Theorem limcmpted 15302

Description: Express the limit operator for a function defined by a mapping, via epsilon-delta. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcmpted.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcmpted.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
limcmpted.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
limcmpted	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷 − 𝐶)) < 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑧)

Proof of Theorem limcmpted

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2352	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤𝐷
2		nfcsb1v 3137	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷
3		csbeq1a 3113	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → 𝐷 = ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)
4	1, 2, 3	cbvmpt 4158	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)
5	4	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷))
6	5	oveq1d 5989	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) = ((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷) limℂ 𝐵))
7	6	eleq2d 2279	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ ((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷) limℂ 𝐵)))
8		limcmpted.f	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
9	8	fmpttd 5763	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷):𝐴⟶ℂ)
10	4	feq1i 5442	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷):𝐴⟶ℂ ↔ (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷):𝐴⟶ℂ)
11	9, 10	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷):𝐴⟶ℂ)
12		limcmpted.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
13		limcmpted.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
14		nfcv 2352	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧𝐴
15	14, 2	nfmpt 4155	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)
16	11, 12, 13, 15	ellimc3apf 15299	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥))))
17		eqid 2209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)
18		eqcom 2211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑤 ↔ 𝑤 = 𝑧)
19		eqcom 2211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 = ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷 ↔ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷 = 𝐷)
20	3, 18, 19	3imtr3i 200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷 = 𝐷)
21		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
22	17, 20, 21, 8	fvmptd3 5701	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) = 𝐷)
23	22	fvoveq1d 5996	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (abs‘(((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) = (abs‘(𝐷 − 𝐶)))
24	23	breq1d 4072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((abs‘(((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐷 − 𝐶)) < 𝑥))
25	24	imbi2d 230	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷 − 𝐶)) < 𝑥)))
26	25	ralbidva 2506	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷 − 𝐶)) < 𝑥)))
27	26	rexbidv 2511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷 − 𝐶)) < 𝑥)))
28	27	ralbidv 2510	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷 − 𝐶)) < 𝑥)))
29	28	anbi2d 464	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷 − 𝐶)) < 𝑥))))
30	7, 16, 29	3bitrd 214	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷 − 𝐶)) < 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ∀wral 2488  ∃wrex 2489  ⦋csb 3104   ⊆ wss 3177   class class class wbr 4062   ↦ cmpt 4124  ⟶wf 5290  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  ℂcc 7965   < clt 8149   − cmin 8285   # cap 8696  ℝ⁺crp 9817  abscabs 11474   lim_ℂ climc 15293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-ral 2493  df-rex 2494  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-fv 5302  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-pm 6768  df-limced 15295

This theorem is referenced by:  limccnp2cntop  15316  limccoap  15317