Theorem lssvneln0 13464

Description: A vector X which doesn't belong to a subspace U is nonzero. (Contributed by NM, 14-May-2015.) (Revised by AV, 19-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvneln0.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lssvneln0.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lssvneln0.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lssvneln0.u	|- ( ph -> U e. S )
lssvneln0.n	|- ( ph -> -. X e. U )

Assertion

Ref	Expression
lssvneln0	|- ( ph -> X =/= .0. )

Proof of Theorem lssvneln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssvneln0.n	. 2 |- ( ph -> -. X e. U )
2		lssvneln0.w	. . . . 5 |- ( ph -> W e. LMod )
3		lssvneln0.u	. . . . 5 |- ( ph -> U e. S )
4		lssvneln0.o	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` W )
5		lssvneln0.s	. . . . . 6 |- S = ( LSubSp ` W )
6	4, 5	lss0cl 13460	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> .0. e. U )
7	2, 3, 6	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> .0. e. U )
8		eleq1a 2249	. . . 4 |- ( .0. e. U -> ( X = .0. -> X e. U ) )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( X = .0. -> X e. U ) )
10	9	necon3bd 2390	. 2 |- ( ph -> ( -. X e. U -> X =/= .0. ) )
11	1, 10	mpd 13	1 |- ( ph -> X =/= .0. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   ` cfv 5218   0gc0g 12710   LModclmod 13382   LSubSpclss 13447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-sca 12554  df-vsca 12555  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-sbg 12887  df-mgp 13136  df-ur 13148  df-ring 13186  df-lmod 13384  df-lssm 13448

This theorem is referenced by:  lssneln0  13465