Theorem lmodpropd 14795

Description: If two structures have the same components (properties), one is a left module iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodpropd.1	|- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
lmodpropd.2	|- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
lmodpropd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
lmodpropd.4	|- ( ph -> F = (Scalar ` K ) )
lmodpropd.5	|- ( ph -> F = (Scalar ` L ) )
lmodpropd.6	|- P = ( Base ` F )
lmodpropd.7	|- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` K ) y ) = ( x ( .s ` L ) y ) )

Assertion

Ref	Expression
lmodpropd	|- ( ph -> ( K e. LMod <-> L e. LMod ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, K, y   x, L, y   x, P, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   F( x, y)

Proof of Theorem lmodpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodpropd.1	. 2 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
2		lmodpropd.2	. 2 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
3		eqid 2238	. 2 |- (Scalar ` K ) = (Scalar ` K )
4		eqid 2238	. 2 |- (Scalar ` L ) = (Scalar ` L )
5		lmodpropd.6	. . 3 |- P = ( Base ` F )
6		lmodpropd.4	. . . 4 |- ( ph -> F = (Scalar ` K ) )
7	6	fveq2d 5702	. . 3 |- ( ph -> ( Base ` F ) = ( Base ` (Scalar ` K ) ) )
8	5, 7	eqtrid 2283	. 2 |- ( ph -> P = ( Base ` (Scalar ` K ) ) )
9		lmodpropd.5	. . . 4 |- ( ph -> F = (Scalar ` L ) )
10	9	fveq2d 5702	. . 3 |- ( ph -> ( Base ` F ) = ( Base ` (Scalar ` L ) ) )
11	5, 10	eqtrid 2283	. 2 |- ( ph -> P = ( Base ` (Scalar ` L ) ) )
12		lmodpropd.3	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
13	6, 9	eqtr3d 2273	. . . . 5 |- ( ph -> (Scalar ` K ) = (Scalar ` L ) )
14	13	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. P ) ) -> (Scalar ` K ) = (Scalar ` L ) )
15	14	fveq2d 5702	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. P ) ) -> ( +g ` (Scalar ` K ) ) = ( +g ` (Scalar ` L ) ) )
16	15	oveqd 6105	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. P ) ) -> ( x ( +g ` (Scalar ` K ) ) y ) = ( x ( +g ` (Scalar ` L ) ) y ) )
17	14	fveq2d 5702	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. P ) ) -> ( .r ` (Scalar ` K ) ) = ( .r ` (Scalar ` L ) ) )
18	17	oveqd 6105	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. P ) ) -> ( x ( .r ` (Scalar ` K ) ) y ) = ( x ( .r ` (Scalar ` L ) ) y ) )
19		lmodpropd.7	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` K ) y ) = ( x ( .s ` L ) y ) )
20	1, 2, 3, 4, 8, 11, 12, 16, 18, 19	lmodprop2d 14794	1 |- ( ph -> ( K e. LMod <-> L e. LMod ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13410   +g cplusg 13490   .rcmulr 13491  Scalarcsca 13493   .scvsca 13494   LModclmod 14732

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-ring 14409  df-lmod 14734

This theorem is used by:  assapropd  15123