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Theorem prmuloclemcalc 7337
Description: Calculations for prmuloc 7338. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
prmuloclemcalc.ru  |-  ( ph  ->  R  <Q  U )
prmuloclemcalc.udp  |-  ( ph  ->  U  <Q  ( D  +Q  P ) )
prmuloclemcalc.axb  |-  ( ph  ->  ( A  +Q  X
)  =  B )
prmuloclemcalc.pbrx  |-  ( ph  ->  ( P  .Q  B
)  <Q  ( R  .Q  X ) )
prmuloclemcalc.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Q. )
prmuloclemcalc.b  |-  ( ph  ->  B  e.  Q. )
prmuloclemcalc.d  |-  ( ph  ->  D  e.  Q. )
prmuloclemcalc.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Q. )
prmuloclemcalc.x  |-  ( ph  ->  X  e.  Q. )
Assertion
Ref Expression
prmuloclemcalc  |-  ( ph  ->  ( U  .Q  A
)  <Q  ( D  .Q  B ) )

Proof of Theorem prmuloclemcalc
StepHypRef Expression
1 prmuloclemcalc.axb . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  +Q  X
)  =  B )
21oveq2d 5756 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  .Q  ( A  +Q  X ) )  =  ( U  .Q  B ) )
3 prmuloclemcalc.ru . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  <Q  U )
4 ltrelnq 7137 . . . . . . . . . 10  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
54brel 4559 . . . . . . . . 9  |-  ( R 
<Q  U  ->  ( R  e.  Q.  /\  U  e.  Q. ) )
63, 5syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  e.  Q.  /\  U  e.  Q. )
)
76simprd 113 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  Q. )
8 prmuloclemcalc.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  Q. )
9 prmuloclemcalc.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  Q. )
10 distrnqg 7159 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  Q.  /\  A  e.  Q.  /\  X  e.  Q. )  ->  ( U  .Q  ( A  +Q  X ) )  =  ( ( U  .Q  A )  +Q  ( U  .Q  X ) ) )
117, 8, 9, 10syl3anc 1199 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  .Q  ( A  +Q  X ) )  =  ( ( U  .Q  A )  +Q  ( U  .Q  X
) ) )
122, 11eqtr3d 2150 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U  .Q  B
)  =  ( ( U  .Q  A )  +Q  ( U  .Q  X ) ) )
13 prmuloclemcalc.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  Q. )
14 mulcomnqg 7155 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  Q.  /\  U  e.  Q. )  ->  ( B  .Q  U
)  =  ( U  .Q  B ) )
1513, 7, 14syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  .Q  U
)  =  ( U  .Q  B ) )
16 prmuloclemcalc.udp . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  <Q  ( D  +Q  P ) )
17 ltmnqi 7175 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  <Q  ( D  +Q  P )  /\  B  e.  Q. )  ->  ( B  .Q  U )  <Q 
( B  .Q  ( D  +Q  P ) ) )
1816, 13, 17syl2anc 406 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  .Q  U
)  <Q  ( B  .Q  ( D  +Q  P
) ) )
19 prmuloclemcalc.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  Q. )
20 prmuloclemcalc.p . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  Q. )
21 distrnqg 7159 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  Q.  /\  D  e.  Q.  /\  P  e.  Q. )  ->  ( B  .Q  ( D  +Q  P ) )  =  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( B  .Q  P ) ) )
2213, 19, 20, 21syl3anc 1199 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  .Q  ( D  +Q  P ) )  =  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( B  .Q  P
) ) )
2318, 22breqtrd 3922 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  .Q  U
)  <Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( B  .Q  P
) ) )
24 mulcomnqg 7155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( P  .Q  B
)  =  ( B  .Q  P ) )
2520, 13, 24syl2anc 406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  .Q  B
)  =  ( B  .Q  P ) )
26 prmuloclemcalc.pbrx . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  .Q  B
)  <Q  ( R  .Q  X ) )
2725, 26eqbrtrrd 3920 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  .Q  P
)  <Q  ( R  .Q  X ) )
28 mulclnq 7148 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  Q.  /\  D  e.  Q. )  ->  ( B  .Q  D
)  e.  Q. )
2913, 19, 28syl2anc 406 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  .Q  D
)  e.  Q. )
30 ltanqi 7174 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  .Q  P
)  <Q  ( R  .Q  X )  /\  ( B  .Q  D )  e. 
Q. )  ->  (
( B  .Q  D
)  +Q  ( B  .Q  P ) ) 
<Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( R  .Q  X ) ) )
3127, 29, 30syl2anc 406 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( B  .Q  P ) ) 
<Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( R  .Q  X ) ) )
32 ltsonq 7170 . . . . . . . . 9  |-  <Q  Or  Q.
