Theorem prmuloclemcalc 7698

Description: Calculations for prmuloc 7699. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmuloclemcalc.ru	|- ( ph -> R <Q U )
prmuloclemcalc.udp	|- ( ph -> U <Q ( D +Q P ) )
prmuloclemcalc.axb	|- ( ph -> ( A +Q X ) = B )
prmuloclemcalc.pbrx	|- ( ph -> ( P .Q B ) <Q ( R .Q X ) )
prmuloclemcalc.a	|- ( ph -> A e. Q. )
prmuloclemcalc.b	|- ( ph -> B e. Q. )
prmuloclemcalc.d	|- ( ph -> D e. Q. )
prmuloclemcalc.p	|- ( ph -> P e. Q. )
prmuloclemcalc.x	|- ( ph -> X e. Q. )

Assertion

Ref	Expression
prmuloclemcalc	|- ( ph -> ( U .Q A ) <Q ( D .Q B ) )

Proof of Theorem prmuloclemcalc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuloclemcalc.axb	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A +Q X ) = B )
2	1	oveq2d 5973	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U .Q ( A +Q X ) ) = ( U .Q B ) )
3		prmuloclemcalc.ru	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R <Q U )
4		ltrelnq 7498	. . . . . . . . . 10 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
5	4	brel 4735	. . . . . . . . 9 |- ( R <Q U -> ( R e. Q. /\ U e. Q. ) )
6	3, 5	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( R e. Q. /\ U e. Q. ) )
7	6	simprd 114	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. Q. )
8		prmuloclemcalc.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. Q. )
9		prmuloclemcalc.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. Q. )
10		distrnqg 7520	. . . . . . 7 |- ( ( U e. Q. /\ A e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( U .Q ( A +Q X ) ) = ( ( U .Q A ) +Q ( U .Q X ) ) )
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1250	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U .Q ( A +Q X ) ) = ( ( U .Q A ) +Q ( U .Q X ) ) )
12	2, 11	eqtr3d 2241	. . . . 5 |- ( ph -> ( U .Q B ) = ( ( U .Q A ) +Q ( U .Q X ) ) )
13		prmuloclemcalc.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. Q. )
14		mulcomnqg 7516	. . . . . . 7 |- ( ( B e. Q. /\ U e. Q. ) -> ( B .Q U ) = ( U .Q B ) )
15	13, 7, 14	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B .Q U ) = ( U .Q B ) )
16		prmuloclemcalc.udp	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U <Q ( D +Q P ) )
17		ltmnqi 7536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U <Q ( D +Q P ) /\ B e. Q. ) -> ( B .Q U ) <Q ( B .Q ( D +Q P ) ) )
18	16, 13, 17	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B .Q U ) <Q ( B .Q ( D +Q P ) ) )
19		prmuloclemcalc.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. Q. )
20		prmuloclemcalc.p	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. Q. )
21		distrnqg 7520	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. Q. /\ D e. Q. /\ P e. Q. ) -> ( B .Q ( D +Q P ) ) = ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) )
22	13, 19, 20, 21	syl3anc 1250	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B .Q ( D +Q P ) ) = ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) )
23	18, 22	breqtrd 4077	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) )
24		mulcomnqg 7516	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( P .Q B ) = ( B .Q P ) )
25	20, 13, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P .Q B ) = ( B .Q P ) )
26		prmuloclemcalc.pbrx	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P .Q B ) <Q ( R .Q X ) )
27	25, 26	eqbrtrrd 4075	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B .Q P ) <Q ( R .Q X ) )
28		mulclnq 7509	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. Q. /\ D e. Q. ) -> ( B .Q D ) e. Q. )
29	13, 19, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B .Q D ) e. Q. )
30		ltanqi 7535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B .Q P ) <Q ( R .Q X ) /\ ( B .Q D ) e. Q. ) -> ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) )
31	27, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) )
32		ltsonq 7531	. . . . . . . . 9 |- <Q Or Q.
