Theorem prmuloclemcalc 7784

Description: Calculations for prmuloc 7785. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmuloclemcalc.ru	|- ( ph -> R <Q U )
prmuloclemcalc.udp	|- ( ph -> U <Q ( D +Q P ) )
prmuloclemcalc.axb	|- ( ph -> ( A +Q X ) = B )
prmuloclemcalc.pbrx	|- ( ph -> ( P .Q B ) <Q ( R .Q X ) )
prmuloclemcalc.a	|- ( ph -> A e. Q. )
prmuloclemcalc.b	|- ( ph -> B e. Q. )
prmuloclemcalc.d	|- ( ph -> D e. Q. )
prmuloclemcalc.p	|- ( ph -> P e. Q. )
prmuloclemcalc.x	|- ( ph -> X e. Q. )

Assertion

Ref	Expression
prmuloclemcalc	|- ( ph -> ( U .Q A ) <Q ( D .Q B ) )

Proof of Theorem prmuloclemcalc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuloclemcalc.axb	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A +Q X ) = B )
2	1	oveq2d 6033	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U .Q ( A +Q X ) ) = ( U .Q B ) )
3		prmuloclemcalc.ru	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R <Q U )
4		ltrelnq 7584	. . . . . . . . . 10 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
5	4	brel 4778	. . . . . . . . 9 |- ( R <Q U -> ( R e. Q. /\ U e. Q. ) )
6	3, 5	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( R e. Q. /\ U e. Q. ) )
7	6	simprd 114	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. Q. )
8		prmuloclemcalc.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. Q. )
9		prmuloclemcalc.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. Q. )
10		distrnqg 7606	. . . . . . 7 |- ( ( U e. Q. /\ A e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( U .Q ( A +Q X ) ) = ( ( U .Q A ) +Q ( U .Q X ) ) )
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1273	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U .Q ( A +Q X ) ) = ( ( U .Q A ) +Q ( U .Q X ) ) )
12	2, 11	eqtr3d 2266	. . . . 5 |- ( ph -> ( U .Q B ) = ( ( U .Q A ) +Q ( U .Q X ) ) )
13		prmuloclemcalc.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. Q. )
14		mulcomnqg 7602	. . . . . . 7 |- ( ( B e. Q. /\ U e. Q. ) -> ( B .Q U ) = ( U .Q B ) )
15	13, 7, 14	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B .Q U ) = ( U .Q B ) )
16		prmuloclemcalc.udp	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U <Q ( D +Q P ) )
17		ltmnqi 7622	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U <Q ( D +Q P ) /\ B e. Q. ) -> ( B .Q U ) <Q ( B .Q ( D +Q P ) ) )
18	16, 13, 17	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B .Q U ) <Q ( B .Q ( D +Q P ) ) )
19		prmuloclemcalc.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. Q. )
20		prmuloclemcalc.p	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. Q. )
21		distrnqg 7606	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. Q. /\ D e. Q. /\ P e. Q. ) -> ( B .Q ( D +Q P ) ) = ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) )
22	13, 19, 20, 21	syl3anc 1273	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B .Q ( D +Q P ) ) = ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) )
23	18, 22	breqtrd 4114	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) )
24		mulcomnqg 7602	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( P .Q B ) = ( B .Q P ) )
25	20, 13, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P .Q B ) = ( B .Q P ) )
26		prmuloclemcalc.pbrx	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P .Q B ) <Q ( R .Q X ) )
27	25, 26	eqbrtrrd 4112	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B .Q P ) <Q ( R .Q X ) )
28		mulclnq 7595	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. Q. /\ D e. Q. ) -> ( B .Q D ) e. Q. )
29	13, 19, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B .Q D ) e. Q. )
30		ltanqi 7621	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B .Q P ) <Q ( R .Q X ) /\ ( B .Q D ) e. Q. ) -> ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) )
31	27, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) )
32		ltsonq 7617	. . . . . . . . 9 |- <Q Or Q.
