Theorem ltanqi 7431

Description: Ordering property of addition for positive fractions. One direction of ltanqg 7429. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltanqi	|- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> ( C +Q A ) <Q ( C +Q B ) )

Proof of Theorem ltanqi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. 2 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> A <Q B )
2		ltrelnq 7394	. . . 4 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	2	brel 4696	. . 3 |- ( A <Q B -> ( A e. Q. /\ B e. Q. ) )
4		ltanqg 7429	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( C +Q A ) <Q ( C +Q B ) ) )
5	4	3expa 1205	. . 3 |- ( ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) /\ C e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( C +Q A ) <Q ( C +Q B ) ) )
6	3, 5	sylan 283	. 2 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> ( A <Q B <-> ( C +Q A ) <Q ( C +Q B ) ) )
7	1, 6	mpbid 147	1 |- ( ( A <Q B /\ C e. Q. ) -> ( C +Q A ) <Q ( C +Q B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5896   Q.cnq 7309   +Q cplq 7311   <Q cltq 7314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-oadd 6445  df-omul 6446  df-er 6559  df-ec 6561  df-qs 6565  df-ni 7333  df-pli 7334  df-mi 7335  df-lti 7336  df-plpq 7373  df-enq 7376  df-nqqs 7377  df-plqqs 7378  df-ltnqqs 7382

This theorem is referenced by:  ltbtwnnqq  7444  prmuloclemcalc  7594  ltexprlemlol  7631  ltexprlemupu  7633  addcanprlemu  7644  cauappcvgprlemloc  7681  cauappcvgprlem2  7689  caucvgprlemloc  7704  caucvgprlem1  7708  caucvgprlem2  7709  caucvgprprlemloccalc  7713