33	32, 4	sotri 5087	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) /\ ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) ) -> ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) )
34	23, 31, 33	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) )
35		ltmnqi 7536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R <Q U /\ X e. Q. ) -> ( X .Q R ) <Q ( X .Q U ) )
36	3, 9, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X .Q R ) <Q ( X .Q U ) )
37	6	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. Q. )
38		mulcomnqg 7516	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. Q. /\ R e. Q. ) -> ( X .Q R ) = ( R .Q X ) )
39	9, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X .Q R ) = ( R .Q X ) )
40		mulcomnqg 7516	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. Q. /\ U e. Q. ) -> ( X .Q U ) = ( U .Q X ) )
41	9, 7, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X .Q U ) = ( U .Q X ) )
42	36, 39, 41	3brtr3d 4082	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( R .Q X ) <Q ( U .Q X ) )
43		ltanqi 7535	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R .Q X ) <Q ( U .Q X ) /\ ( B .Q D ) e. Q. ) -> ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) )
44	42, 29, 43	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) )
45	32, 4	sotri 5087	. . . . . . 7 |- ( ( ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) /\ ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) ) -> ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) )
46	34, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) )
47	15, 46	eqbrtrrd 4075	. . . . 5 |- ( ph -> ( U .Q B ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) )
48	12, 47	eqbrtrrd 4075	. . . 4 |- ( ph -> ( ( U .Q A ) +Q ( U .Q X ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) )
49		mulclnq 7509	. . . . . 6 |- ( ( U e. Q. /\ A e. Q. ) -> ( U .Q A ) e. Q. )
50	7, 8, 49	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( U .Q A ) e. Q. )
51		mulclnq 7509	. . . . . 6 |- ( ( U e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( U .Q X ) e. Q. )
52	7, 9, 51	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( U .Q X ) e. Q. )
53		addcomnqg 7514	. . . . 5 |- ( ( ( U .Q A ) e. Q. /\ ( U .Q X ) e. Q. ) -> ( ( U .Q A ) +Q ( U .Q X ) ) = ( ( U .Q X ) +Q ( U .Q A ) ) )
54	50, 52, 53	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( ( U .Q A ) +Q ( U .Q X ) ) = ( ( U .Q X ) +Q ( U .Q A ) ) )
55		addcomnqg 7514	. . . . 5 |- ( ( ( B .Q D ) e. Q. /\ ( U .Q X ) e. Q. ) -> ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) = ( ( U .Q X ) +Q ( B .Q D ) ) )
56	29, 52, 55	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) = ( ( U .Q X ) +Q ( B .Q D ) ) )
57	48, 54, 56	3brtr3d 4082	. . 3 |- ( ph -> ( ( U .Q X ) +Q ( U .Q A ) ) <Q ( ( U .Q X ) +Q ( B .Q D ) ) )
58		ltanqg 7533	. . . 4 |- ( ( ( U .Q A ) e. Q. /\ ( B .Q D ) e. Q. /\ ( U .Q X ) e. Q. ) -> ( ( U .Q A ) <Q ( B .Q D ) <-> ( ( U .Q X ) +Q ( U .Q A ) ) <Q ( ( U .Q X ) +Q ( B .Q D ) ) ) )
59	50, 29, 52, 58	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ph -> ( ( U .Q A ) <Q ( B .Q D ) <-> ( ( U .Q X ) +Q ( U .Q A ) ) <Q ( ( U .Q X ) +Q ( B .Q D ) ) ) )
60	57, 59	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> ( U .Q A ) <Q ( B .Q D ) )
61		mulcomnqg 7516	. . 3 |- ( ( B e. Q. /\ D e. Q. ) -> ( B .Q D ) = ( D .Q B ) )
62	13, 19, 61	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( B .Q D ) = ( D .Q B ) )
63	60, 62	breqtrd 4077	1 |- ( ph -> ( U .Q A ) <Q ( D .Q B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   class class class wbr 4051  (class class class)co 5957   Q.cnq 7413   +Q cplq 7415   .Q cmq 7416   <Q cltq 7418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-eprel 4344  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-irdg 6469  df-oadd 6519  df-omul 6520  df-er 6633  df-ec 6635  df-qs 6639  df-ni 7437  df-pli 7438  df-mi 7439  df-lti 7440  df-plpq 7477  df-mpq 7478  df-enq 7480  df-nqqs 7481  df-plqqs 7482  df-mqqs 7483  df-ltnqqs 7486

This theorem is referenced by:  prmuloc  7699