ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  limcmpted GIF version

Theorem limcmpted 14135
Description: Express the limit operator for a function defined by a mapping, via epsilon-delta. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limcmpted.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
limcmpted.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
limcmpted.f ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
Assertion
Ref Expression
limcmpted (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜(𝐷 βˆ’ 𝐢)) < π‘₯))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐡,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐢,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐷,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑧)

Proof of Theorem limcmpted
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2319 . . . . . 6 Ⅎ𝑀𝐷
2 nfcsb1v 3091 . . . . . 6 Ⅎ𝑧⦋𝑀 / π‘§β¦Œπ·
3 csbeq1a 3067 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑀 β†’ 𝐷 = ⦋𝑀 / π‘§β¦Œπ·)
41, 2, 3cbvmpt 4099 . . . . 5 (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) = (𝑀 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑀 / π‘§β¦Œπ·)
54a1i 9 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) = (𝑀 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑀 / π‘§β¦Œπ·))
65oveq1d 5890 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) limβ„‚ 𝐡) = ((𝑀 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑀 / π‘§β¦Œπ·) limβ„‚ 𝐡))
76eleq2d 2247 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) limβ„‚ 𝐡) ↔ 𝐢 ∈ ((𝑀 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑀 / π‘§β¦Œπ·) limβ„‚ 𝐡)))
8 limcmpted.f . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
98fmpttd 5672 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷):π΄βŸΆβ„‚)
104feq1i 5359 . . . 4 ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷):π΄βŸΆβ„‚ ↔ (𝑀 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑀 / π‘§β¦Œπ·):π΄βŸΆβ„‚)
119, 10sylib 122 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑀 / π‘§β¦Œπ·):π΄βŸΆβ„‚)
12 limcmpted.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
13 limcmpted.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
14 nfcv 2319 . . . 4 Ⅎ𝑧𝐴
1514, 2nfmpt 4096 . . 3 Ⅎ𝑧(𝑀 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑀 / π‘§β¦Œπ·)
1611, 12, 13, 15ellimc3apf 14132 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((𝑀 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑀 / π‘§β¦Œπ·) limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜(((𝑀 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑀 / π‘§β¦Œπ·)β€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < π‘₯))))
17 eqid 2177 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑀 / π‘§β¦Œπ·) = (𝑀 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑀 / π‘§β¦Œπ·)
18 eqcom 2179 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑀 ↔ 𝑀 = 𝑧)
19 eqcom 2179 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 = ⦋𝑀 / π‘§β¦Œπ· ↔ ⦋𝑀 / π‘§β¦Œπ· = 𝐷)
203, 18, 193imtr3i 200 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑧 β†’ ⦋𝑀 / π‘§β¦Œπ· = 𝐷)
21 simpr 110 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
2217, 20, 21, 8fvmptd3 5610 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((𝑀 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑀 / π‘§β¦Œπ·)β€˜π‘§) = 𝐷)
2322fvoveq1d 5897 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(((𝑀 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑀 / π‘§β¦Œπ·)β€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) = (absβ€˜(𝐷 βˆ’ 𝐢)))
2423breq1d 4014 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜(((𝑀 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑀 / π‘§β¦Œπ·)β€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < π‘₯ ↔ (absβ€˜(𝐷 βˆ’ 𝐢)) < π‘₯))
2524imbi2d 230 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜(((𝑀 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑀 / π‘§β¦Œπ·)β€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < π‘₯) ↔ ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜(𝐷 βˆ’ 𝐢)) < π‘₯)))
2625ralbidva 2473 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜(((𝑀 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑀 / π‘§β¦Œπ·)β€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜(𝐷 βˆ’ 𝐢)) < π‘₯)))
2726rexbidv 2478 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜(((𝑀 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑀 / π‘§β¦Œπ·)β€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < π‘₯) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜(𝐷 βˆ’ 𝐢)) < π‘₯)))
2827ralbidv 2477 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜(((𝑀 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑀 / π‘§β¦Œπ·)β€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜(𝐷 βˆ’ 𝐢)) < π‘₯)))
2928anbi2d 464 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜(((𝑀 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑀 / π‘§β¦Œπ·)β€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < π‘₯)) ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜(𝐷 βˆ’ 𝐢)) < π‘₯))))
307, 16, 293bitrd 214 1 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜(𝐷 βˆ’ 𝐢)) < π‘₯))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456  β¦‹csb 3058   βŠ† wss 3130   class class class wbr 4004   ↦ cmpt 4065  βŸΆwf 5213  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  β„‚cc 7809   < clt 7992   βˆ’ cmin 8128   # cap 8538  β„+crp 9653  abscabs 11006   limβ„‚ climc 14126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pm 6651  df-limced 14128
This theorem is referenced by:  limccnp2cntop  14149  limccoap  14150
  Copyright terms: Public domain W3C validator