Theorem lmodpropd 14445

Description: If two structures have the same components (properties), one is a left module iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodpropd.1	|- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
lmodpropd.2	|- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
lmodpropd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
lmodpropd.4	|- ( ph -> F = (Scalar ` K ) )
lmodpropd.5	|- ( ph -> F = (Scalar ` L ) )
lmodpropd.6	|- P = ( Base ` F )
lmodpropd.7	|- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` K ) y ) = ( x ( .s ` L ) y ) )

Assertion

Ref	Expression
lmodpropd	|- ( ph -> ( K e. LMod <-> L e. LMod ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, K, y   x, L, y   x, P, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   F( x, y)

Proof of Theorem lmodpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodpropd.1	. 2 |- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
2		lmodpropd.2	. 2 |- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
3		eqid 2231	. 2 |- (Scalar ` K ) = (Scalar ` K )
4		eqid 2231	. 2 |- (Scalar ` L ) = (Scalar ` L )
5		lmodpropd.6	. . 3 |- P = ( Base ` F )
6		lmodpropd.4	. . . 4 |- ( ph -> F = (Scalar ` K ) )
7	6	fveq2d 5652	. . 3 |- ( ph -> ( Base ` F ) = ( Base ` (Scalar ` K ) ) )
8	5, 7	eqtrid 2276	. 2 |- ( ph -> P = ( Base ` (Scalar ` K ) ) )
9		lmodpropd.5	. . . 4 |- ( ph -> F = (Scalar ` L ) )
10	9	fveq2d 5652	. . 3 |- ( ph -> ( Base ` F ) = ( Base ` (Scalar ` L ) ) )
11	5, 10	eqtrid 2276	. 2 |- ( ph -> P = ( Base ` (Scalar ` L ) ) )
12		lmodpropd.3	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
13	6, 9	eqtr3d 2266	. . . . 5 |- ( ph -> (Scalar ` K ) = (Scalar ` L ) )
14	13	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. P ) ) -> (Scalar ` K ) = (Scalar ` L ) )
15	14	fveq2d 5652	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. P ) ) -> ( +g ` (Scalar ` K ) ) = ( +g ` (Scalar ` L ) ) )
16	15	oveqd 6045	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. P ) ) -> ( x ( +g ` (Scalar ` K ) ) y ) = ( x ( +g ` (Scalar ` L ) ) y ) )
17	14	fveq2d 5652	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. P ) ) -> ( .r ` (Scalar ` K ) ) = ( .r ` (Scalar ` L ) ) )
18	17	oveqd 6045	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. P ) ) -> ( x ( .r ` (Scalar ` K ) ) y ) = ( x ( .r ` (Scalar ` L ) ) y ) )
19		lmodpropd.7	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. P /\ y e. B ) ) -> ( x ( .s ` K ) y ) = ( x ( .s ` L ) y ) )
20	1, 2, 3, 4, 8, 11, 12, 16, 18, 19	lmodprop2d 14444	1 |- ( ph -> ( K e. LMod <-> L e. LMod ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13162   +g cplusg 13240   .rcmulr 13241  Scalarcsca 13243   .scvsca 13244   LModclmod 14383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltadd 8208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-ltxr 8278  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-5 9264  df-6 9265  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-sets 13169  df-plusg 13253  df-mulr 13254  df-sca 13256  df-vsca 13257  df-0g 13421  df-mgm 13519  df-sgrp 13565  df-mnd 13580  df-grp 13666  df-mgp 14015  df-ur 14054  df-ring 14092  df-lmod 14385

This theorem is referenced by: (None)