Theorem ltoddhalfle 12638

Description: An integer is less than half of an odd number iff it is less than or equal to the half of the predecessor of the odd number (which is an even number). (Contributed by AV, 29-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ltoddhalfle	|- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ M e. ZZ ) -> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )

Proof of Theorem ltoddhalfle

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 12618	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
2		halfre 9497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 / 2 ) e. RR
3	2	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> ( 1 / 2 ) e. RR )
4		1red 8331	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> 1 e. RR )
5		zre 9627	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> n e. RR )
6	3, 4, 5	3jca 1208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ZZ -> ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 1 e. RR /\ n e. RR ) )
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 1 e. RR /\ n e. RR ) )
8		halflt1 9501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 / 2 ) < 1
9		axltadd 8385	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 1 e. RR /\ n e. RR ) -> ( ( 1 / 2 ) < 1 -> ( n + ( 1 / 2 ) ) < ( n + 1 ) ) )
10	7, 8, 9	mpisyl 1496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) < ( n + 1 ) )
11		zre 9627	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> M e. RR )
13	5, 3	readdcld 8345	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ZZ -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
14	13	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
15		peano2z 9659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> ( n + 1 ) e. ZZ )
16	15	zred 9747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ZZ -> ( n + 1 ) e. RR )
17	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( n + 1 ) e. RR )
18		lttr 8389	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. RR /\ ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ ( n + 1 ) e. RR ) -> ( ( M < ( n + ( 1 / 2 ) ) /\ ( n + ( 1 / 2 ) ) < ( n + 1 ) ) -> M < ( n + 1 ) ) )
19	12, 14, 17, 18	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( M < ( n + ( 1 / 2 ) ) /\ ( n + ( 1 / 2 ) ) < ( n + 1 ) ) -> M < ( n + 1 ) ) )
20	10, 19	mpan2d 432	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M < ( n + ( 1 / 2 ) ) -> M < ( n + 1 ) ) )
21		zleltp1 9679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( M <_ n <-> M < ( n + 1 ) ) )
22	21	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M <_ n <-> M < ( n + 1 ) ) )
23	20, 22	sylibrd 169	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M < ( n + ( 1 / 2 ) ) -> M <_ n ) )
24		halfgt0 9499	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < ( 1 / 2 )
25	3, 5	jca 306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ZZ -> ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ n e. RR ) )
26	25	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ n e. RR ) )
27		ltaddpos 8770	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ n e. RR ) -> ( 0 < ( 1 / 2 ) <-> n < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) )
28	26, 27	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 0 < ( 1 / 2 ) <-> n < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) )
29	24, 28	mpbii 148	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> n < ( n + ( 1 / 2 ) ) )
30	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> n e. RR )
31		lelttr 8404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. RR /\ n e. RR /\ ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR ) -> ( ( M <_ n /\ n < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) -> M < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) )
32	12, 30, 14, 31	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( M <_ n /\ n < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) -> M < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) )
33	29, 32	mpan2d 432	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M <_ n -> M < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) )
34	23, 33	impbid 129	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M < ( n + ( 1 / 2 ) ) <-> M <_ n ) )
35		zcn 9628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
36		1cnd 8332	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> 1 e. CC )
37		2cn 9354	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. CC
38		2ap0 9376	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 # 0
39	37, 38	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
40	39	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) )
41		muldivdirap 9027	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) = ( n + ( 1 / 2 ) ) )
42	35, 36, 40, 41	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ZZ -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) = ( n + ( 1 / 2 ) ) )
43	42	breq2d 4137	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> ( M < ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <-> M < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) )
44	43	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M < ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <-> M < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) )
45		2z 9651	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. ZZ
46	45	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ZZ -> 2 e. ZZ )
47		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ZZ -> n e. ZZ )
48	46, 47	zmulcld 9753	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> ( 2 x. n ) e. ZZ )
49	48	zcnd 9748	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ZZ -> ( 2 x. n ) e. CC )
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 2 x. n ) e. CC )
51		pncan1 8694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 x. n ) e. CC -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. n ) )
52	50, 51	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. n ) )
53	52	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) = ( ( 2 x. n ) / 2 ) )
54		2cnd 9356	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ZZ -> 2 e. CC )
55	38	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ZZ -> 2 # 0 )
56	35, 54, 55	divcanap3d 9115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> ( ( 2 x. n ) / 2 ) = n )
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( 2 x. n ) / 2 ) = n )
58	53, 57	eqtrd 2271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) = n )
59	58	breq2d 4137	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M <_ ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) <-> M <_ n ) )
60	34, 44, 59	3bitr4d 220	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M < ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <-> M <_ ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) ) )
61		oveq1 6082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) = ( N / 2 ) )
62	61	breq2d 4137	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M < ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <-> M < ( N / 2 ) ) )
63		oveq1 6082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) = ( N - 1 ) )
64	63	oveq1d 6090	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) = ( ( N - 1 ) / 2 ) )
65	64	breq2d 4137	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M <_ ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
66	62, 65	bibi12d 235	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( M < ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <-> M <_ ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) ) <-> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
67	60, 66	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
68	67	ex 115	. . . . . 6 |- ( n e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
69	68	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( M e. ZZ -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
70	69	com23 78	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M e. ZZ -> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
71	70	rexlimdva 2668	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M e. ZZ -> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
72	1, 71	sylbid 150	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N -> ( M e. ZZ -> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
73	72	3imp 1224	1 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ M e. ZZ ) -> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   CCcc 8167   RRcr 8168   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   x. cmul 8174   < clt 8350   <_ cle 8351   - cmin 8487   # cap 8899   / cdiv 8992   2c2 9334   ZZcz 9623   || cdvds 12532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-dvds 12533

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1a  16091