Theorem ltmnqg 7768

Description: Ordering property of multiplication for positive fractions. Proposition 9-2.6(iii) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltmnqg	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( C .Q A ) <Q ( C .Q B ) ) )

Proof of Theorem ltmnqg

Dummy variables x y z w v u f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7715	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		breq1 4133	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> A <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) )
3		oveq2 6093	. . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) )
4	3	breq1d 4140	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) )
5	2, 4	bibi12d 235	. 2 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) <-> ( A <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) ) )
6		breq2 4134	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( A <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> A <Q B ) )
7		oveq2 6093	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q B ) )
8	7	breq2d 4142	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q B ) ) )
9	6, 8	bibi12d 235	. 2 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( ( A <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) <-> ( A <Q B <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q B ) ) ) )
10		oveq1 6092	. . . 4 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) = ( C .Q A ) )
11		oveq1 6092	. . . 4 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q B ) = ( C .Q B ) )
12	10, 11	breq12d 4143	. . 3 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q B ) <-> ( C .Q A ) <Q ( C .Q B ) ) )
13	12	bibi2d 232	. 2 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( ( A <Q B <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q B ) ) <-> ( A <Q B <-> ( C .Q A ) <Q ( C .Q B ) ) ) )
14		mulclpi 7695	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) e. N. )
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) e. N. )
16		simp1l 1052	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> x e. N. )
17		simp2r 1055	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> w e. N. )
18	15, 16, 17	caovcld 6243	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( x .N w ) e. N. )
19		simp1r 1053	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> y e. N. )
20		simp2l 1054	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> z e. N. )
21	15, 19, 20	caovcld 6243	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( y .N z ) e. N. )
22		mulclpi 7695	. . . . . . 7 |- ( ( v e. N. /\ u e. N. ) -> ( v .N u ) e. N. )
23	22	3ad2ant3 1051	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( v .N u ) e. N. )
24		ltmpig 7706	. . . . . 6 |- ( ( ( x .N w ) e. N. /\ ( y .N z ) e. N. /\ ( v .N u ) e. N. ) -> ( ( x .N w ) <N ( y .N z ) <-> ( ( v .N u ) .N ( x .N w ) ) <N ( ( v .N u ) .N ( y .N z ) ) ) )
25	18, 21, 23, 24	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) <N ( y .N z ) <-> ( ( v .N u ) .N ( x .N w ) ) <N ( ( v .N u ) .N ( y .N z ) ) ) )
26		simp3l 1056	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> v e. N. )
27		simp3r 1057	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> u e. N. )
28		mulcompig 7698	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
29	28	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
30		mulasspig 7699	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
31	30	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
32	26, 16, 27, 29, 31, 17, 15	caov4d 6274	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( v .N x ) .N ( u .N w ) ) = ( ( v .N u ) .N ( x .N w ) ) )
33	27, 19, 26, 29, 31, 20, 15	caov4d 6274	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N y ) .N ( v .N z ) ) = ( ( u .N v ) .N ( y .N z ) ) )
34		mulcompig 7698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u e. N. /\ v e. N. ) -> ( u .N v ) = ( v .N u ) )
35	34	oveq1d 6100	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. N. /\ v e. N. ) -> ( ( u .N v ) .N ( y .N z ) ) = ( ( v .N u ) .N ( y .N z ) ) )
36	35	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( v e. N. /\ u e. N. ) -> ( ( u .N v ) .N ( y .N z ) ) = ( ( v .N u ) .N ( y .N z ) ) )
37	36	3ad2ant3 1051	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N v ) .N ( y .N z ) ) = ( ( v .N u ) .N ( y .N z ) ) )
38	33, 37	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N y ) .N ( v .N z ) ) = ( ( v .N u ) .N ( y .N z ) ) )
39	32, 38	breq12d 4143	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( v .N x ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( v .N z ) ) <-> ( ( v .N u ) .N ( x .N w ) ) <N ( ( v .N u ) .N ( y .N z ) ) ) )
40	25, 39	bitr4d 191	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) <N ( y .N z ) <-> ( ( v .N x ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( v .N z ) ) ) )
41		ordpipqqs 7741	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( x .N w ) <N ( y .N z ) ) )
42	41	3adant3 1048	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( x .N w ) <N ( y .N z ) ) )
43	15, 26, 16	caovcld 6243	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( v .N x ) e. N. )
44	15, 27, 19	caovcld 6243	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( u .N y ) e. N. )
45	15, 26, 20	caovcld 6243	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( v .N z ) e. N. )
46	15, 27, 17	caovcld 6243	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( u .N w ) e. N. )
47		ordpipqqs 7741	. . . . 5 |- ( ( ( ( v .N x ) e. N. /\ ( u .N y ) e. N. ) /\ ( ( v .N z ) e. N. /\ ( u .N w ) e. N. ) ) -> ( [ <. ( v .N x ) , ( u .N y ) >. ] ~Q <Q [ <. ( v .N z ) , ( u .N w ) >. ] ~Q <-> ( ( v .N x ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( v .N z ) ) ) )
48	43, 44, 45, 46, 47	syl22anc 1279	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. ( v .N x ) , ( u .N y ) >. ] ~Q <Q [ <. ( v .N z ) , ( u .N w ) >. ] ~Q <-> ( ( v .N x ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( v .N z ) ) ) )
49	40, 42, 48	3bitr4d 220	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> [ <. ( v .N x ) , ( u .N y ) >. ] ~Q <Q [ <. ( v .N z ) , ( u .N w ) >. ] ~Q ) )
50		mulpipqqs 7740	. . . . . 6 |- ( ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = [ <. ( v .N x ) , ( u .N y ) >. ] ~Q )
51	50	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = [ <. ( v .N x ) , ( u .N y ) >. ] ~Q )
52	51	3adant2 1047	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = [ <. ( v .N x ) , ( u .N y ) >. ] ~Q )
53		mulpipqqs 7740	. . . . . 6 |- ( ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( v .N z ) , ( u .N w ) >. ] ~Q )
54	53	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( v .N z ) , ( u .N w ) >. ] ~Q )
55	54	3adant1 1046	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( v .N z ) , ( u .N w ) >. ] ~Q )
56	52, 55	breq12d 4143	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> [ <. ( v .N x ) , ( u .N y ) >. ] ~Q <Q [ <. ( v .N z ) , ( u .N w ) >. ] ~Q ) )
57	49, 56	bitr4d 191	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) )
58	1, 5, 9, 13, 57	3ecoptocl 6898	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( C .Q A ) <Q ( C .Q B ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3712   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   [cec 6805   N.cnpi 7639   .N cmi 7641   <N clti 7642   ~Q ceq 7646   Q.cnq 7647   .Q cmq 7650   <Q cltq 7652

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-eprel 4434  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6807  df-ec 6809  df-qs 6813  df-ni 7671  df-mi 7673  df-lti 7674  df-mpq 7712  df-enq 7714  df-nqqs 7715  df-mqqs 7717  df-ltnqqs 7720

This theorem is used by:  ltmnqi  7770  lt2mulnq  7772  ltaddnq  7774  prarloclemarch  7785  prarloclemarch2  7786  ltrnqg  7787  prarloclemlt  7860  addnqprllem  7894  addnqprulem  7895  appdivnq  7930  mulnqprl  7935  mulnqpru  7936  mullocprlem  7937  mulclpr  7939  distrlem4prl  7951  distrlem4pru  7952  1idprl  7957  1idpru  7958  recexprlem1ssl  8000  recexprlem1ssu  8001