3332, 4sotri 4902 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  .Q  U
)  <Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( B  .Q  P
) )  /\  (
( B  .Q  D
)  +Q  ( B  .Q  P ) ) 
<Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( R  .Q  X ) ) )  ->  ( B  .Q  U )  <Q  (
( B  .Q  D
)  +Q  ( R  .Q  X ) ) )
3423, 31, 33syl2anc 406 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  .Q  U
)  <Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( R  .Q  X
) ) )
35 ltmnqi 7175 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  <Q  U  /\  X  e.  Q. )  ->  ( X  .Q  R
)  <Q  ( X  .Q  U ) )
363, 9, 35syl2anc 406 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  .Q  R
)  <Q  ( X  .Q  U ) )
376simpld 111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  Q. )
38 mulcomnqg 7155 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  Q.  /\  R  e.  Q. )  ->  ( X  .Q  R
)  =  ( R  .Q  X ) )
399, 37, 38syl2anc 406 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  .Q  R
)  =  ( R  .Q  X ) )
40 mulcomnqg 7155 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  Q.  /\  U  e.  Q. )  ->  ( X  .Q  U
)  =  ( U  .Q  X ) )
419, 7, 40syl2anc 406 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  .Q  U
)  =  ( U  .Q  X ) )
4236, 39, 413brtr3d 3927 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  .Q  X
)  <Q  ( U  .Q  X ) )
43 ltanqi 7174 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  .Q  X
)  <Q  ( U  .Q  X )  /\  ( B  .Q  D )  e. 
Q. )  ->  (
( B  .Q  D
)  +Q  ( R  .Q  X ) ) 
<Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( U  .Q  X ) ) )
4442, 29, 43syl2anc 406 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( R  .Q  X ) ) 
<Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( U  .Q  X ) ) )
4532, 4sotri 4902 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  .Q  U
)  <Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( R  .Q  X
) )  /\  (
( B  .Q  D
)  +Q  ( R  .Q  X ) ) 
<Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( U  .Q  X ) ) )  ->  ( B  .Q  U )  <Q  (
( B  .Q  D
)  +Q  ( U  .Q  X ) ) )
4634, 44, 45syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  .Q  U
)  <Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( U  .Q  X
) ) )
4715, 46eqbrtrrd 3920 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U  .Q  B
)  <Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( U  .Q  X
) ) )
4812, 47eqbrtrrd 3920 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( U  .Q  A )  +Q  ( U  .Q  X ) ) 
<Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( U  .Q  X ) ) )
49 mulclnq 7148 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  Q.  /\  A  e.  Q. )  ->  ( U  .Q  A
)  e.  Q. )
507, 8, 49syl2anc 406 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U  .Q  A
)  e.  Q. )
51 mulclnq 7148 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  Q.  /\  X  e.  Q. )  ->  ( U  .Q  X
)  e.  Q. )
527, 9, 51syl2anc 406 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U  .Q  X
)  e.  Q. )
53 addcomnqg 7153 . . . . 5  |-  ( ( ( U  .Q  A
)  e.  Q.  /\  ( U  .Q  X
)  e.  Q. )  ->  ( ( U  .Q  A )  +Q  ( U  .Q  X ) )  =  ( ( U  .Q  X )  +Q  ( U  .Q  A
) ) )
5450, 52, 53syl2anc 406 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( U  .Q  A )  +Q  ( U  .Q  X ) )  =  ( ( U  .Q  X )  +Q  ( U  .Q  A
) ) )
55 addcomnqg 7153 . . . . 5  |-  ( ( ( B  .Q  D
)  e.  Q.  /\  ( U  .Q  X
)  e.  Q. )  ->  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( U  .Q  X ) )  =  ( ( U  .Q  X )  +Q  ( B  .Q  D
) ) )
5629, 52, 55syl2anc 406 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( U  .Q  X ) )  =  ( ( U  .Q  X )  +Q  ( B  .Q  D
) ) )
5748, 54, 563brtr3d 3927 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( U  .Q  X )  +Q  ( U  .Q  A ) ) 
<Q  ( ( U  .Q  X )  +Q  ( B  .Q  D ) ) )
58 ltanqg 7172 . . . 4  |-  ( ( ( U  .Q  A
)  e.  Q.  /\  ( B  .Q  D
)  e.  Q.  /\  ( U  .Q  X
)  e.  Q. )  ->  ( ( U  .Q  A )  <Q  ( B  .Q  D )  <->  ( ( U  .Q  X )  +Q  ( U  .Q  A
) )  <Q  (
( U  .Q  X
)  +Q  ( B  .Q  D ) ) ) )
5950, 29, 52, 58syl3anc 1199 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( U  .Q  A )  <Q  ( B  .Q  D )  <->  ( ( U  .Q  X )  +Q  ( U  .Q  A
) )  <Q  (
( U  .Q  X
)  +Q  ( B  .Q  D ) ) ) )
6057, 59mpbird 166 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  .Q  A
)  <Q  ( B  .Q  D ) )
61 mulcomnqg 7155 . . 3  |-  ( ( B  e.  Q.  /\  D  e.  Q. )  ->  ( B  .Q  D
)  =  ( D  .Q  B ) )
6213, 19, 61syl2anc 406 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  .Q  D
)  =  ( D  .Q  B ) )
6360, 62breqtrd 3922 1  |-  ( ph  ->  ( U  .Q  A
)  <Q  ( D  .Q  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314    e. wcel 1463   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740   Q.cnq 7052    +Q cplq 7054    .Q cmq 7055    <Q cltq 7057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-eprel 4179  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-oadd 6283  df-omul 6284  df-er 6395  df-ec 6397  df-qs 6401  df-ni 7076  df-pli 7077  df-mi 7078  df-lti 7079  df-plpq 7116  df-mpq 7117  df-enq 7119  df-nqqs 7120  df-plqqs 7121  df-mqqs 7122  df-ltnqqs 7125
This theorem is referenced by:  prmuloc  7338
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