Theorem posdif 8677

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
posdif	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )

Proof of Theorem posdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubcl 8485	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B - A ) e. RR )
2	1	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B - A ) e. RR )
3		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A e. RR )
4		ltaddpos 8674	. . 3 |- ( ( ( B - A ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 < ( B - A ) <-> A < ( A + ( B - A ) ) ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 < ( B - A ) <-> A < ( A + ( B - A ) ) ) )
6		recn 8208	. . . 4 |- ( A e. RR -> A e. CC )
7		recn 8208	. . . 4 |- ( B e. RR -> B e. CC )
8		pncan3 8429	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + ( B - A ) ) = B )
9	6, 7, 8	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + ( B - A ) ) = B )
10	9	breq2d 4105	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < ( A + ( B - A ) ) <-> A < B ) )
11	5, 10	bitr2d 189	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   CCcc 8073   RRcr 8074   0cc0 8075   + caddc 8078   < clt 8256   - cmin 8392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-ltxr 8261  df-sub 8394  df-neg 8395

This theorem is referenced by:  posdifi  8720  posdifd  8754  nnsub  9224  znnsub  9575  difrp  9971  xposdif  10161  eluzgtdifelfzo  10488  subfzo0  10534  pfxccatin12lem3  11362  efltim  12322  cos01gt0  12387  ndvdsadd  12555  nn0seqcvgd  12676  sinq12gt0  15624  cosq14gt0  15626  logdivlti  15675  perfectlem2  15797