ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltmnqi Unicode version

Theorem ltmnqi 7402
Description: Ordering property of multiplication for positive fractions. One direction of ltmnqg 7400. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltmnqi  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  ->  ( C  .Q  A
)  <Q  ( C  .Q  B ) )

Proof of Theorem ltmnqi
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . 2  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  ->  A  <Q  B )
2 ltrelnq 7364 . . . 4  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
32brel 4679 . . 3  |-  ( A 
<Q  B  ->  ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. ) )
4 ltmnqg 7400 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  ( C  .Q  A )  <Q  ( C  .Q  B ) ) )
543expa 1203 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  /\  C  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <-> 
( C  .Q  A
)  <Q  ( C  .Q  B ) ) )
63, 5sylan 283 . 2  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  ( C  .Q  A )  <Q  ( C  .Q  B ) ) )
71, 6mpbid 147 1  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  ->  ( C  .Q  A
)  <Q  ( C  .Q  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    e. wcel 2148   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875   Q.cnq 7279    .Q cmq 7282    <Q cltq 7284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-eprel 4290  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-mi 7305  df-lti 7306  df-mpq 7344  df-enq 7346  df-nqqs 7347  df-mqqs 7349  df-ltnqqs 7352
This theorem is referenced by:  prmuloclemcalc  7564  recexprlemss1l  7634  recexprlemss1u  7635
  Copyright terms: Public domain W3C validator