Theorem ltmnqg 7758

Description: Ordering property of multiplication for positive fractions. Proposition 9-2.6(iii) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltmnqg	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( C .Q A ) <Q ( C .Q B ) ) )

Proof of Theorem ltmnqg

Dummy variables x y z w v u f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7705	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		breq1 4128	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> A <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) )
3		oveq2 6083	. . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) )
4	3	breq1d 4135	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) )
5	2, 4	bibi12d 235	. 2 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) <-> ( A <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) ) )
6		breq2 4129	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( A <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> A <Q B ) )
7		oveq2 6083	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q B ) )
8	7	breq2d 4137	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q B ) ) )
9	6, 8	bibi12d 235	. 2 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( ( A <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) <-> ( A <Q B <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q B ) ) ) )
10		oveq1 6082	. . . 4 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) = ( C .Q A ) )
11		oveq1 6082	. . . 4 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q B ) = ( C .Q B ) )
12	10, 11	breq12d 4138	. . 3 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q B ) <-> ( C .Q A ) <Q ( C .Q B ) ) )
13	12	bibi2d 232	. 2 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( ( A <Q B <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q B ) ) <-> ( A <Q B <-> ( C .Q A ) <Q ( C .Q B ) ) ) )
14		mulclpi 7685	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) e. N. )
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) e. N. )
16		simp1l 1052	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> x e. N. )
17		simp2r 1055	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> w e. N. )
18	15, 16, 17	caovcld 6233	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( x .N w ) e. N. )
19		simp1r 1053	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> y e. N. )
20		simp2l 1054	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> z e. N. )
21	15, 19, 20	caovcld 6233	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( y .N z ) e. N. )
22		mulclpi 7685	. . . . . . 7 |- ( ( v e. N. /\ u e. N. ) -> ( v .N u ) e. N. )
23	22	3ad2ant3 1051	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( v .N u ) e. N. )
24		ltmpig 7696	. . . . . 6 |- ( ( ( x .N w ) e. N. /\ ( y .N z ) e. N. /\ ( v .N u ) e. N. ) -> ( ( x .N w ) <N ( y .N z ) <-> ( ( v .N u ) .N ( x .N w ) ) <N ( ( v .N u ) .N ( y .N z ) ) ) )
25	18, 21, 23, 24	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) <N ( y .N z ) <-> ( ( v .N u ) .N ( x .N w ) ) <N ( ( v .N u ) .N ( y .N z ) ) ) )
26		simp3l 1056	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> v e. N. )
27		simp3r 1057	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> u e. N. )
28		mulcompig 7688	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
29	28	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
30		mulasspig 7689	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
31	30	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
32	26, 16, 27, 29, 31, 17, 15	caov4d 6264	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( v .N x ) .N ( u .N w ) ) = ( ( v .N u ) .N ( x .N w ) ) )
33	27, 19, 26, 29, 31, 20, 15	caov4d 6264	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N y ) .N ( v .N z ) ) = ( ( u .N v ) .N ( y .N z ) ) )
34		mulcompig 7688	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u e. N. /\ v e. N. ) -> ( u .N v ) = ( v .N u ) )
35	34	oveq1d 6090	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. N. /\ v e. N. ) -> ( ( u .N v ) .N ( y .N z ) ) = ( ( v .N u ) .N ( y .N z ) ) )
36	35	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( v e. N. /\ u e. N. ) -> ( ( u .N v ) .N ( y .N z ) ) = ( ( v .N u ) .N ( y .N z ) ) )
37	36	3ad2ant3 1051	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N v ) .N ( y .N z ) ) = ( ( v .N u ) .N ( y .N z ) ) )
38	33, 37	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N y ) .N ( v .N z ) ) = ( ( v .N u ) .N ( y .N z ) ) )
39	32, 38	breq12d 4138	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( v .N x ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( v .N z ) ) <-> ( ( v .N u ) .N ( x .N w ) ) <N ( ( v .N u ) .N ( y .N z ) ) ) )
40	25, 39	bitr4d 191	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) <N ( y .N z ) <-> ( ( v .N x ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( v .N z ) ) ) )
41		ordpipqqs 7731	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( x .N w ) <N ( y .N z ) ) )
42	41	3adant3 1048	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( x .N w ) <N ( y .N z ) ) )
43	15, 26, 16	caovcld 6233	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( v .N x ) e. N. )
44	15, 27, 19	caovcld 6233	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( u .N y ) e. N. )
45	15, 26, 20	caovcld 6233	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( v .N z ) e. N. )
46	15, 27, 17	caovcld 6233	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( u .N w ) e. N. )
47		ordpipqqs 7731	. . . . 5 |- ( ( ( ( v .N x ) e. N. /\ ( u .N y ) e. N. ) /\ ( ( v .N z ) e. N. /\ ( u .N w ) e. N. ) ) -> ( [ <. ( v .N x ) , ( u .N y ) >. ] ~Q <Q [ <. ( v .N z ) , ( u .N w ) >. ] ~Q <-> ( ( v .N x ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( v .N z ) ) ) )
48	43, 44, 45, 46, 47	syl22anc 1279	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. ( v .N x ) , ( u .N y ) >. ] ~Q <Q [ <. ( v .N z ) , ( u .N w ) >. ] ~Q <-> ( ( v .N x ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( v .N z ) ) ) )
49	40, 42, 48	3bitr4d 220	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> [ <. ( v .N x ) , ( u .N y ) >. ] ~Q <Q [ <. ( v .N z ) , ( u .N w ) >. ] ~Q ) )
50		mulpipqqs 7730	. . . . . 6 |- ( ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = [ <. ( v .N x ) , ( u .N y ) >. ] ~Q )
51	50	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = [ <. ( v .N x ) , ( u .N y ) >. ] ~Q )
52	51	3adant2 1047	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = [ <. ( v .N x ) , ( u .N y ) >. ] ~Q )
53		mulpipqqs 7730	. . . . . 6 |- ( ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( v .N z ) , ( u .N w ) >. ] ~Q )
54	53	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( v .N z ) , ( u .N w ) >. ] ~Q )
55	54	3adant1 1046	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( v .N z ) , ( u .N w ) >. ] ~Q )
56	52, 55	breq12d 4138	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> [ <. ( v .N x ) , ( u .N y ) >. ] ~Q <Q [ <. ( v .N z ) , ( u .N w ) >. ] ~Q ) )
57	49, 56	bitr4d 191	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) )
58	1, 5, 9, 13, 57	3ecoptocl 6888	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( C .Q A ) <Q ( C .Q B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3708   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   [cec 6795   N.cnpi 7629   .N cmi 7631   <N clti 7632   ~Q ceq 7636   Q.cnq 7637   .Q cmq 7640   <Q cltq 7642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-eprel 4429  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-oadd 6681  df-omul 6682  df-er 6797  df-ec 6799  df-qs 6803  df-ni 7661  df-mi 7663  df-lti 7664  df-mpq 7702  df-enq 7704  df-nqqs 7705  df-mqqs 7707  df-ltnqqs 7710

This theorem is referenced by:  ltmnqi  7760  lt2mulnq  7762  ltaddnq  7764  prarloclemarch  7775  prarloclemarch2  7776  ltrnqg  7777  prarloclemlt  7850  addnqprllem  7884  addnqprulem  7885  appdivnq  7920  mulnqprl  7925  mulnqpru  7926  mullocprlem  7927  mulclpr  7929  distrlem4prl  7941  distrlem4pru  7942  1idprl  7947  1idpru  7948  recexprlem1ssl  7990  recexprlem1ssu  7991