ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltanqi Unicode version

Theorem ltanqi 6961
Description: Ordering property of addition for positive fractions. One direction of ltanqg 6959. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltanqi  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  ->  ( C  +Q  A
)  <Q  ( C  +Q  B ) )

Proof of Theorem ltanqi
StepHypRef Expression
1 simpl 107 . 2  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  ->  A  <Q  B )
2 ltrelnq 6924 . . . 4  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
32brel 4490 . . 3  |-  ( A 
<Q  B  ->  ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. ) )
4 ltanqg 6959 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  ( C  +Q  A )  <Q  ( C  +Q  B ) ) )
543expa 1143 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  /\  C  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <-> 
( C  +Q  A
)  <Q  ( C  +Q  B ) ) )
63, 5sylan 277 . 2  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  ( C  +Q  A )  <Q  ( C  +Q  B ) ) )
71, 6mpbid 145 1  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  ->  ( C  +Q  A
)  <Q  ( C  +Q  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1438   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   Q.cnq 6839    +Q cplq 6841    <Q cltq 6844
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-eprel 4116  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-oadd 6185  df-omul 6186  df-er 6292  df-ec 6294  df-qs 6298  df-ni 6863  df-pli 6864  df-mi 6865  df-lti 6866  df-plpq 6903  df-enq 6906  df-nqqs 6907  df-plqqs 6908  df-ltnqqs 6912
This theorem is referenced by:  ltbtwnnqq  6974  prmuloclemcalc  7124  ltexprlemlol  7161  ltexprlemupu  7163  addcanprlemu  7174  cauappcvgprlemloc  7211  cauappcvgprlem2  7219  caucvgprlemloc  7234  caucvgprlem1  7238  caucvgprlem2  7239  caucvgprprlemloccalc  7243
  Copyright terms: Public domain W3C validator