Theorem limcmpted 15416

Description: Express the limit operator for a function defined by a mapping, via epsilon-delta. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcmpted.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcmpted.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
limcmpted.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
limcmpted	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷 − 𝐶)) < 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑧)

Proof of Theorem limcmpted

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2373	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤𝐷
2		nfcsb1v 3159	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷
3		csbeq1a 3135	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → 𝐷 = ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)
4	1, 2, 3	cbvmpt 4185	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)
5	4	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷))
6	5	oveq1d 6038	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) = ((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷) limℂ 𝐵))
7	6	eleq2d 2300	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ ((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷) limℂ 𝐵)))
8		limcmpted.f	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
9	8	fmpttd 5805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷):𝐴⟶ℂ)
10	4	feq1i 5477	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷):𝐴⟶ℂ ↔ (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷):𝐴⟶ℂ)
11	9, 10	sylib 122	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷):𝐴⟶ℂ)
12		limcmpted.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
13		limcmpted.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
14		nfcv 2373	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑧𝐴
15	14, 2	nfmpt 4182	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)
16	11, 12, 13, 15	ellimc3apf 15413	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥))))
17		eqid 2230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)
18		eqcom 2232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑤 ↔ 𝑤 = 𝑧)
19		eqcom 2232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 = ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷 ↔ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷 = 𝐷)
20	3, 18, 19	3imtr3i 200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷 = 𝐷)
21		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
22	17, 20, 21, 8	fvmptd3 5743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) = 𝐷)
23	22	fvoveq1d 6045	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (abs‘(((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) = (abs‘(𝐷 − 𝐶)))
24	23	breq1d 4099	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((abs‘(((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐷 − 𝐶)) < 𝑥))
25	24	imbi2d 230	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷 − 𝐶)) < 𝑥)))
26	25	ralbidva 2527	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷 − 𝐶)) < 𝑥)))
27	26	rexbidv 2532	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷 − 𝐶)) < 𝑥)))
28	27	ralbidv 2531	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷 − 𝐶)) < 𝑥)))
29	28	anbi2d 464	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑤 / 𝑧⦌𝐷)‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑥)) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷 − 𝐶)) < 𝑥))))
30	7, 16, 29	3bitrd 214	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑧 ∈ 𝐴 ↦ 𝐷) limℂ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑦) → (abs‘(𝐷 − 𝐶)) < 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  ∀wral 2509  ∃wrex 2510  ⦋csb 3126   ⊆ wss 3199   class class class wbr 4089   ↦ cmpt 4151  ⟶wf 5324  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  ℂcc 8035   < clt 8219   − cmin 8355   # cap 8766  ℝ⁺crp 9893  abscabs 11580   lim_ℂ climc 15407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-fv 5336  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-pm 6825  df-limced 15409

This theorem is referenced by:  limccnp2cntop  15430  limccoap  15431