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Theorem prmuloclemcalc 7599
Description: Calculations for prmuloc 7600. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
prmuloclemcalc.ru  |-  ( ph  ->  R  <Q  U )
prmuloclemcalc.udp  |-  ( ph  ->  U  <Q  ( D  +Q  P ) )
prmuloclemcalc.axb  |-  ( ph  ->  ( A  +Q  X
)  =  B )
prmuloclemcalc.pbrx  |-  ( ph  ->  ( P  .Q  B
)  <Q  ( R  .Q  X ) )
prmuloclemcalc.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Q. )
prmuloclemcalc.b  |-  ( ph  ->  B  e.  Q. )
prmuloclemcalc.d  |-  ( ph  ->  D  e.  Q. )
prmuloclemcalc.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Q. )
prmuloclemcalc.x  |-  ( ph  ->  X  e.  Q. )
Assertion
Ref Expression
prmuloclemcalc  |-  ( ph  ->  ( U  .Q  A
)  <Q  ( D  .Q  B ) )

Proof of Theorem prmuloclemcalc
StepHypRef Expression
1 prmuloclemcalc.axb . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  +Q  X
)  =  B )
21oveq2d 5916 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  .Q  ( A  +Q  X ) )  =  ( U  .Q  B ) )
3 prmuloclemcalc.ru . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  <Q  U )
4 ltrelnq 7399 . . . . . . . . . 10  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
54brel 4699 . . . . . . . . 9  |-  ( R 
<Q  U  ->  ( R  e.  Q.  /\  U  e.  Q. ) )
63, 5syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  e.  Q.  /\  U  e.  Q. )
)
76simprd 114 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  Q. )
8 prmuloclemcalc.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  Q. )
9 prmuloclemcalc.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  Q. )
10 distrnqg 7421 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  Q.  /\  A  e.  Q.  /\  X  e.  Q. )  ->  ( U  .Q  ( A  +Q  X ) )  =  ( ( U  .Q  A )  +Q  ( U  .Q  X ) ) )
117, 8, 9, 10syl3anc 1249 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U  .Q  ( A  +Q  X ) )  =  ( ( U  .Q  A )  +Q  ( U  .Q  X
) ) )
122, 11eqtr3d 2224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U  .Q  B
)  =  ( ( U  .Q  A )  +Q  ( U  .Q  X ) ) )
13 prmuloclemcalc.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  Q. )
14 mulcomnqg 7417 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  Q.  /\  U  e.  Q. )  ->  ( B  .Q  U
)  =  ( U  .Q  B ) )
1513, 7, 14syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  .Q  U
)  =  ( U  .Q  B ) )
16 prmuloclemcalc.udp . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  <Q  ( D  +Q  P ) )
17 ltmnqi 7437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  <Q  ( D  +Q  P )  /\  B  e.  Q. )  ->  ( B  .Q  U )  <Q 
( B  .Q  ( D  +Q  P ) ) )
1816, 13, 17syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  .Q  U
)  <Q  ( B  .Q  ( D  +Q  P
) ) )
19 prmuloclemcalc.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  Q. )
20 prmuloclemcalc.p . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  Q. )
21 distrnqg 7421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  Q.  /\  D  e.  Q.  /\  P  e.  Q. )  ->  ( B  .Q  ( D  +Q  P ) )  =  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( B  .Q  P ) ) )
2213, 19, 20, 21syl3anc 1249 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  .Q  ( D  +Q  P ) )  =  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( B  .Q  P
) ) )
2318, 22breqtrd 4047 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  .Q  U
)  <Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( B  .Q  P
) ) )
24 mulcomnqg 7417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( P  .Q  B
)  =  ( B  .Q  P ) )
2520, 13, 24syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  .Q  B
)  =  ( B  .Q  P ) )
26 prmuloclemcalc.pbrx . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  .Q  B
)  <Q  ( R  .Q  X ) )
2725, 26eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  .Q  P
)  <Q  ( R  .Q  X ) )
28 mulclnq 7410 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  Q.  /\  D  e.  Q. )  ->  ( B  .Q  D
)  e.  Q. )
2913, 19, 28syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  .Q  D
)  e.  Q. )
30 ltanqi 7436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  .Q  P
)  <Q  ( R  .Q  X )  /\  ( B  .Q  D )  e. 
Q. )  ->  (
( B  .Q  D
)  +Q  ( B  .Q  P ) ) 
<Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( R  .Q  X ) ) )
3127, 29, 30syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( B  .Q  P ) ) 
<Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( R  .Q  X ) ) )
32 ltsonq 7432 . . . . . . . . 9  |-  <Q  Or  Q.
3332, 4sotri 5045 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  .Q  U
)  <Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( B  .Q  P
) )  /\  (
( B  .Q  D
)  +Q  ( B  .Q  P ) ) 
<Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( R  .Q  X ) ) )  ->  ( B  .Q  U )  <Q  (
( B  .Q  D
)  +Q  ( R  .Q  X ) ) )
3423, 31, 33syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  .Q  U
)  <Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( R  .Q  X
) ) )
35 ltmnqi 7437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  <Q  U  /\  X  e.  Q. )  ->  ( X  .Q  R
)  <Q  ( X  .Q  U ) )
363, 9, 35syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  .Q  R
)  <Q  ( X  .Q  U ) )
376simpld 112 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  Q. )
38 mulcomnqg 7417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  Q.  /\  R  e.  Q. )  ->  ( X  .Q  R
)  =  ( R  .Q  X ) )
399, 37, 38syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  .Q  R
)  =  ( R  .Q  X ) )
40 mulcomnqg 7417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  Q.  /\  U  e.  Q. )  ->  ( X  .Q  U
)  =  ( U  .Q  X ) )
419, 7, 40syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  .Q  U
)  =  ( U  .Q  X ) )
4236, 39, 413brtr3d 4052 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  .Q  X
)  <Q  ( U  .Q  X ) )
43 ltanqi 7436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  .Q  X
)  <Q  ( U  .Q  X )  /\  ( B  .Q  D )  e. 
