Theorem limcmpted 15577

Description: Express the limit operator for a function defined by a mapping, via epsilon-delta. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcmpted.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcmpted.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
limcmpted.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
limcmpted	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷 − 𝐶)) < 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑧)

Proof of Theorem limcmpted

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2386	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤𝐷
2		nfcsb1v 3173	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷
3		csbeq1a 3149	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → 𝐷 = ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)
4	1, 2, 3	cbvmpt 4207	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)
5	4	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷))
6	5	oveq1d 6067	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) = ((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷) limℂ 𝐵))
7	6	eleq2d 2304	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ ((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷) limℂ 𝐵)))
8		limcmpted.f	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
9	8	fmpttd 5834	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷):𝐴⟶ℂ)
10	4	feq1i 5503	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷):𝐴⟶ℂ ↔ (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷):𝐴⟶ℂ)
11	9, 10	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷):𝐴⟶ℂ)
12		limcmpted.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
13		limcmpted.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
14		nfcv 2386	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧𝐴
15	14, 2	nfmpt 4204	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)
16	11, 12, 13, 15	ellimc3apf 15574	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥))))
17		eqid 2234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)
18		eqcom 2236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑤 ↔ 𝑤 = 𝑧)
19		eqcom 2236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 = ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷 ↔ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷 = 𝐷)
20	3, 18, 19	3imtr3i 200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷 = 𝐷)
21		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
22	17, 20, 21, 8	fvmptd3 5773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) = 𝐷)
23	22	fvoveq1d 6074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (abs‘(((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) = (abs‘(𝐷 − 𝐶)))
24	23	breq1d 4121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((abs‘(((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐷 − 𝐶)) < 𝑥))
25	24	imbi2d 230	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷 − 𝐶)) < 𝑥)))
26	25	ralbidva 2540	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷 − 𝐶)) < 𝑥)))
27	26	rexbidv 2545	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷 − 𝐶)) < 𝑥)))
28	27	ralbidv 2544	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷 − 𝐶)) < 𝑥)))
29	28	anbi2d 464	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷 − 𝐶)) < 𝑥))))
30	7, 16, 29	3bitrd 214	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷 − 𝐶)) < 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ∃wrex 2523  ⦋csb 3140   ⊆ wss 3213   class class class wbr 4111   ↦ cmpt 4173  ⟶wf 5350  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  ℂcc 8130   < clt 8313   − cmin 8449   # cap 8860  ℝ⁺crp 9992  abscabs 11690   lim_ℂ climc 15568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pm 6887  df-limced 15570

This theorem is referenced by:  limccnp2cntop  15591  limccoap  15592