Theorem ltoddhalfle 12204

Description: An integer is less than half of an odd number iff it is less than or equal to the half of the predecessor of the odd number (which is an even number). (Contributed by AV, 29-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ltoddhalfle	|- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ M e. ZZ ) -> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )

Proof of Theorem ltoddhalfle

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 12184	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
2		halfre 9250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 / 2 ) e. RR
3	2	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> ( 1 / 2 ) e. RR )
4		1red 8087	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> 1 e. RR )
5		zre 9376	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> n e. RR )
6	3, 4, 5	3jca 1180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ZZ -> ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 1 e. RR /\ n e. RR ) )
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 1 e. RR /\ n e. RR ) )
8		halflt1 9254	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 / 2 ) < 1
9		axltadd 8142	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ 1 e. RR /\ n e. RR ) -> ( ( 1 / 2 ) < 1 -> ( n + ( 1 / 2 ) ) < ( n + 1 ) ) )
10	7, 8, 9	mpisyl 1466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) < ( n + 1 ) )
11		zre 9376	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> M e. RR )
13	5, 3	readdcld 8102	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ZZ -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
14	13	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
15		peano2z 9408	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> ( n + 1 ) e. ZZ )
16	15	zred 9495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ZZ -> ( n + 1 ) e. RR )
17	16	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( n + 1 ) e. RR )
18		lttr 8146	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. RR /\ ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ ( n + 1 ) e. RR ) -> ( ( M < ( n + ( 1 / 2 ) ) /\ ( n + ( 1 / 2 ) ) < ( n + 1 ) ) -> M < ( n + 1 ) ) )
19	12, 14, 17, 18	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( M < ( n + ( 1 / 2 ) ) /\ ( n + ( 1 / 2 ) ) < ( n + 1 ) ) -> M < ( n + 1 ) ) )
20	10, 19	mpan2d 428	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M < ( n + ( 1 / 2 ) ) -> M < ( n + 1 ) ) )
21		zleltp1 9428	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( M <_ n <-> M < ( n + 1 ) ) )
22	21	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M <_ n <-> M < ( n + 1 ) ) )
23	20, 22	sylibrd 169	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M < ( n + ( 1 / 2 ) ) -> M <_ n ) )
24		halfgt0 9252	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < ( 1 / 2 )
25	3, 5	jca 306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ZZ -> ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ n e. RR ) )
26	25	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ n e. RR ) )
27		ltaddpos 8525	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ n e. RR ) -> ( 0 < ( 1 / 2 ) <-> n < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) )
28	26, 27	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 0 < ( 1 / 2 ) <-> n < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) )
29	24, 28	mpbii 148	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> n < ( n + ( 1 / 2 ) ) )
30	5	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> n e. RR )
31		lelttr 8161	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. RR /\ n e. RR /\ ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR ) -> ( ( M <_ n /\ n < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) -> M < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) )
32	12, 30, 14, 31	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( M <_ n /\ n < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) -> M < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) )
33	29, 32	mpan2d 428	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M <_ n -> M < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) )
34	23, 33	impbid 129	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M < ( n + ( 1 / 2 ) ) <-> M <_ n ) )
35		zcn 9377	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> n e. CC )
36		1cnd 8088	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> 1 e. CC )
37		2cn 9107	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. CC
38		2ap0 9129	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 # 0
39	37, 38	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
40	39	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) )
41		muldivdirap 8780	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) = ( n + ( 1 / 2 ) ) )
42	35, 36, 40, 41	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ZZ -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) = ( n + ( 1 / 2 ) ) )
43	42	breq2d 4056	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ -> ( M < ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <-> M < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) )
44	43	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M < ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <-> M < ( n + ( 1 / 2 ) ) ) )
45		2z 9400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. ZZ
46	45	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ZZ -> 2 e. ZZ )
47		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ZZ -> n e. ZZ )
48	46, 47	zmulcld 9501	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ZZ -> ( 2 x. n ) e. ZZ )
49	48	zcnd 9496	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ZZ -> ( 2 x. n ) e. CC )
50	49	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 2 x. n ) e. CC )
51		pncan1 8449	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 x. n ) e. CC -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. n ) )
52	50, 51	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) = ( 2 x. n ) )
53	52	oveq1d 5959	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) = ( ( 2 x. n ) / 2 ) )
54		2cnd 9109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ZZ -> 2 e. CC )
55	38	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ZZ -> 2 # 0 )
56	35, 54, 55	divcanap3d 8868	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> ( ( 2 x. n ) / 2 ) = n )
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( 2 x. n ) / 2 ) = n )
58	53, 57	eqtrd 2238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) = n )
59	58	breq2d 4056	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M <_ ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) <-> M <_ n ) )
60	34, 44, 59	3bitr4d 220	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M < ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <-> M <_ ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) ) )
61		oveq1 5951	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) = ( N / 2 ) )
62	61	breq2d 4056	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M < ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <-> M < ( N / 2 ) ) )
63		oveq1 5951	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) = ( N - 1 ) )
64	63	oveq1d 5959	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) = ( ( N - 1 ) / 2 ) )
65	64	breq2d 4056	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M <_ ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )
66	62, 65	bibi12d 235	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( M < ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / 2 ) <-> M <_ ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) - 1 ) / 2 ) ) <-> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
67	60, 66	syl5ibcom 155	. . . . . . 7 |- ( ( n e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) )
68	67	ex 115	. . . . . 6 |- ( n e. ZZ -> ( M e. ZZ -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
69	68	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( M e. ZZ -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
70	69	com23 78	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M e. ZZ -> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
71	70	rexlimdva 2623	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( M e. ZZ -> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
72	1, 71	sylbid 150	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N -> ( M e. ZZ -> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) ) ) )
73	72	3imp 1196	1 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N /\ M e. ZZ ) -> ( M < ( N / 2 ) <-> M <_ ( ( N - 1 ) / 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   E.wrex 2485   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944   CCcc 7923   RRcr 7924   0cc0 7925   1c1 7926   + caddc 7928   x. cmul 7930   < clt 8107   <_ cle 8108   - cmin 8243   # cap 8654   / cdiv 8745   2c2 9087   ZZcz 9372   || cdvds 12098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-n0 9296  df-z 9373  df-dvds 12099

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1a  15535