	14, 22, 23	sylancr 411	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( 1 + ( A - 1 ) ) = A )
25	24	oveq1d 5857	. . 3 |- ( A e. RR -> ( ( 1 + ( A - 1 ) ) ^ N ) = ( A ^ N ) )
26	25	3ad2ant1 1008	. 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> ( ( 1 + ( A - 1 ) ) ^ N ) = ( A ^ N ) )
27	13, 21, 26	3brtr3d 4013	1 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> ( ( ( A - 1 ) x. N ) + 1 ) <_ ( A ^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   CCcc 7751   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   x. cmul 7758   <_ cle 7934   - cmin 8069   -ucneg 8070   NN0cn0 9114   ^cexp 10454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-seqfrec 10381  df-exp 10455

This theorem is referenced by:  bernneq3  10577  expnbnd  10578  expcnvap0  11443  cvgratnnlembern  11464