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Theorem prmuloclemcalc 7124
Description: Calculations for prmuloc 7125. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
prmuloclemcalc.ru  |-  ( ph  ->  R  <Q  U )
prmuloclemcalc.udp  |-  ( ph  ->  U  <Q  ( D  +Q  P ) )
prmuloclemcalc.axb  |-  ( ph  ->  ( A  +Q  X
)  =  B )
prmuloclemcalc.pbrx  |-  ( ph  ->  ( P  .Q  B
)  <Q  ( R  .Q  X ) )
prmuloclemcalc.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Q. )
prmuloclemcalc.b  |-  ( ph  ->  B  e.  Q. )
prmuloclemcalc.d  |-  ( ph  ->  D  e.  Q. )
prmuloclemcalc.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Q. )
prmuloclemcalc.x  |-  ( ph  ->  X  e.  Q. )
Assertion
Ref Expression
prmuloclemcalc  |-  ( ph  ->  ( U  .Q  A
)  <Q  ( D  .Q  B ) )

Proof of Theorem prmuloclemcalc
StepHypRef Expression
1 prmuloclemcalc.axb . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  +Q  X
)  =  B )
21oveq2d 5668 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  .Q  ( A  +Q  X ) )  =  ( U  .Q  B ) )
3 prmuloclemcalc.ru . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  <Q  U )
4 ltrelnq 6924 . . . . . . . . . 10  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
54brel 4490 . . . . . . . . 9  |-  ( R 
<Q  U  ->  ( R  e.  Q.  /\  U  e.  Q. ) )
63, 5syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  e.  Q.  /\  U  e.  Q. )
)
76simprd 112 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  Q. )
8 prmuloclemcalc.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  Q. )
9 prmuloclemcalc.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  Q. )
10 distrnqg 6946 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  Q.  /\  A  e.  Q.  /\  X  e.  Q. )  ->  ( U  .Q  ( A  +Q  X ) )  =  ( ( U  .Q  A )  +Q  ( U  .Q  X ) ) )
117, 8, 9, 10syl3anc 1174 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  .Q  ( A  +Q  X ) )  =  ( ( U  .Q  A )  +Q  ( U  .Q  X
) ) )
122, 11eqtr3d 2122 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U  .Q  B
)  =  ( ( U  .Q  A )  +Q  ( U  .Q  X ) ) )
13 prmuloclemcalc.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  Q. )
14 mulcomnqg 6942 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  Q.  /\  U  e.  Q. )  ->  ( B  .Q  U
)  =  ( U  .Q  B ) )
1513, 7, 14syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  .Q  U
)  =  ( U  .Q  B ) )
16 prmuloclemcalc.udp . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  <Q  ( D  +Q  P ) )
17 ltmnqi 6962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  <Q  ( D  +Q  P )  /\  B  e.  Q. )  ->  ( B  .Q  U )  <Q 
( B  .Q  ( D  +Q  P ) ) )
1816, 13, 17syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  .Q  U
)  <Q  ( B  .Q  ( D  +Q  P
) ) )
19 prmuloclemcalc.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  Q. )
20 prmuloclemcalc.p . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  Q. )
21 distrnqg 6946 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  Q.  /\  D  e.  Q.  /\  P  e.  Q. )  ->  ( B  .Q  ( D  +Q  P ) )  =  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( B  .Q  P ) ) )
2213, 19, 20, 21syl3anc 1174 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  .Q  ( D  +Q  P ) )  =  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( B  .Q  P
) ) )
2318, 22breqtrd 3869 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  .Q  U
)  <Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( B  .Q  P
) ) )
24 mulcomnqg 6942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( P  .Q  B
)  =  ( B  .Q  P ) )
2520, 13, 24syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  .Q  B
)  =  ( B  .Q  P ) )
26 prmuloclemcalc.pbrx . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  .Q  B
)  <Q  ( R  .Q  X ) )
2725, 26eqbrtrrd 3867 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  .Q  P
)  <Q  ( R  .Q  X ) )
28 mulclnq 6935 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  Q.  /\  D  e.  Q. )  ->  ( B  .Q  D
)  e.  Q. )
2913, 19, 28syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  .Q  D
)  e.  Q. )
30 ltanqi 6961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  .Q  P
)  <Q  ( R  .Q  X )  /\  ( B  .Q  D )  e. 
Q. )  ->  (
( B  .Q  D
)  +Q  ( B  .Q  P ) ) 
<Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( R  .Q  X ) ) )
3127, 29, 30syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( B  .Q  P ) ) 
<Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( R  .Q  X ) ) )
32 ltsonq 6957 . . . . . . . . 9  |-  <Q  Or  Q.
