Theorem prmuloclemcalc 7845

Description: Calculations for prmuloc 7846. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmuloclemcalc.ru	|- ( ph -> R <Q U )
prmuloclemcalc.udp	|- ( ph -> U <Q ( D +Q P ) )
prmuloclemcalc.axb	|- ( ph -> ( A +Q X ) = B )
prmuloclemcalc.pbrx	|- ( ph -> ( P .Q B ) <Q ( R .Q X ) )
prmuloclemcalc.a	|- ( ph -> A e. Q. )
prmuloclemcalc.b	|- ( ph -> B e. Q. )
prmuloclemcalc.d	|- ( ph -> D e. Q. )
prmuloclemcalc.p	|- ( ph -> P e. Q. )
prmuloclemcalc.x	|- ( ph -> X e. Q. )

Assertion

Ref	Expression
prmuloclemcalc	|- ( ph -> ( U .Q A ) <Q ( D .Q B ) )

Proof of Theorem prmuloclemcalc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuloclemcalc.axb	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A +Q X ) = B )
2	1	oveq2d 6044	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U .Q ( A +Q X ) ) = ( U .Q B ) )
3		prmuloclemcalc.ru	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R <Q U )
4		ltrelnq 7645	. . . . . . . . . 10 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
5	4	brel 4784	. . . . . . . . 9 |- ( R <Q U -> ( R e. Q. /\ U e. Q. ) )
6	3, 5	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( R e. Q. /\ U e. Q. ) )
7	6	simprd 114	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. Q. )
8		prmuloclemcalc.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. Q. )
9		prmuloclemcalc.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. Q. )
10		distrnqg 7667	. . . . . . 7 |- ( ( U e. Q. /\ A e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( U .Q ( A +Q X ) ) = ( ( U .Q A ) +Q ( U .Q X ) ) )
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U .Q ( A +Q X ) ) = ( ( U .Q A ) +Q ( U .Q X ) ) )
12	2, 11	eqtr3d 2266	. . . . 5 |- ( ph -> ( U .Q B ) = ( ( U .Q A ) +Q ( U .Q X ) ) )
13		prmuloclemcalc.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. Q. )
14		mulcomnqg 7663	. . . . . . 7 |- ( ( B e. Q. /\ U e. Q. ) -> ( B .Q U ) = ( U .Q B ) )
15	13, 7, 14	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B .Q U ) = ( U .Q B ) )
16		prmuloclemcalc.udp	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U <Q ( D +Q P ) )
17		ltmnqi 7683	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U <Q ( D +Q P ) /\ B e. Q. ) -> ( B .Q U ) <Q ( B .Q ( D +Q P ) ) )
18	16, 13, 17	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B .Q U ) <Q ( B .Q ( D +Q P ) ) )
19		prmuloclemcalc.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. Q. )
20		prmuloclemcalc.p	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. Q. )
21		distrnqg 7667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. Q. /\ D e. Q. /\ P e. Q. ) -> ( B .Q ( D +Q P ) ) = ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) )
22	13, 19, 20, 21	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B .Q ( D +Q P ) ) = ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) )
23	18, 22	breqtrd 4119	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) )
24		mulcomnqg 7663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( P .Q B ) = ( B .Q P ) )
25	20, 13, 24	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P .Q B ) = ( B .Q P ) )
26		prmuloclemcalc.pbrx	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P .Q B ) <Q ( R .Q X ) )
27	25, 26	eqbrtrrd 4117	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B .Q P ) <Q ( R .Q X ) )
28		mulclnq 7656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. Q. /\ D e. Q. ) -> ( B .Q D ) e. Q. )
29	13, 19, 28	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B .Q D ) e. Q. )
30		ltanqi 7682	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B .Q P ) <Q ( R .Q X ) /\ ( B .Q D ) e. Q. ) -> ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) )
31	27, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) )
32		ltsonq 7678	. . . . . . . . 9 |- <Q Or Q.
