Theorem ltoddhalfle 12579

Description: An integer is less than half of an odd number iff it is less than or equal to the half of the predecessor of the odd number (which is an even number). (Contributed by AV, 29-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ltoddhalfle	|- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ M e. ZZ ) -> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )

Proof of Theorem ltoddhalfle

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 12559	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
2		halfre 9451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 / 2 ) e. RR
3	2	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> ( 1 / 2 ) e. RR )
4		1red 8289	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> 1 e. RR )
5		zre 9581	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> n e. RR )
6	3, 4, 5	3jca 1204	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ZZ -> ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 1 e. RR /\ n e. RR ) )
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 1 e. RR /\ n e. RR ) )
8		halflt1 9455	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 / 2 ) < 1
9		axltadd 8343	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 1 e. RR /\ n e. RR ) -> ( ( 1 / 2 ) < 1 -> ( n + ( 1 / 2 ) ) < ( n + 1 ) ) )
10	7, 8, 9	mpisyl 1492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) < ( n + 1 ) )
11		zre 9581	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> M e. RR )
13	5, 3	readdcld 8303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ZZ -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
14	13	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
15		peano2z 9613	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> ( n + 1 ) e. ZZ )
16	15	zred 9700	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ZZ -> ( n + 1 ) e. RR )
17	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( n + 1 ) e. RR )
18		lttr 8347	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. RR /\ ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ ( n + 1 ) e. RR ) -> ( ( M < ( n + ( 1 / 2 ) ) /\ ( n + ( 1 / 2 ) ) < ( n + 1 ) ) -> M < ( n + 1 ) ) )
19	12, 14, 17, 18	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( M < ( n + ( 1 / 2 ) ) /\ ( n + ( 1 / 2 ) ) < ( n + 1 ) ) -> M < ( n + 1 ) ) )
20	10, 19	mpan2d 428	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M < ( n + ( 1 / 2 ) ) -> M < ( n + 1 ) ) )
21		zleltp1 9633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( M <_ n <-> M < ( n + 1 ) ) )
22	21	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M <_ n <-> M < ( n + 1 ) ) )
23	20, 22	sylibrd 169	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M < ( n + ( 1 / 2 ) ) -> M <_ n ) )
24		halfgt0 9453	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < ( 1 / 2 )
25	3, 5	jca 306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ZZ -> ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ n e. RR ) )
26	25	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ n e. RR ) )
27		ltaddpos 8726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ n e. RR ) -> ( 0 < ( 1 / 2 ) <-> n < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) )
28	26, 27	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 0 < ( 1 / 2 ) <-> n < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) )
29	24, 28	mpbii 148	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> n < ( n + ( 1 / 2 ) ) )
30	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> n e. RR )
31		lelttr 8362	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. RR /\ n e. RR /\ ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR ) -> ( ( M <_ n /\ n < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) -> M < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) )
32	12, 30, 14, 31	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( M <_ n /\ n < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) -> M < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) )
33	29, 32	mpan2d 428	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M <_ n -> M < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) )
34	23, 33	impbid 129	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M < ( n + ( 1 / 2 ) ) <-> M <_ n ) )
35		zcn 9582	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
36		1cnd 8290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> 1 e. CC )
37		2cn 9308	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. CC
38		2ap0 9330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 # 0
39	37, 38	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
40	39	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) )
41		muldivdirap 8981	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) = ( n + ( 1 / 2 ) ) )
42	35, 36, 40, 41	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ZZ -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) = ( n + ( 1 / 2 ) ) )
43	42	breq2d 4121	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> ( M < ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <-> M < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) )
44	43	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M < ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <-> M < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) )
45		2z 9605	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. ZZ
46	45	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ZZ -> 2 e. ZZ )
47		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ZZ -> n e. ZZ )
48	46, 47	zmulcld 9706	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> ( 2 x. n ) e. ZZ )
49	48	zcnd 9701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ZZ -> ( 2 x. n ) e. CC )
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 2 x. n ) e. CC )
51		pncan1 8650	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 x. n ) e. CC -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. n ) )
52	50, 51	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. n ) )
53	52	oveq1d 6065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) = ( ( 2 x. n ) / 2 ) )
54		2cnd 9310	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ZZ -> 2 e. CC )
55	38	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ZZ -> 2 # 0 )
56	35, 54, 55	divcanap3d 9069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> ( ( 2 x. n ) / 2 ) = n )
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( 2 x. n ) / 2 ) = n )
58	53, 57	eqtrd 2265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) = n )
59	58	breq2d 4121	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M <_ ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) <-> M <_ n ) )
60	34, 44, 59	3bitr4d 220	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M < ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <-> M <_ ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) ) )
61		oveq1 6057	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) = ( N / 2 ) )
62	61	breq2d 4121	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M < ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <-> M < ( N / 2 ) ) )
63		oveq1 6057	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) = ( N - 1 ) )
64	63	oveq1d 6065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) = ( ( N - 1 ) / 2 ) )
65	64	breq2d 4121	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M <_ ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
66	62, 65	bibi12d 235	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( M < ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <-> M <_ ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) ) <-> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
67	60, 66	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
68	67	ex 115	. . . . . 6 |- ( n e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
69	68	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( M e. ZZ -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
70	69	com23 78	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M e. ZZ -> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
71	70	rexlimdva 2660	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M e. ZZ -> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
72	1, 71	sylbid 150	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N -> ( M e. ZZ -> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
73	72	3imp 1220	1 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ M e. ZZ ) -> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   E.wrex 2521   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   CCcc 8125   RRcr 8126   0cc0 8127   1c1 8128   + caddc 8130   x. cmul 8132   < clt 8308   <_ cle 8309   - cmin 8444   # cap 8855   / cdiv 8946   2c2 9288   ZZcz 9577   || cdvds 12473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-n0 9497  df-z 9578  df-dvds 12474

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1a  15931