Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  limcmpted Unicode version

Theorem limcmpted 12971
 Description: Express the limit operator for a function defined by a mapping, via epsilon-delta. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limcmpted.a
limcmpted.b
limcmpted.f
Assertion
Ref Expression
limcmpted lim #
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem limcmpted
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2296 . . . . . 6
2 nfcsb1v 3060 . . . . . 6
3 csbeq1a 3036 . . . . . 6
41, 2, 3cbvmpt 4055 . . . . 5
54a1i 9 . . . 4
65oveq1d 5829 . . 3 lim lim
76eleq2d 2224 . 2 lim lim
8 limcmpted.f . . . . 5
98fmpttd 5615 . . . 4
104feq1i 5305 . . . 4
119, 10sylib 121 . . 3
12 limcmpted.a . . 3
13 limcmpted.b . . 3
14 nfcv 2296 . . . 4
1514, 2nfmpt 4052 . . 3
1611, 12, 13, 15ellimc3apf 12968 . 2 lim #
17 eqid 2154 . . . . . . . . . 10
18 eqcom 2156 . . . . . . . . . . 11
19 eqcom 2156 . . . . . . . . . . 11
203, 18, 193imtr3i 199 . . . . . . . . . 10
21 simpr 109 . . . . . . . . . 10
2217, 20, 21, 8fvmptd3 5554 . . . . . . . . 9
2322fvoveq1d 5836 . . . . . . . 8
2423breq1d 3971 . . . . . . 7
2524imbi2d 229 . . . . . 6 # #
2625ralbidva 2450 . . . . 5 # #
2726rexbidv 2455 . . . 4 # #
2827ralbidv 2454 . . 3 # #
2928anbi2d 460 . 2 # #
307, 16, 293bitrd 213 1 lim #
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1332   wcel 2125  wral 2432  wrex 2433  csb 3027   wss 3098   class class class wbr 3961   cmpt 4021  wf 5159  cfv 5163  (class class class)co 5814  cc 7709   clt 7891   cmin 8025   # cap 8435  crp 9538  cabs 10874   lim climc 12962 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-cnex 7802 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-ral 2437  df-rex 2438  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-id 4248  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-fv 5171  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-pm 6585  df-limced 12964 This theorem is referenced by:  limccnp2cntop  12985  limccoap  12986
 Copyright terms: Public domain W3C validator