Theorem lssneln0 14078

Description: A vector 𝑋 which doesn't belong to a subspace 𝑈 is nonzero. (Contributed by NM, 14-May-2015.) (Revised by AV, 17-Jul-2022.) (Proof shortened by AV, 19-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssneln0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lssneln0.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssneln0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lssneln0.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
lssneln0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lssneln0.n	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lssneln0	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Proof of Theorem lssneln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssneln0.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		lssneln0.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
3		lssneln0.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lssneln0.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5		lssneln0.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑆)
6		lssneln0.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)
7	2, 3, 4, 5, 6	lssvneln0 14077	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
8		eldifsn 3759	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
9	1, 7, 8	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   ≠ wne 2375   ∖ cdif 3162  {csn 3632  ‘cfv 5270  0_gc0g 13030  LModclmod 13991  LSubSpclss 14056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-ltxr 8111  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-5 9097  df-6 9098  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-base 12780  df-sets 12781  df-plusg 12864  df-mulr 12865  df-sca 12867  df-vsca 12868  df-0g 13032  df-mgm 13130  df-sgrp 13176  df-mnd 13191  df-grp 13277  df-minusg 13278  df-sbg 13279  df-mgp 13625  df-ur 13664  df-ring 13702  df-lmod 13993  df-lssm 14057

This theorem is referenced by: (None)