ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  posdif Unicode version

Theorem posdif 7854
Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
posdif  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )

Proof of Theorem posdif
StepHypRef Expression
1 resubcl 7667 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
21ancoms 264 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
3 simpl 107 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
4 ltaddpos 7851 . . 3  |-  ( ( ( B  -  A
)  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <  ( B  -  A )  <->  A  <  ( A  +  ( B  -  A
) ) ) )
52, 3, 4syl2anc 403 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 0  <  ( B  -  A )  <->  A  <  ( A  +  ( B  -  A
) ) ) )
6 recn 7396 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
7 recn 7396 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
8 pncan3 7611 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )
96, 7, 8syl2an 283 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  ( B  -  A ) )  =  B )
109breq2d 3826 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  ( A  +  ( B  -  A ) )  <->  A  <  B ) )
115, 10bitr2d 187 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  0  <  ( B  -  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1287    e. wcel 1436   class class class wbr 3814  (class class class)co 5594   CCcc 7269   RRcr 7270   0cc0 7271    + caddc 7274    < clt 7443    - cmin 7574
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-addcom 7366  ax-addass 7368  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-cnre 7377  ax-pre-ltadd 7382
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-br 3815  df-opab 3869  df-id 4087  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-ltxr 7448  df-sub 7576  df-neg 7577
This theorem is referenced by:  posdifi  7894  posdifd  7927  nnsub  8372  znnsub  8711  difrp  9079  eluzgtdifelfzo  9511  subfzo0  9556  ndvdsadd  10725  nn0seqcvgd  10817
  Copyright terms: Public domain W3C validator