Q. )  ->  (
( B  .Q  D
)  +Q  ( R  .Q  X ) ) 
<Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( U  .Q  X ) ) )
4442, 29, 43syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( R  .Q  X ) ) 
<Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( U  .Q  X ) ) )
4532, 4sotri 5045 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  .Q  U
)  <Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( R  .Q  X
) )  /\  (
( B  .Q  D
)  +Q  ( R  .Q  X ) ) 
<Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( U  .Q  X ) ) )  ->  ( B  .Q  U )  <Q  (
( B  .Q  D
)  +Q  ( U  .Q  X ) ) )
4634, 44, 45syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  .Q  U
)  <Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( U  .Q  X
) ) )
4715, 46eqbrtrrd 4045 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U  .Q  B
)  <Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( U  .Q  X
) ) )
4812, 47eqbrtrrd 4045 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( U  .Q  A )  +Q  ( U  .Q  X ) ) 
<Q  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( U  .Q  X ) ) )
49 mulclnq 7410 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  Q.  /\  A  e.  Q. )  ->  ( U  .Q  A
)  e.  Q. )
507, 8, 49syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U  .Q  A
)  e.  Q. )
51 mulclnq 7410 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  Q.  /\  X  e.  Q. )  ->  ( U  .Q  X
)  e.  Q. )
527, 9, 51syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U  .Q  X
)  e.  Q. )
53 addcomnqg 7415 . . . . 5  |-  ( ( ( U  .Q  A
)  e.  Q.  /\  ( U  .Q  X
)  e.  Q. )  ->  ( ( U  .Q  A )  +Q  ( U  .Q  X ) )  =  ( ( U  .Q  X )  +Q  ( U  .Q  A
) ) )
5450, 52, 53syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( U  .Q  A )  +Q  ( U  .Q  X ) )  =  ( ( U  .Q  X )  +Q  ( U  .Q  A
) ) )
55 addcomnqg 7415 . . . . 5  |-  ( ( ( B  .Q  D
)  e.  Q.  /\  ( U  .Q  X
)  e.  Q. )  ->  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( U  .Q  X ) )  =  ( ( U  .Q  X )  +Q  ( B  .Q  D
) ) )
5629, 52, 55syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B  .Q  D )  +Q  ( U  .Q  X ) )  =  ( ( U  .Q  X )  +Q  ( B  .Q  D
) ) )
5748, 54, 563brtr3d 4052 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( U  .Q  X )  +Q  ( U  .Q  A ) ) 
<Q  ( ( U  .Q  X )  +Q  ( B  .Q  D ) ) )
58 ltanqg 7434 . . . 4  |-  ( ( ( U  .Q  A
)  e.  Q.  /\  ( B  .Q  D
)  e.  Q.  /\  ( U  .Q  X
)  e.  Q. )  ->  ( ( U  .Q  A )  <Q  ( B  .Q  D )  <->  ( ( U  .Q  X )  +Q  ( U  .Q  A
) )  <Q  (
( U  .Q  X
)  +Q  ( B  .Q  D ) ) ) )
5950, 29, 52, 58syl3anc 1249 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( U  .Q  A )  <Q  ( B  .Q  D )  <->  ( ( U  .Q  X )  +Q  ( U  .Q  A
) )  <Q  (
( U  .Q  X
)  +Q  ( B  .Q  D ) ) ) )
6057, 59mpbird 167 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  .Q  A
)  <Q  ( B  .Q  D ) )
61 mulcomnqg 7417 . . 3  |-  ( ( B  e.  Q.  /\  D  e.  Q. )  ->  ( B  .Q  D
)  =  ( D  .Q  B ) )
6213, 19, 61syl2anc 411 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  .Q  D
)  =  ( D  .Q  B ) )
6360, 62breqtrd 4047 1  |-  ( ph  ->  ( U  .Q  A
)  <Q  ( D  .Q  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364    e. wcel 2160   class class class wbr 4021  (class class class)co 5900   Q.cnq 7314    +Q cplq 7316    .Q cmq 7317    <Q cltq 7319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-iinf 4608
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-tr 4120  df-eprel 4310  df-id 4314  df-po 4317  df-iso 4318  df-iord 4387  df-on 4389  df-suc 4392  df-iom 4611  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-recs 6334  df-irdg 6399  df-oadd 6449  df-omul 6450  df-er 6563  df-ec 6565  df-qs 6569  df-ni 7338  df-pli 7339  df-mi 7340  df-lti 7341  df-plpq 7378  df-mpq 7379  df-enq 7381  df-nqqs 7382  df-plqqs 7383  df-mqqs 7384  df-ltnqqs 7387
This theorem is referenced by:  prmuloc  7600
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