ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltanqi Unicode version

Theorem ltanqi 7222
Description: Ordering property of addition for positive fractions. One direction of ltanqg 7220. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltanqi  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  ->  ( C  +Q  A
)  <Q  ( C  +Q  B ) )

Proof of Theorem ltanqi
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . 2  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  ->  A  <Q  B )
2 ltrelnq 7185 . . . 4  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
32brel 4591 . . 3  |-  ( A 
<Q  B  ->  ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. ) )
4 ltanqg 7220 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q.  /\  C  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  ( C  +Q  A )  <Q  ( C  +Q  B ) ) )
543expa 1181 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  /\  C  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <-> 
( C  +Q  A
)  <Q  ( C  +Q  B ) ) )
63, 5sylan 281 . 2  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  ( C  +Q  A )  <Q  ( C  +Q  B ) ) )
71, 6mpbid 146 1  |-  ( ( A  <Q  B  /\  C  e.  Q. )  ->  ( C  +Q  A
)  <Q  ( C  +Q  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   Q.cnq 7100    +Q cplq 7102    <Q cltq 7105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7124  df-pli 7125  df-mi 7126  df-lti 7127  df-plpq 7164  df-enq 7167  df-nqqs 7168  df-plqqs 7169  df-ltnqqs 7173
This theorem is referenced by:  ltbtwnnqq  7235  prmuloclemcalc  7385  ltexprlemlol  7422  ltexprlemupu  7424  addcanprlemu  7435  cauappcvgprlemloc  7472  cauappcvgprlem2  7480  caucvgprlemloc  7495  caucvgprlem1  7499  caucvgprlem2  7500  caucvgprprlemloccalc  7504
  Copyright terms: Public domain W3C validator