Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  limcmpted GIF version

Theorem limcmpted 12707
 Description: Express the limit operator for a function defined by a mapping, via epsilon-delta. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limcmpted.a (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
limcmpted.b (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
limcmpted.f ((𝜑𝑧𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
limcmpted (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧𝐴𝐷) lim 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷𝐶)) < 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑧)

Proof of Theorem limcmpted
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2256 . . . . . 6 𝑤𝐷
2 nfcsb1v 3003 . . . . . 6 𝑧𝑤 / 𝑧𝐷
3 csbeq1a 2981 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑤𝐷 = 𝑤 / 𝑧𝐷)
41, 2, 3cbvmpt 3991 . . . . 5 (𝑧𝐴𝐷) = (𝑤𝐴𝑤 / 𝑧𝐷)
54a1i 9 . . . 4 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐷) = (𝑤𝐴𝑤 / 𝑧𝐷))
65oveq1d 5755 . . 3 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐷) lim 𝐵) = ((𝑤𝐴𝑤 / 𝑧𝐷) lim 𝐵))
76eleq2d 2185 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧𝐴𝐷) lim 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ ((𝑤𝐴𝑤 / 𝑧𝐷) lim 𝐵)))
8 limcmpted.f . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
98fmpttd 5541 . . . 4 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐷):𝐴⟶ℂ)
104feq1i 5233 . . . 4 ((𝑧𝐴𝐷):𝐴⟶ℂ ↔ (𝑤𝐴𝑤 / 𝑧𝐷):𝐴⟶ℂ)
119, 10sylib 121 . . 3 (𝜑 → (𝑤𝐴𝑤 / 𝑧𝐷):𝐴⟶ℂ)
12 limcmpted.a . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
13 limcmpted.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
14 nfcv 2256 . . . 4 𝑧𝐴
1514, 2nfmpt 3988 . . 3 𝑧(𝑤𝐴𝑤 / 𝑧𝐷)
1611, 12, 13, 15ellimc3apf 12704 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑤𝐴𝑤 / 𝑧𝐷) lim 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤𝐴𝑤 / 𝑧𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥))))
17 eqid 2115 . . . . . . . . . 10 (𝑤𝐴𝑤 / 𝑧𝐷) = (𝑤𝐴𝑤 / 𝑧𝐷)
18 eqcom 2117 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑤𝑤 = 𝑧)
19 eqcom 2117 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 = 𝑤 / 𝑧𝐷𝑤 / 𝑧𝐷 = 𝐷)
203, 18, 193imtr3i 199 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑧𝑤 / 𝑧𝐷 = 𝐷)
21 simpr 109 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
2217, 20, 21, 8fvmptd3 5480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝑤𝐴𝑤 / 𝑧𝐷)‘𝑧) = 𝐷)
2322fvoveq1d 5762 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐴) → (abs‘(((𝑤𝐴𝑤 / 𝑧𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) = (abs‘(𝐷𝐶)))
2423breq1d 3907 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐴) → ((abs‘(((𝑤𝐴𝑤 / 𝑧𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐷𝐶)) < 𝑥))
2524imbi2d 229 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐴) → (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤𝐴𝑤 / 𝑧𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷𝐶)) < 𝑥)))
2625ralbidva 2408 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤𝐴𝑤 / 𝑧𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷𝐶)) < 𝑥)))
2726rexbidv 2413 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤𝐴𝑤 / 𝑧𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷𝐶)) < 𝑥)))
2827ralbidv 2412 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤𝐴𝑤 / 𝑧𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷𝐶)) < 𝑥)))
2928anbi2d 457 . 2 (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤𝐴𝑤 / 𝑧𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷𝐶)) < 𝑥))))
307, 16, 293bitrd 213 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧𝐴𝐷) lim 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷𝐶)) < 𝑥))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1314   ∈ wcel 1463  ∀wral 2391  ∃wrex 2392  ⦋csb 2973   ⊆ wss 3039   class class class wbr 3897   ↦ cmpt 3957  ⟶wf 5087  ‘cfv 5091  (class class class)co 5740  ℂcc 7582   < clt 7764   − cmin 7897   # cap 8306  ℝ+crp 9393  abscabs 10720   limℂ climc 12698 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pm 6511  df-limced 12700 This theorem is referenced by:  limccnp2cntop  12721  limccoap  12722
 Copyright terms: Public domain W3C validator