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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > ltmnqg | Unicode version |
Description: Ordering property of multiplication for positive fractions. Proposition 9-2.6(iii) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Sep-2019.) |
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ltmnqg |
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1 | df-nqqs 6905 |
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2 | breq1 3848 |
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3 | oveq2 5660 |
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4 | 3 | breq1d 3855 |
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5 | 2, 4 | bibi12d 233 |
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6 | breq2 3849 |
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7 | oveq2 5660 |
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8 | 7 | breq2d 3857 |
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9 | 6, 8 | bibi12d 233 |
. 2
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10 | oveq1 5659 |
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11 | oveq1 5659 |
. . . 4
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12 | 10, 11 | breq12d 3858 |
. . 3
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13 | 12 | bibi2d 230 |
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14 | mulclpi 6885 |
. . . . . . . 8
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15 | 14 | adantl 271 |
. . . . . . 7
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16 | simp1l 967 |
. . . . . . 7
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17 | simp2r 970 |
. . . . . . 7
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18 | 15, 16, 17 | caovcld 5798 |
. . . . . 6
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19 | simp1r 968 |
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21 | 15, 19, 20 | caovcld 5798 |
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22 | mulclpi 6885 |
. . . . . . 7
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23 | 22 | 3ad2ant3 966 |
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24 | ltmpig 6896 |
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25 | 18, 21, 23, 24 | syl3anc 1174 |
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26 | simp3l 971 |
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27 | simp3r 972 |
. . . . . . 7
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28 | mulcompig 6888 |
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29 | 28 | adantl 271 |
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30 | mulasspig 6889 |
. . . . . . . 8
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31 | 30 | adantl 271 |
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32 | 26, 16, 27, 29, 31, 17, 15 | caov4d 5829 |
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33 | 27, 19, 26, 29, 31, 20, 15 | caov4d 5829 |
. . . . . . 7
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34 | mulcompig 6888 |
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35 | 34 | oveq1d 5667 |
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36 | 35 | ancoms 264 |
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37 | 36 | 3ad2ant3 966 |
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38 | 33, 37 | eqtrd 2120 |
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39 | 32, 38 | breq12d 3858 |
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40 | 25, 39 | bitr4d 189 |
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41 | ordpipqqs 6931 |
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42 | 41 | 3adant3 963 |
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43 | 15, 26, 16 | caovcld 5798 |
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44 | 15, 27, 19 | caovcld 5798 |
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45 | 15, 26, 20 | caovcld 5798 |
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46 | 15, 27, 17 | caovcld 5798 |
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47 | ordpipqqs 6931 |
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48 | 43, 44, 45, 46, 47 | syl22anc 1175 |
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49 | 40, 42, 48 | 3bitr4d 218 |
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50 | mulpipqqs 6930 |
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51 | 50 | ancoms 264 |
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52 | 51 | 3adant2 962 |
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53 | mulpipqqs 6930 |
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54 | 53 | ancoms 264 |
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55 | 54 | 3adant1 961 |
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56 | 52, 55 | breq12d 3858 |
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57 | 49, 56 | bitr4d 189 |
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58 | 1, 5, 9, 13, 57 | 3ecoptocl 6379 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 579 ax-in2 580 ax-io 665 ax-5 1381 ax-7 1382 ax-gen 1383 ax-ie1 1427 ax-ie2 1428 ax-8 1440 ax-10 1441 ax-11 1442 ax-i12 1443 ax-bndl 1444 ax-4 1445 ax-13 1449 ax-14 1450 ax-17 1464 ax-i9 1468 ax-ial 1472 ax-i5r 1473 ax-ext 2070 ax-coll 3954 ax-sep 3957 ax-nul 3965 ax-pow 4009 ax-pr 4036 ax-un 4260 ax-setind 4353 ax-iinf 4403 |
This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 781 df-3or 925 df-3an 926 df-tru 1292 df-fal 1295 df-nf 1395 df-sb 1693 df-eu 1951 df-mo 1952 df-clab 2075 df-cleq 2081 df-clel 2084 df-nfc 2217 df-ne 2256 df-ral 2364 df-rex 2365 df-reu 2366 df-rab 2368 df-v 2621 df-sbc 2841 df-csb 2934 df-dif 3001 df-un 3003 df-in 3005 df-ss 3012 df-nul 3287 df-pw 3431 df-sn 3452 df-pr 3453 df-op 3455 df-uni 3654 df-int 3689 df-iun 3732 df-br 3846 df-opab 3900 df-mpt 3901 df-tr 3937 df-eprel 4116 df-id 4120 df-iord 4193 df-on 4195 df-suc 4198 df-iom 4406 df-xp 4444 df-rel 4445 df-cnv 4446 df-co 4447 df-dm 4448 df-rn 4449 df-res 4450 df-ima 4451 df-iota 4980 df-fun 5017 df-fn 5018 df-f 5019 df-f1 5020 df-fo 5021 df-f1o 5022 df-fv 5023 df-ov 5655 df-oprab 5656 df-mpt2 5657 df-1st 5911 df-2nd 5912 df-recs 6070 df-irdg 6135 df-oadd 6185 df-omul 6186 df-er 6290 df-ec 6292 df-qs 6296 df-ni 6861 df-mi 6863 df-lti 6864 df-mpq 6902 df-enq 6904 df-nqqs 6905 df-mqqs 6907 df-ltnqqs 6910 |
This theorem is referenced by: ltmnqi 6960 lt2mulnq 6962 ltaddnq 6964 prarloclemarch 6975 prarloclemarch2 6976 ltrnqg 6977 prarloclemlt 7050 addnqprllem 7084 addnqprulem 7085 appdivnq 7120 mulnqprl 7125 mulnqpru 7126 mullocprlem 7127 mulclpr 7129 distrlem4prl 7141 distrlem4pru 7142 1idprl 7147 1idpru 7148 recexprlem1ssl 7190 recexprlem1ssu 7191 |
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