Theorem limcmpted 14068

Description: Express the limit operator for a function defined by a mapping, via epsilon-delta. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcmpted.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcmpted.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
limcmpted.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
limcmpted	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷 − 𝐶)) < 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑧)

Proof of Theorem limcmpted

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2319	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤𝐷
2		nfcsb1v 3090	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷
3		csbeq1a 3066	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → 𝐷 = ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)
4	1, 2, 3	cbvmpt 4098	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)
5	4	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷))
6	5	oveq1d 5889	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) = ((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷) limℂ 𝐵))
7	6	eleq2d 2247	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ ((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷) limℂ 𝐵)))
8		limcmpted.f	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
9	8	fmpttd 5671	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷):𝐴⟶ℂ)
10	4	feq1i 5358	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷):𝐴⟶ℂ ↔ (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷):𝐴⟶ℂ)
11	9, 10	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷):𝐴⟶ℂ)
12		limcmpted.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
13		limcmpted.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
14		nfcv 2319	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧𝐴
15	14, 2	nfmpt 4095	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)
16	11, 12, 13, 15	ellimc3apf 14065	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥))))
17		eqid 2177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)
18		eqcom 2179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑤 ↔ 𝑤 = 𝑧)
19		eqcom 2179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 = ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷 ↔ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷 = 𝐷)
20	3, 18, 19	3imtr3i 200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷 = 𝐷)
21		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
22	17, 20, 21, 8	fvmptd3 5609	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) = 𝐷)
23	22	fvoveq1d 5896	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (abs‘(((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) = (abs‘(𝐷 − 𝐶)))
24	23	breq1d 4013	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((abs‘(((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐷 − 𝐶)) < 𝑥))
25	24	imbi2d 230	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷 − 𝐶)) < 𝑥)))
26	25	ralbidva 2473	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷 − 𝐶)) < 𝑥)))
27	26	rexbidv 2478	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷 − 𝐶)) < 𝑥)))
28	27	ralbidv 2477	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷 − 𝐶)) < 𝑥)))
29	28	anbi2d 464	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷 − 𝐶)) < 𝑥))))
30	7, 16, 29	3bitrd 214	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷 − 𝐶)) < 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456  ⦋csb 3057   ⊆ wss 3129   class class class wbr 4003   ↦ cmpt 4064  ⟶wf 5212  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874  ℂcc 7808   < clt 7991   − cmin 8127   # cap 8537  ℝ⁺crp 9652  abscabs 11005   lim_ℂ climc 14059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pm 6650  df-limced 14061

This theorem is referenced by:  limccnp2cntop  14082  limccoap  14083