ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltmnqi Unicode version

Theorem ltmnqi 7377
Description: Ordering property of multiplication for positive fractions. One direction of ltmnqg 7375. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltmnqi  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  ->  ( C  .Q  A
)  <Q  ( C  .Q  B ) )

Proof of Theorem ltmnqi
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . 2  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  ->  A  <Q  B )
2 ltrelnq 7339 . . . 4  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
32brel 4672 . . 3  |-  ( A 
<Q  B  ->  ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. ) )
4 ltmnqg 7375 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  ( C  .Q  A )  <Q  ( C  .Q  B ) ) )
543expa 1203 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  /\  C  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <-> 
( C  .Q  A
)  <Q  ( C  .Q  B ) ) )
63, 5sylan 283 . 2  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  ( C  .Q  A )  <Q  ( C  .Q  B ) ) )
71, 6mpbid 147 1  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  ->  ( C  .Q  A
)  <Q  ( C  .Q  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    e. wcel 2146   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865   Q.cnq 7254    .Q cmq 7257    <Q cltq 7259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-eprel 4283  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-oadd 6411  df-omul 6412  df-er 6525  df-ec 6527  df-qs 6531  df-ni 7278  df-mi 7280  df-lti 7281  df-mpq 7319  df-enq 7321  df-nqqs 7322  df-mqqs 7324  df-ltnqqs 7327
This theorem is referenced by:  prmuloclemcalc  7539  recexprlemss1l  7609  recexprlemss1u  7610
  Copyright terms: Public domain W3C validator