Theorem bernneq2 10539

Description: Variation of Bernoulli's inequality bernneq 10538. (Contributed by NM, 18-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
bernneq2	|- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> ( ( ( A - 1 ) x. N ) + 1 ) <_ ( A ^ N ) )

Proof of Theorem bernneq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2rem 8142	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( A - 1 ) e. RR )
2	1	3ad2ant1 1003	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> ( A - 1 ) e. RR )
3		simp2 983	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> N e. NN0 )
4		df-neg 8049	. . . . 5 |- -u 1 = ( 0 - 1 )
5		0re 7878	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
6		1re 7877	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
7		lesub1 8331	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ A e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( 0 <_ A <-> ( 0 - 1 ) <_ ( A - 1 ) ) )
8	5, 6, 7	mp3an13 1310	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ A <-> ( 0 - 1 ) <_ ( A - 1 ) ) )
9	8	biimpa 294	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( 0 - 1 ) <_ ( A - 1 ) )
10	4, 9	eqbrtrid 3999	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> -u 1 <_ ( A - 1 ) )
11	10	3adant2 1001	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> -u 1 <_ ( A - 1 ) )
12		bernneq 10538	. . 3 |- ( ( ( A - 1 ) e. RR /\ N e. NN0 /\ -u 1 <_ ( A - 1 ) ) -> ( 1 + ( ( A - 1 ) x. N ) ) <_ ( ( 1 + ( A - 1 ) ) ^ N ) )
13	2, 3, 11, 12	syl3anc 1220	. 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> ( 1 + ( ( A - 1 ) x. N ) ) <_ ( ( 1 + ( A - 1 ) ) ^ N ) )
14		ax-1cn 7825	. . . 4 |- 1 e. CC
15	1	recnd 7906	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A - 1 ) e. CC )
16		nn0cn 9100	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
17		mulcl 7859	. . . . 5 |- ( ( ( A - 1 ) e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( A - 1 ) x. N ) e. CC )
18	15, 16, 17	syl2an 287	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( ( A - 1 ) x. N ) e. CC )
19		addcom 8012	. . . 4 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( A - 1 ) x. N ) e. CC ) -> ( 1 + ( ( A - 1 ) x. N ) ) = ( ( ( A - 1 ) x. N ) + 1 ) )
20	14, 18, 19	sylancr 411	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( 1 + ( ( A - 1 ) x. N ) ) = ( ( ( A - 1 ) x. N ) + 1 ) )
21	20	3adant3 1002	. 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> ( 1 + ( ( A - 1 ) x. N ) ) = ( ( ( A - 1 ) x. N ) + 1 ) )
22		recn 7865	. . . . 5 |- ( A e. RR -> A e. CC )
23		pncan3 8083	. . . . 5 |- ( ( 1 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 1 + ( A - 1 ) ) = A )
24	14, 22, 23	sylancr 411	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( 1 + ( A - 1 ) ) = A )
25	24	oveq1d 5839	. . 3 |- ( A e. RR -> ( ( 1 + ( A - 1 ) ) ^ N ) = ( A ^ N ) )
26	25	3ad2ant1 1003	. 2 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> ( ( 1 + ( A - 1 ) ) ^ N ) = ( A ^ N ) )
27	13, 21, 26	3brtr3d 3995	1 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> ( ( ( A - 1 ) x. N ) + 1 ) <_ ( A ^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1335   e. wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5824   CCcc 7730   RRcr 7731   0cc0 7732   1c1 7733   + caddc 7735   x. cmul 7737   <_ cle 7913   - cmin 8046   -ucneg 8047   NN0cn0 9090   ^cexp 10418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-seqfrec 10345  df-exp 10419

This theorem is referenced by:  bernneq3  10540  expnbnd  10541  expcnvap0  11399  cvgratnnlembern  11420