ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltaddpos GIF version

Theorem ltaddpos 8396
Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
ltaddpos ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴𝐵 < (𝐵 + 𝐴)))

Proof of Theorem ltaddpos
StepHypRef Expression
1 0re 7945 . . 3 0 ∈ ℝ
2 ltadd2 8363 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 0) < (𝐵 + 𝐴)))
31, 2mp3an1 1324 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 0) < (𝐵 + 𝐴)))
4 recn 7932 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
54addid1d 8093 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 0) = 𝐵)
65adantl 277 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
76breq1d 4010 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 0) < (𝐵 + 𝐴) ↔ 𝐵 < (𝐵 + 𝐴)))
83, 7bitrd 188 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴𝐵 < (𝐵 + 𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  cr 7798  0cc0 7799   + caddc 7802   < clt 7979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-addcom 7899  ax-addass 7901  ax-i2m1 7904  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-pre-ltadd 7915
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-xp 4629  df-iota 5174  df-fv 5220  df-ov 5872  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-ltxr 7984
This theorem is referenced by:  ltaddpos2  8397  ltsubpos  8398  posdif  8399  ltaddposi  8441  ltaddposd  8473  ltp1  8787  recreclt  8843  ltaddrp  9675  ltoddhalfle  11878
  Copyright terms: Public domain W3C validator