Theorem ltmnqg 7681

Description: Ordering property of multiplication for positive fractions. Proposition 9-2.6(iii) of [Gleason] p. 120. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltmnqg	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( C .Q A ) <Q ( C .Q B ) ) )

Proof of Theorem ltmnqg

Dummy variables x y z w v u f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7628	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		breq1 4096	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> A <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) )
3		oveq2 6036	. . . 4 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) )
4	3	breq1d 4103	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) )
5	2, 4	bibi12d 235	. 2 |- ( [ <. x , y >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) <-> ( A <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) ) )
6		breq2 4097	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( A <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> A <Q B ) )
7		oveq2 6036	. . . 4 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q B ) )
8	7	breq2d 4105	. . 3 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q B ) ) )
9	6, 8	bibi12d 235	. 2 |- ( [ <. z , w >. ] ~Q = B -> ( ( A <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) <-> ( A <Q B <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q B ) ) ) )
10		oveq1 6035	. . . 4 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) = ( C .Q A ) )
11		oveq1 6035	. . . 4 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q B ) = ( C .Q B ) )
12	10, 11	breq12d 4106	. . 3 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q B ) <-> ( C .Q A ) <Q ( C .Q B ) ) )
13	12	bibi2d 232	. 2 |- ( [ <. v , u >. ] ~Q = C -> ( ( A <Q B <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q A ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q B ) ) <-> ( A <Q B <-> ( C .Q A ) <Q ( C .Q B ) ) ) )
14		mulclpi 7608	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) e. N. )
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) e. N. )
16		simp1l 1048	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> x e. N. )
17		simp2r 1051	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> w e. N. )
18	15, 16, 17	caovcld 6186	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( x .N w ) e. N. )
19		simp1r 1049	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> y e. N. )
20		simp2l 1050	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> z e. N. )
21	15, 19, 20	caovcld 6186	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( y .N z ) e. N. )
22		mulclpi 7608	. . . . . . 7 |- ( ( v e. N. /\ u e. N. ) -> ( v .N u ) e. N. )
23	22	3ad2ant3 1047	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( v .N u ) e. N. )
24		ltmpig 7619	. . . . . 6 |- ( ( ( x .N w ) e. N. /\ ( y .N z ) e. N. /\ ( v .N u ) e. N. ) -> ( ( x .N w ) <N ( y .N z ) <-> ( ( v .N u ) .N ( x .N w ) ) <N ( ( v .N u ) .N ( y .N z ) ) ) )
25	18, 21, 23, 24	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) <N ( y .N z ) <-> ( ( v .N u ) .N ( x .N w ) ) <N ( ( v .N u ) .N ( y .N z ) ) ) )
26		simp3l 1052	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> v e. N. )
27		simp3r 1053	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> u e. N. )
28		mulcompig 7611	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
29	28	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
30		mulasspig 7612	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
31	30	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
32	26, 16, 27, 29, 31, 17, 15	caov4d 6217	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( v .N x ) .N ( u .N w ) ) = ( ( v .N u ) .N ( x .N w ) ) )
33	27, 19, 26, 29, 31, 20, 15	caov4d 6217	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N y ) .N ( v .N z ) ) = ( ( u .N v ) .N ( y .N z ) ) )
34		mulcompig 7611	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u e. N. /\ v e. N. ) -> ( u .N v ) = ( v .N u ) )
35	34	oveq1d 6043	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. N. /\ v e. N. ) -> ( ( u .N v ) .N ( y .N z ) ) = ( ( v .N u ) .N ( y .N z ) ) )