33	32, 4	sotri 5139	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) /\ ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) ) -> ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) )
34	23, 31, 33	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) )
35		ltmnqi 7683	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R <Q U /\ X e. Q. ) -> ( X .Q R ) <Q ( X .Q U ) )
36	3, 9, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X .Q R ) <Q ( X .Q U ) )
37	6	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. Q. )
38		mulcomnqg 7663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. Q. /\ R e. Q. ) -> ( X .Q R ) = ( R .Q X ) )
39	9, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X .Q R ) = ( R .Q X ) )
40		mulcomnqg 7663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. Q. /\ U e. Q. ) -> ( X .Q U ) = ( U .Q X ) )
41	9, 7, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X .Q U ) = ( U .Q X ) )
42	36, 39, 41	3brtr3d 4124	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( R .Q X ) <Q ( U .Q X ) )
43		ltanqi 7682	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R .Q X ) <Q ( U .Q X ) /\ ( B .Q D ) e. Q. ) -> ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) )
44	42, 29, 43	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) )
45	32, 4	sotri 5139	. . . . . . 7 |- ( ( ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) /\ ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) ) -> ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) )
46	34, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) )
47	15, 46	eqbrtrrd 4117	. . . . 5 |- ( ph -> ( U .Q B ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) )
48	12, 47	eqbrtrrd 4117	. . . 4 |- ( ph -> ( ( U .Q A ) +Q ( U .Q X ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) )
49		mulclnq 7656	. . . . . 6 |- ( ( U e. Q. /\ A e. Q. ) -> ( U .Q A ) e. Q. )
50	7, 8, 49	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( U .Q A ) e. Q. )
51		mulclnq 7656	. . . . . 6 |- ( ( U e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( U .Q X ) e. Q. )
52	7, 9, 51	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( U .Q X ) e. Q. )
53		addcomnqg 7661	. . . . 5 |- ( ( ( U .Q A ) e. Q. /\ ( U .Q X ) e. Q. ) -> ( ( U .Q A ) +Q ( U .Q X ) ) = ( ( U .Q X ) +Q ( U .Q A ) ) )
54	50, 52, 53	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( ( U .Q A ) +Q ( U .Q X ) ) = ( ( U .Q X ) +Q ( U .Q A ) ) )
55		addcomnqg 7661	. . . . 5 |- ( ( ( B .Q D ) e. Q. /\ ( U .Q X ) e. Q. ) -> ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) = ( ( U .Q X ) +Q ( B .Q D ) ) )
56	29, 52, 55	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) = ( ( U .Q X ) +Q ( B .Q D ) ) )
57	48, 54, 56	3brtr3d 4124	. . 3 |- ( ph -> ( ( U .Q X ) +Q ( U .Q A ) ) <Q ( ( U .Q X ) +Q ( B .Q D ) ) )
58		ltanqg 7680	. . . 4 |- ( ( ( U .Q A ) e. Q. /\ ( B .Q D ) e. Q. /\ ( U .Q X ) e. Q. ) -> ( ( U .Q A ) <Q ( B .Q D ) <-> ( ( U .Q X ) +Q ( U .Q A ) ) <Q ( ( U .Q X ) +Q ( B .Q D ) ) ) )
59	50, 29, 52, 58	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ph -> ( ( U .Q A ) <Q ( B .Q D ) <-> ( ( U .Q X ) +Q ( U .Q A ) ) <Q ( ( U .Q X ) +Q ( B .Q D ) ) ) )
60	57, 59	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> ( U .Q A ) <Q ( B .Q D ) )
61		mulcomnqg 7663	. . 3 |- ( ( B e. Q. /\ D e. Q. ) -> ( B .Q D ) = ( D .Q B ) )
62	13, 19, 61	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( B .Q D ) = ( D .Q B ) )
63	60, 62	breqtrd 4119	1 |- ( ph -> ( U .Q A ) <Q ( D .Q B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   Q.cnq 7560   +Q cplq 7562   .Q cmq 7563   <Q cltq 7565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-eprel 4392  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-ni 7584  df-pli 7585  df-mi 7586  df-lti 7587  df-plpq 7624  df-mpq 7625  df-enq 7627  df-nqqs 7628  df-plqqs 7629  df-mqqs 7630  df-ltnqqs 7633

This theorem is referenced by:  prmuloc  7846