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Theorem ltoddhalfle 10986
Description: An integer is less than half of an odd number iff it is less than or equal to the half of the predecessor of the odd number (which is an even number). (Contributed by AV, 29-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
ltoddhalfle  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  N  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  <  ( N  /  2 )  <->  M  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) )

Proof of Theorem ltoddhalfle
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odd2np1 10966 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  <->  E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N ) )
2 halfre 8599 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
32a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
4 1red 7482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
5 zre 8724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  RR )
63, 4, 53jca 1123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( 1  /  2
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )
76adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  / 
2 )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)
8 halflt1 8603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  <  1
9 axltadd 7535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  (
( 1  /  2
)  <  1  ->  ( n  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( n  + 
1 ) ) )
107, 8, 9mpisyl 1380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( n  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( n  +  1 ) )
11 zre 8724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
1211adantl 271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
135, 3readdcld 7496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
n  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
1413adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( n  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
15 peano2z 8756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
n  +  1 )  e.  ZZ )
1615zred 8838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
n  +  1 )  e.  RR )
1716adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( n  +  1 )  e.  RR )
18 lttr 7538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( n  +  (
1  /  2 ) )  e.  RR  /\  ( n  +  1
)  e.  RR )  ->  ( ( M  <  ( n  +  ( 1  /  2
) )  /\  (
n  +  ( 1  /  2 ) )  <  ( n  + 
1 ) )  ->  M  <  ( n  + 
1 ) ) )
1912, 14, 17, 18syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( M  < 
( n  +  ( 1  /  2 ) )  /\  ( n  +  ( 1  / 
2 ) )  < 
( n  +  1 ) )  ->  M  <  ( n  +  1 ) ) )
2010, 19mpan2d 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  <  (
n  +  ( 1  /  2 ) )  ->  M  <  (
n  +  1 ) ) )
21 zleltp1 8775 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  n  <->  M  <  ( n  + 
1 ) ) )
2221ancoms 264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  n  <->  M  <  ( n  + 
1 ) ) )
2320, 22sylibrd 167 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  <  (
n  +  ( 1  /  2 ) )  ->  M  <_  n
) )
24 halfgt0 8601 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  ( 1  /  2
)
253, 5jca 300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( 1  /  2
)  e.  RR  /\  n  e.  RR )
)
2625adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  / 
2 )  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )
27 ltaddpos 7909 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( 0  <  (
1  /  2 )  <-> 
n  <  ( n  +  ( 1  / 
2 ) ) ) )
2826, 27syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 0  <  (
1  /  2 )  <-> 
n  <  ( n  +  ( 1  / 
2 ) ) ) )
2924, 28mpbii 146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  n  <  ( n  +  ( 1  / 
2 ) ) )
305adantr 270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  n  e.  RR )
31 lelttr 7552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  (
n  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )  -> 
( ( M  <_  n  /\  n  <  (
n  +  ( 1  /  2 ) ) )  ->  M  <  ( n  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
3212, 30, 14, 31syl3anc 1174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  n  /\  n  <  (
n  +  ( 1  /  2 ) ) )  ->  M  <  ( n  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
3329, 32mpan2d 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  n  ->  M  <  ( n  +  ( 1  / 
2 ) ) ) )
3423, 33impbid 127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  <  (
n  +  ( 1  /  2 ) )  <-> 
M  <_  n )
)
35 zcn 8725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
36 1cnd 7483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  1  e.  CC )
37 2cn 8464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
38 2ap0 8486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2 #  0
3937, 38pm3.2i 266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  CC  /\  2 #  0 )
4039a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
2  e.  CC  /\  2 #  0 ) )
41 muldivdirap 8148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  (
2  e.  CC  /\  2 #  0 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  2
)  =  ( n  +  ( 1  / 
2 ) ) )
4235, 36, 40, 41syl3anc 1174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  2 )  =  ( n  +  ( 1  /  2
) ) )
4342breq2d 3849 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  <  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
2 )  <->  M  <  ( n  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
4443adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  <  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  2 )  <-> 
M  <  ( n  +  ( 1  / 
2 ) ) ) )
45 2z 8748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  ZZ
4645a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ZZ  ->  2  e.  ZZ )
47 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  ZZ )
4846, 47zmulcld 8844 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
2  x.  n )  e.  ZZ )
4948zcnd 8839 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
2  x.  n )  e.  CC )
5049adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  CC )
51 pncan1 7834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  n )  e.  CC  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  n ) )
5250, 51syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  -  1 )  =  ( 2  x.  n ) )
5352oveq1d 5649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  - 
1 )  /  2
)  =  ( ( 2  x.  n )  /  2 ) )
54 2cnd 8466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
5538a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ZZ  ->  2 #  0 )
5635, 54, 55divcanap3d 8235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  n
)  /  2 )  =  n )
5756adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  n )  /  2
)  =  n )
5853, 57eqtrd 2120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  - 
1 )  /  2
)  =  n )
5958breq2d 3849 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  (
( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  -  1 )  /  2 )  <-> 
M  <_  n )
)
6034, 44, 593bitr4d 218 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  <  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  2 )  <-> 
M  <_  ( (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  -  1 )  /  2 ) ) )
61 oveq1 5641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  2 )  =  ( N  / 
2 ) )
6261breq2d 3849 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  ( M  <  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  / 
2 )  <->  M  <  ( N  /  2 ) ) )
63 oveq1 5641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  -  1 )  =  ( N  - 
1 ) )
6463oveq1d 5649 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  (
( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  -  1 )  /  2 )  =  ( ( N  -  1 )  / 
2 ) )
6564breq2d 3849 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  ( M  <_  ( ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  -  1 )  / 
2 )  <->  M  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) )
6662, 65bibi12d 233 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  +  1 )  =  N  ->  (
( M  <  (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  /  2 )  <-> 
M  <_  ( (
( ( 2  x.  n )  +  1 )  -  1 )  /  2 ) )  <-> 
( M  <  ( N  /  2 )  <->  M  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )
6760, 66syl5ibcom 153 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  ->  ( M  < 
( N  /  2
)  <->  M  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) )
6867ex 113 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  -> 
( M  <  ( N  /  2 )  <->  M  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )
6968adantl 271 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  ->  ( M  < 
( N  /  2
)  <->  M  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )
7069com23 77 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  <  ( N  /  2
)  <->  M  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )
7170rexlimdva 2489 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( ( 2  x.  n )  +  1 )  =  N  -> 
( M  e.  ZZ  ->  ( M  <  ( N  /  2 )  <->  M  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )
721, 71sylbid 148 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( -.  2  ||  N  -> 
( M  e.  ZZ  ->  ( M  <  ( N  /  2 )  <->  M  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )
73723imp 1137 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  N  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  <  ( N  /  2 )  <->  M  <_  ( ( N  -  1 )  /  2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   E.wrex 2360   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634   CCcc 7327   RRcr 7328   0cc0 7329   1c1 7330    + caddc 7332    x. cmul 7334    < clt 7501    <_ cle 7502    - cmin 7632   # cap 8034    / cdiv 8113   2c2 8444   ZZcz 8720    || cdvds 10889
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-xor 1312  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-n0 8644  df-z 8721  df-dvds 10890
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