33	32, 4	sotri 5132	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) /\ ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) ) -> ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) )
34	23, 31, 33	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) )
35		ltmnqi 7622	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R <Q U /\ X e. Q. ) -> ( X .Q R ) <Q ( X .Q U ) )
36	3, 9, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X .Q R ) <Q ( X .Q U ) )
37	6	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. Q. )
38		mulcomnqg 7602	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. Q. /\ R e. Q. ) -> ( X .Q R ) = ( R .Q X ) )
39	9, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X .Q R ) = ( R .Q X ) )
40		mulcomnqg 7602	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. Q. /\ U e. Q. ) -> ( X .Q U ) = ( U .Q X ) )
41	9, 7, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X .Q U ) = ( U .Q X ) )
42	36, 39, 41	3brtr3d 4119	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( R .Q X ) <Q ( U .Q X ) )
43		ltanqi 7621	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R .Q X ) <Q ( U .Q X ) /\ ( B .Q D ) e. Q. ) -> ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) )
44	42, 29, 43	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) )
45	32, 4	sotri 5132	. . . . . . 7 |- ( ( ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) /\ ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) ) -> ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) )
46	34, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) )
47	15, 46	eqbrtrrd 4112	. . . . 5 |- ( ph -> ( U .Q B ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) )
48	12, 47	eqbrtrrd 4112	. . . 4 |- ( ph -> ( ( U .Q A ) +Q ( U .Q X ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) )
49		mulclnq 7595	. . . . . 6 |- ( ( U e. Q. /\ A e. Q. ) -> ( U .Q A ) e. Q. )
50	7, 8, 49	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( U .Q A ) e. Q. )
51		mulclnq 7595	. . . . . 6 |- ( ( U e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( U .Q X ) e. Q. )
52	7, 9, 51	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( U .Q X ) e. Q. )
53		addcomnqg 7600	. . . . 5 |- ( ( ( U .Q A ) e. Q. /\ ( U .Q X ) e. Q. ) -> ( ( U .Q A ) +Q ( U .Q X ) ) = ( ( U .Q X ) +Q ( U .Q A ) ) )
54	50, 52, 53	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( ( U .Q A ) +Q ( U .Q X ) ) = ( ( U .Q X ) +Q ( U .Q A ) ) )
55		addcomnqg 7600	. . . . 5 |- ( ( ( B .Q D ) e. Q. /\ ( U .Q X ) e. Q. ) -> ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) = ( ( U .Q X ) +Q ( B .Q D ) ) )
56	29, 52, 55	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) = ( ( U .Q X ) +Q ( B .Q D ) ) )
57	48, 54, 56	3brtr3d 4119	. . 3 |- ( ph -> ( ( U .Q X ) +Q ( U .Q A ) ) <Q ( ( U .Q X ) +Q ( B .Q D ) ) )
58		ltanqg 7619	. . . 4 |- ( ( ( U .Q A ) e. Q. /\ ( B .Q D ) e. Q. /\ ( U .Q X ) e. Q. ) -> ( ( U .Q A ) <Q ( B .Q D ) <-> ( ( U .Q X ) +Q ( U .Q A ) ) <Q ( ( U .Q X ) +Q ( B .Q D ) ) ) )
59	50, 29, 52, 58	syl3anc 1273	. . 3 |- ( ph -> ( ( U .Q A ) <Q ( B .Q D ) <-> ( ( U .Q X ) +Q ( U .Q A ) ) <Q ( ( U .Q X ) +Q ( B .Q D ) ) ) )
60	57, 59	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> ( U .Q A ) <Q ( B .Q D ) )
61		mulcomnqg 7602	. . 3 |- ( ( B e. Q. /\ D e. Q. ) -> ( B .Q D ) = ( D .Q B ) )
62	13, 19, 61	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( B .Q D ) = ( D .Q B ) )
63	60, 62	breqtrd 4114	1 |- ( ph -> ( U .Q A ) <Q ( D .Q B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   Q.cnq 7499   +Q cplq 7501   .Q cmq 7502   <Q cltq 7504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-eprel 4386  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-oadd 6585  df-omul 6586  df-er 6701  df-ec 6703  df-qs 6707  df-ni 7523  df-pli 7524  df-mi 7525  df-lti 7526  df-plpq 7563  df-mpq 7564  df-enq 7566  df-nqqs 7567  df-plqqs 7568  df-mqqs 7569  df-ltnqqs 7572

This theorem is referenced by:  prmuloc  7785