ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltaddpos GIF version

Theorem ltaddpos 8236
Description: Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
ltaddpos ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴𝐵 < (𝐵 + 𝐴)))

Proof of Theorem ltaddpos
StepHypRef Expression
1 0re 7788 . . 3 0 ∈ ℝ
2 ltadd2 8203 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 0) < (𝐵 + 𝐴)))
31, 2mp3an1 1303 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 0) < (𝐵 + 𝐴)))
4 recn 7775 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
54addid1d 7933 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 0) = 𝐵)
65adantl 275 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
76breq1d 3945 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 0) < (𝐵 + 𝐴) ↔ 𝐵 < (𝐵 + 𝐴)))
83, 7bitrd 187 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴𝐵 < (𝐵 + 𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1332  wcel 1481   class class class wbr 3935  (class class class)co 5780  cr 7641  0cc0 7642   + caddc 7645   < clt 7822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4052  ax-pow 4104  ax-pr 4137  ax-un 4361  ax-setind 4458  ax-cnex 7733  ax-resscn 7734  ax-1cn 7735  ax-1re 7736  ax-icn 7737  ax-addcl 7738  ax-addrcl 7739  ax-mulcl 7740  ax-addcom 7742  ax-addass 7744  ax-i2m1 7747  ax-0id 7750  ax-rnegex 7751  ax-pre-ltadd 7758
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3076  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-uni 3743  df-br 3936  df-opab 3996  df-xp 4551  df-iota 5094  df-fv 5137  df-ov 5783  df-pnf 7824  df-mnf 7825  df-ltxr 7827
This theorem is referenced by:  ltaddpos2  8237  ltsubpos  8238  posdif  8239  ltaddposi  8281  ltaddposd  8313  ltp1  8624  recreclt  8680  ltaddrp  9506  ltoddhalfle  11619
  Copyright terms: Public domain W3C validator