Theorem lmodpropd 13625

Description: If two structures have the same components (properties), one is a left module iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodpropd.1	|- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
lmodpropd.2	|- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
lmodpropd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
lmodpropd.4	|- ( ph -> F = (Scalar ` K ) )
lmodpropd.5	|- ( ph -> F = (Scalar ` L ) )
lmodpropd.6	|- P = ( Base ` F )
lmodpropd.7	|- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` K ) y ) = ( x ( .s ` L ) y ) )

Assertion

Ref	Expression
lmodpropd	|- ( ph -> ( K e. LMod <-> L e. LMod ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, K, y   x, L, y   x, P, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   F( x, y)

Proof of Theorem lmodpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodpropd.1	. 2 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
2		lmodpropd.2	. 2 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
3		eqid 2188	. 2 |- (Scalar ` K ) = (Scalar ` K )
4		eqid 2188	. 2 |- (Scalar ` L ) = (Scalar ` L )
5		lmodpropd.6	. . 3 |- P = ( Base ` F )
6		lmodpropd.4	. . . 4 |- ( ph -> F = (Scalar ` K ) )
7	6	fveq2d 5533	. . 3 |- ( ph -> ( Base ` F ) = ( Base ` (Scalar ` K ) ) )
8	5, 7	eqtrid 2233	. 2 |- ( ph -> P = ( Base ` (Scalar ` K ) ) )
9		lmodpropd.5	. . . 4 |- ( ph -> F = (Scalar ` L ) )
10	9	fveq2d 5533	. . 3 |- ( ph -> ( Base ` F ) = ( Base ` (Scalar ` L ) ) )
11	5, 10	eqtrid 2233	. 2 |- ( ph -> P = ( Base ` (Scalar ` L ) ) )
12		lmodpropd.3	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
13	6, 9	eqtr3d 2223	. . . . 5 |- ( ph -> (Scalar ` K ) = (Scalar ` L ) )
14	13	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. P ) ) -> (Scalar ` K ) = (Scalar ` L ) )
15	14	fveq2d 5533	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. P ) ) -> ( +g ` (Scalar ` K ) ) = ( +g ` (Scalar ` L ) ) )
16	15	oveqd 5907	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. P ) ) -> ( x ( +g ` (Scalar ` K ) ) y ) = ( x ( +g ` (Scalar ` L ) ) y ) )
17	14	fveq2d 5533	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. P ) ) -> ( .r ` (Scalar ` K ) ) = ( .r ` (Scalar ` L ) ) )
18	17	oveqd 5907	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. P ) ) -> ( x ( .r ` (Scalar ` K ) ) y ) = ( x ( .r ` (Scalar ` L ) ) y ) )
19		lmodpropd.7	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` K ) y ) = ( x ( .s ` L ) y ) )
20	1, 2, 3, 4, 8, 11, 12, 16, 18, 19	lmodprop2d 13624	1 |- ( ph -> ( K e. LMod <-> L e. LMod ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1363   e. wcel 2159   ` cfv 5230  (class class class)co 5890   Basecbs 12479   +g cplusg 12554   .rcmulr 12555  Scalarcsca 12557   .scvsca 12558   LModclmod 13563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-addcom 7928  ax-addass 7930  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltadd 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-ltxr 8014  df-inn 8937  df-2 8995  df-3 8996  df-4 8997  df-5 8998  df-6 8999  df-ndx 12482  df-slot 12483  df-base 12485  df-sets 12486  df-plusg 12567  df-mulr 12568  df-sca 12570  df-vsca 12571  df-0g 12728  df-mgm 12797  df-sgrp 12830  df-mnd 12843  df-grp 12913  df-mgp 13235  df-ur 13274  df-ring 13312  df-lmod 13565

This theorem is referenced by: (None)