3332, 4sotri 4827 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  .Q  U
)  <Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( B  .Q  P
) )  /\  (
( B  .Q  D
)  +Q  ( B  .Q  P ) ) 
<Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( R  .Q  X ) ) )  ->  ( B  .Q  U )  <Q  (
( B  .Q  D
)  +Q  ( R  .Q  X ) ) )
3423, 31, 33syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  .Q  U
)  <Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( R  .Q  X
) ) )
35 ltmnqi 6962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  <Q  U  /\  X  e.  Q. )  ->  ( X  .Q  R
)  <Q  ( X  .Q  U ) )
363, 9, 35syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  .Q  R
)  <Q  ( X  .Q  U ) )
376simpld 110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  Q. )
38 mulcomnqg 6942 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  Q.  /\  R  e.  Q. )  ->  ( X  .Q  R
)  =  ( R  .Q  X ) )
399, 37, 38syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  .Q  R
)  =  ( R  .Q  X ) )
40 mulcomnqg 6942 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  Q.  /\  U  e.  Q. )  ->  ( X  .Q  U
)  =  ( U  .Q  X ) )
419, 7, 40syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  .Q  U
)  =  ( U  .Q  X ) )
4236, 39, 413brtr3d 3874 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  .Q  X
)  <Q  ( U  .Q  X ) )
43 ltanqi 6961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  .Q  X
)  <Q  ( U  .Q  X )  /\  ( B  .Q  D )  e. 
Q. )  ->  (
( B  .Q  D
)  +Q  ( R  .Q  X ) ) 
<Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( U  .Q  X ) ) )
4442, 29, 43syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( R  .Q  X ) ) 
<Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( U  .Q  X ) ) )
4532, 4sotri 4827 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  .Q  U
)  <Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( R  .Q  X
) )  /\  (
( B  .Q  D
)  +Q  ( R  .Q  X ) ) 
<Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( U  .Q  X ) ) )  ->  ( B  .Q  U )  <Q  (
( B  .Q  D
)  +Q  ( U  .Q  X ) ) )
4634, 44, 45syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  .Q  U
)  <Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( U  .Q  X
) ) )
4715, 46eqbrtrrd 3867 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U  .Q  B
)  <Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( U  .Q  X
) ) )
4812, 47eqbrtrrd 3867 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( U  .Q  A )  +Q  ( U  .Q  X ) ) 
<Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( U  .Q  X ) ) )
49 mulclnq 6935 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  Q.  /\  A  e.  Q. )  ->  ( U  .Q  A
)  e.  Q. )
507, 8, 49syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U  .Q  A
)  e.  Q. )
51 mulclnq 6935 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  Q.  /\  X  e.  Q. )  ->  ( U  .Q  X
)  e.  Q. )
527, 9, 51syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U  .Q  X
)  e.  Q. )
53 addcomnqg 6940 . . . . 5  |-  ( ( ( U  .Q  A
)  e.  Q.  /\  ( U  .Q  X
)  e.  Q. )  ->  ( ( U  .Q  A )  +Q  ( U  .Q  X ) )  =  ( ( U  .Q  X )  +Q  ( U  .Q  A
) ) )
5450, 52, 53syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( U  .Q  A )  +Q  ( U  .Q  X ) )  =  ( ( U  .Q  X )  +Q  ( U  .Q  A
) ) )
55 addcomnqg 6940 . . . . 5  |-  ( ( ( B  .Q  D
)  e.  Q.  /\  ( U  .Q  X
)  e.  Q. )  ->  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( U  .Q  X ) )  =  ( ( U  .Q  X )  +Q  ( B  .Q  D
) ) )
5629, 52, 55syl2anc 403 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( U  .Q  X ) )  =  ( ( U  .Q  X )  +Q  ( B  .Q  D
) ) )
5748, 54, 563brtr3d 3874 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( U  .Q  X )  +Q  ( U  .Q  A ) ) 
<Q  ( ( U  .Q  X )  +Q  ( B  .Q  D ) ) )
58 ltanqg 6959 . . . 4  |-  ( ( ( U  .Q  A
)  e.  Q.  /\  ( B  .Q  D
)  e.  Q.  /\  ( U  .Q  X
)  e.  Q. )  ->  ( ( U  .Q  A )  <Q  ( B  .Q  D )  <->  ( ( U  .Q  X )  +Q  ( U  .Q  A
) )  <Q  (
( U  .Q  X
)  +Q  ( B  .Q  D ) ) ) )
5950, 29, 52, 58syl3anc 1174 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( U  .Q  A )  <Q  ( B  .Q  D )  <->  ( ( U  .Q  X )  +Q  ( U  .Q  A
) )  <Q  (
( U  .Q  X
)  +Q  ( B  .Q  D ) ) ) )
6057, 59mpbird 165 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  .Q  A
)  <Q  ( B  .Q  D ) )
61 mulcomnqg 6942 . . 3  |-  ( ( B  e.  Q.  /\  D  e.  Q. )  ->  ( B  .Q  D
)  =  ( D  .Q  B ) )
6213, 19, 61syl2anc 403 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  .Q  D
)  =  ( D  .Q  B ) )
6360, 62breqtrd 3869 1  |-  ( ph  ->  ( U  .Q  A
)  <Q  ( D  .Q  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   Q.cnq 6839    +Q cplq 6841    .Q cmq 6842    <Q cltq 6844
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-eprel 4116  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-oadd 6185  df-omul 6186  df-er 6292  df-ec 6294  df-qs 6298  df-ni 6863  df-pli 6864  df-mi 6865  df-lti 6866  df-plpq 6903  df-mpq 6904  df-enq 6906  df-nqqs 6907  df-plqqs 6908  df-mqqs 6909  df-ltnqqs 6912
This theorem is referenced by:  prmuloc  7125
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