Theorem ltoddhalfle 12453

Description: An integer is less than half of an odd number iff it is less than or equal to the half of the predecessor of the odd number (which is an even number). (Contributed by AV, 29-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ltoddhalfle	|- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ M e. ZZ ) -> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )

Proof of Theorem ltoddhalfle

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 12433	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
2		halfre 9356	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 / 2 ) e. RR
3	2	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> ( 1 / 2 ) e. RR )
4		1red 8193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> 1 e. RR )
5		zre 9482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> n e. RR )
6	3, 4, 5	3jca 1203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ZZ -> ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 1 e. RR /\ n e. RR ) )
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 1 e. RR /\ n e. RR ) )
8		halflt1 9360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 / 2 ) < 1
9		axltadd 8248	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 1 e. RR /\ n e. RR ) -> ( ( 1 / 2 ) < 1 -> ( n + ( 1 / 2 ) ) < ( n + 1 ) ) )
10	7, 8, 9	mpisyl 1491	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) < ( n + 1 ) )
11		zre 9482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> M e. RR )
13	5, 3	readdcld 8208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ZZ -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
14	13	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
15		peano2z 9514	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> ( n + 1 ) e. ZZ )
16	15	zred 9601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ZZ -> ( n + 1 ) e. RR )
17	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( n + 1 ) e. RR )
18		lttr 8252	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. RR /\ ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ ( n + 1 ) e. RR ) -> ( ( M < ( n + ( 1 / 2 ) ) /\ ( n + ( 1 / 2 ) ) < ( n + 1 ) ) -> M < ( n + 1 ) ) )
19	12, 14, 17, 18	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( M < ( n + ( 1 / 2 ) ) /\ ( n + ( 1 / 2 ) ) < ( n + 1 ) ) -> M < ( n + 1 ) ) )
20	10, 19	mpan2d 428	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M < ( n + ( 1 / 2 ) ) -> M < ( n + 1 ) ) )
21		zleltp1 9534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( M <_ n <-> M < ( n + 1 ) ) )
22	21	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M <_ n <-> M < ( n + 1 ) ) )
23	20, 22	sylibrd 169	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M < ( n + ( 1 / 2 ) ) -> M <_ n ) )
24		halfgt0 9358	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < ( 1 / 2 )
25	3, 5	jca 306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ZZ -> ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ n e. RR ) )
26	25	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ n e. RR ) )
27		ltaddpos 8631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ n e. RR ) -> ( 0 < ( 1 / 2 ) <-> n < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) )
28	26, 27	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 0 < ( 1 / 2 ) <-> n < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) )
29	24, 28	mpbii 148	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> n < ( n + ( 1 / 2 ) ) )
30	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> n e. RR )
31		lelttr 8267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. RR /\ n e. RR /\ ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR ) -> ( ( M <_ n /\ n < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) -> M < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) )
32	12, 30, 14, 31	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( M <_ n /\ n < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) -> M < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) )
33	29, 32	mpan2d 428	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M <_ n -> M < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) )
34	23, 33	impbid 129	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M < ( n + ( 1 / 2 ) ) <-> M <_ n ) )
35		zcn 9483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
36		1cnd 8194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> 1 e. CC )
37		2cn 9213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. CC
38		2ap0 9235	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 # 0
39	37, 38	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
40	39	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) )
41		muldivdirap 8886	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) = ( n + ( 1 / 2 ) ) )
42	35, 36, 40, 41	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ZZ -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) = ( n + ( 1 / 2 ) ) )
43	42	breq2d 4100	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> ( M < ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <-> M < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) )
44	43	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M < ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <-> M < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) )
45		2z 9506	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. ZZ
46	45	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ZZ -> 2 e. ZZ )
47		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ZZ -> n e. ZZ )
48	46, 47	zmulcld 9607	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> ( 2 x. n ) e. ZZ )
49	48	zcnd 9602	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ZZ -> ( 2 x. n ) e. CC )
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 2 x. n ) e. CC )
51		pncan1 8555	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 x. n ) e. CC -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. n ) )
52	50, 51	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. n ) )
53	52	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) = ( ( 2 x. n ) / 2 ) )
54		2cnd 9215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ZZ -> 2 e. CC )
55	38	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ZZ -> 2 # 0 )
56	35, 54, 55	divcanap3d 8974	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> ( ( 2 x. n ) / 2 ) = n )
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( 2 x. n ) / 2 ) = n )
58	53, 57	eqtrd 2264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) = n )
59	58	breq2d 4100	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M <_ ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) <-> M <_ n ) )
60	34, 44, 59	3bitr4d 220	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M < ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <-> M <_ ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) ) )
61		oveq1 6024	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) = ( N / 2 ) )
62	61	breq2d 4100	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M < ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <-> M < ( N / 2 ) ) )
63		oveq1 6024	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) = ( N - 1 ) )
64	63	oveq1d 6032	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) = ( ( N - 1 ) / 2 ) )
65	64	breq2d 4100	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M <_ ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
66	62, 65	bibi12d 235	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( M < ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <-> M <_ ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) ) <-> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
67	60, 66	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
68	67	ex 115	. . . . . 6 |- ( n e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
69	68	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( M e. ZZ -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
70	69	com23 78	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M e. ZZ -> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
71	70	rexlimdva 2650	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M e. ZZ -> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
72	1, 71	sylbid 150	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N -> ( M e. ZZ -> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
73	72	3imp 1219	1 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ M e. ZZ ) -> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   E.wrex 2511   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   CCcc 8029   RRcr 8030   0cc0 8031   1c1 8032   + caddc 8034   x. cmul 8036   < clt 8213   <_ cle 8214   - cmin 8349   # cap 8760   / cdiv 8851   2c2 9193   ZZcz 9478   || cdvds 12347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-xor 1420  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-n0 9402  df-z 9479  df-dvds 12348

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1a  15786