Theorem posdif 8790

Description: Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
posdif	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )

Proof of Theorem posdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubcl 8597	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B - A ) e. RR )
2	1	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B - A ) e. RR )
3		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A e. RR )
4		ltaddpos 8787	. . 3 |- ( ( ( B - A ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( 0 < ( B - A ) <-> A < ( A + ( B - A ) ) ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 415	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( 0 < ( B - A ) <-> A < ( A + ( B - A ) ) ) )
6		recn 8318	. . . 4 |- ( A e. RR -> A e. CC )
7		recn 8318	. . . 4 |- ( B e. RR -> B e. CC )
8		pncan3 8541	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + ( B - A ) ) = B )
9	6, 7, 8	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A + ( B - A ) ) = B )
10	9	breq2d 4143	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < ( A + ( B - A ) ) <-> A < B ) )
11	5, 10	bitr2d 189	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   CCcc 8183   RRcr 8184   0cc0 8185   + caddc 8188   < clt 8366   - cmin 8504

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-sub 8506  df-neg 8507

This theorem is used by:  posdifi  8833  posdifd  8867  nnsub  9352  znnsub  9707  difrp  10110  xposdif  10301  eluzgtdifelfzo  10632  subfzo0  10678  pfxccatin12lem3  11526  efltim  12490  cos01gt0  12555  ndvdsadd  12723  nn0seqcvgd  12844  sinq12gt0  16057  cosq14gt0  16059  logdivlti  16111  perfectlem2  16300