36	35	ancoms 268	. . . . . . . 8 |- ( ( v e. N. /\ u e. N. ) -> ( ( u .N v ) .N ( y .N z ) ) = ( ( v .N u ) .N ( y .N z ) ) )
37	36	3ad2ant3 1047	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N v ) .N ( y .N z ) ) = ( ( v .N u ) .N ( y .N z ) ) )
38	33, 37	eqtrd 2264	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( u .N y ) .N ( v .N z ) ) = ( ( v .N u ) .N ( y .N z ) ) )
39	32, 38	breq12d 4106	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( v .N x ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( v .N z ) ) <-> ( ( v .N u ) .N ( x .N w ) ) <N ( ( v .N u ) .N ( y .N z ) ) ) )
40	25, 39	bitr4d 191	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N w ) <N ( y .N z ) <-> ( ( v .N x ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( v .N z ) ) ) )
41		ordpipqqs 7654	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( x .N w ) <N ( y .N z ) ) )
42	41	3adant3 1044	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( x .N w ) <N ( y .N z ) ) )
43	15, 26, 16	caovcld 6186	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( v .N x ) e. N. )
44	15, 27, 19	caovcld 6186	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( u .N y ) e. N. )
45	15, 26, 20	caovcld 6186	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( v .N z ) e. N. )
46	15, 27, 17	caovcld 6186	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( u .N w ) e. N. )
47		ordpipqqs 7654	. . . . 5 |- ( ( ( ( v .N x ) e. N. /\ ( u .N y ) e. N. ) /\ ( ( v .N z ) e. N. /\ ( u .N w ) e. N. ) ) -> ( [ <. ( v .N x ) , ( u .N y ) >. ] ~Q <Q [ <. ( v .N z ) , ( u .N w ) >. ] ~Q <-> ( ( v .N x ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( v .N z ) ) ) )
48	43, 44, 45, 46, 47	syl22anc 1275	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. ( v .N x ) , ( u .N y ) >. ] ~Q <Q [ <. ( v .N z ) , ( u .N w ) >. ] ~Q <-> ( ( v .N x ) .N ( u .N w ) ) <N ( ( u .N y ) .N ( v .N z ) ) ) )
49	40, 42, 48	3bitr4d 220	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> [ <. ( v .N x ) , ( u .N y ) >. ] ~Q <Q [ <. ( v .N z ) , ( u .N w ) >. ] ~Q ) )
50		mulpipqqs 7653	. . . . . 6 |- ( ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( x e. N. /\ y e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = [ <. ( v .N x ) , ( u .N y ) >. ] ~Q )
51	50	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = [ <. ( v .N x ) , ( u .N y ) >. ] ~Q )
52	51	3adant2 1043	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. x , y >. ] ~Q ) = [ <. ( v .N x ) , ( u .N y ) >. ] ~Q )
53		mulpipqqs 7653	. . . . . 6 |- ( ( ( v e. N. /\ u e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( v .N z ) , ( u .N w ) >. ] ~Q )
54	53	ancoms 268	. . . . 5 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( v .N z ) , ( u .N w ) >. ] ~Q )
55	54	3adant1 1042	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( v .N z ) , ( u .N w ) >. ] ~Q )
56	52, 55	breq12d 4106	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) <-> [ <. ( v .N x ) , ( u .N y ) >. ] ~Q <Q [ <. ( v .N z ) , ( u .N w ) >. ] ~Q ) )
57	49, 56	bitr4d 191	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. x , y >. ] ~Q ) <Q ( [ <. v , u >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) ) )
58	1, 5, 9, 13, 57	3ecoptocl 6836	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( C .Q A ) <Q ( C .Q B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   <.cop 3676   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   [cec 6743   N.cnpi 7552   .N cmi 7554   <N clti 7555   ~Q ceq 7559   Q.cnq 7560   .Q cmq 7563   <Q cltq 7565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-eprel 4392  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-ni 7584  df-mi 7586  df-lti 7587  df-mpq 7625  df-enq 7627  df-nqqs 7628  df-mqqs 7630  df-ltnqqs 7633

This theorem is referenced by:  ltmnqi  7683  lt2mulnq  7685  ltaddnq  7687  prarloclemarch  7698  prarloclemarch2  7699  ltrnqg  7700  prarloclemlt  7773  addnqprllem  7807  addnqprulem  7808  appdivnq  7843  mulnqprl  7848  mulnqpru  7849  mullocprlem  7850  mulclpr  7852  distrlem4prl  7864  distrlem4pru  7865  1idprl  7870  1idpru  7871  recexprlem1ssl  7913  recexprlem1ssu  7914