Theorem lmodpropd 14489

Description: If two structures have the same components (properties), one is a left module iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
lmodpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
lmodpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
lmodpropd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐾))
lmodpropd.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐿))
lmodpropd.6	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐹)
lmodpropd.7	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
lmodpropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ LMod ↔ 𝐿 ∈ LMod))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lmodpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodpropd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		lmodpropd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		eqid 2232	. 2 ⊢ (Scalar‘𝐾) = (Scalar‘𝐾)
4		eqid 2232	. 2 ⊢ (Scalar‘𝐿) = (Scalar‘𝐿)
5		lmodpropd.6	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐹)
6		lmodpropd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐾))
7	6	fveq2d 5673	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝐾)))
8	5, 7	eqtrid 2277	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘(Scalar‘𝐾)))
9		lmodpropd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐿))
10	9	fveq2d 5673	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝐿)))
11	5, 10	eqtrid 2277	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘(Scalar‘𝐿)))
12		lmodpropd.3	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
13	6, 9	eqtr3d 2267	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐾) = (Scalar‘𝐿))
14	13	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (Scalar‘𝐾) = (Scalar‘𝐿))
15	14	fveq2d 5673	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (+g‘(Scalar‘𝐾)) = (+g‘(Scalar‘𝐿)))
16	15	oveqd 6066	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(+g‘(Scalar‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(Scalar‘𝐿))𝑦))
17	14	fveq2d 5673	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (.r‘(Scalar‘𝐾)) = (.r‘(Scalar‘𝐿)))
18	17	oveqd 6066	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(.r‘(Scalar‘𝐾))𝑦) = (𝑥(.r‘(Scalar‘𝐿))𝑦))
19		lmodpropd.7	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))
20	1, 2, 3, 4, 8, 11, 12, 16, 18, 19	lmodprop2d 14488	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ LMod ↔ 𝐿 ∈ LMod))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  Basecbs 13204  +_gcplusg 13282  ._rcmulr 13283  Scalarcsca 13285   ·_𝑠 cvsca 13286  LModclmod 14427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-ltxr 8312  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-sets 13211  df-plusg 13295  df-mulr 13296  df-sca 13298  df-vsca 13299  df-0g 13463  df-mgm 13561  df-sgrp 13607  df-mnd 13622  df-grp 13708  df-mgp 14057  df-ur 14096  df-ring 14134  df-lmod 14429

This theorem is referenced by: (None)