Theorem prmuloclemcalc 7506

Description: Calculations for prmuloc 7507. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmuloclemcalc.ru	|- ( ph -> R <Q U )
prmuloclemcalc.udp	|- ( ph -> U <Q ( D +Q P ) )
prmuloclemcalc.axb	|- ( ph -> ( A +Q X ) = B )
prmuloclemcalc.pbrx	|- ( ph -> ( P .Q B ) <Q ( R .Q X ) )
prmuloclemcalc.a	|- ( ph -> A e. Q. )
prmuloclemcalc.b	|- ( ph -> B e. Q. )
prmuloclemcalc.d	|- ( ph -> D e. Q. )
prmuloclemcalc.p	|- ( ph -> P e. Q. )
prmuloclemcalc.x	|- ( ph -> X e. Q. )

Assertion

Ref	Expression
prmuloclemcalc	|- ( ph -> ( U .Q A ) <Q ( D .Q B ) )

Proof of Theorem prmuloclemcalc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuloclemcalc.axb	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A +Q X ) = B )
2	1	oveq2d 5858	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U .Q ( A +Q X ) ) = ( U .Q B ) )
3		prmuloclemcalc.ru	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R <Q U )
4		ltrelnq 7306	. . . . . . . . . 10 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
5	4	brel 4656	. . . . . . . . 9 |- ( R <Q U -> ( R e. Q. /\ U e. Q. ) )
6	3, 5	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( R e. Q. /\ U e. Q. ) )
7	6	simprd 113	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. Q. )
8		prmuloclemcalc.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. Q. )
9		prmuloclemcalc.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. Q. )
10		distrnqg 7328	. . . . . . 7 |- ( ( U e. Q. /\ A e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( U .Q ( A +Q X ) ) = ( ( U .Q A ) +Q ( U .Q X ) ) )
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U .Q ( A +Q X ) ) = ( ( U .Q A ) +Q ( U .Q X ) ) )
12	2, 11	eqtr3d 2200	. . . . 5 |- ( ph -> ( U .Q B ) = ( ( U .Q A ) +Q ( U .Q X ) ) )
13		prmuloclemcalc.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. Q. )
14		mulcomnqg 7324	. . . . . . 7 |- ( ( B e. Q. /\ U e. Q. ) -> ( B .Q U ) = ( U .Q B ) )
15	13, 7, 14	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B .Q U ) = ( U .Q B ) )
16		prmuloclemcalc.udp	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U <Q ( D +Q P ) )
17		ltmnqi 7344	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U <Q ( D +Q P ) /\ B e. Q. ) -> ( B .Q U ) <Q ( B .Q ( D +Q P ) ) )
18	16, 13, 17	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B .Q U ) <Q ( B .Q ( D +Q P ) ) )
19		prmuloclemcalc.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. Q. )
20		prmuloclemcalc.p	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. Q. )
21		distrnqg 7328	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. Q. /\ D e. Q. /\ P e. Q. ) -> ( B .Q ( D +Q P ) ) = ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) )
22	13, 19, 20, 21	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B .Q ( D +Q P ) ) = ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) )
23	18, 22	breqtrd 4008	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) )
24		mulcomnqg 7324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( P .Q B ) = ( B .Q P ) )
25	20, 13, 24	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P .Q B ) = ( B .Q P ) )
26		prmuloclemcalc.pbrx	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P .Q B ) <Q ( R .Q X ) )
27	25, 26	eqbrtrrd 4006	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B .Q P ) <Q ( R .Q X ) )
28		mulclnq 7317	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. Q. /\ D e. Q. ) -> ( B .Q D ) e. Q. )
29	13, 19, 28	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B .Q D ) e. Q. )
30		ltanqi 7343	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B .Q P ) <Q ( R .Q X ) /\ ( B .Q D ) e. Q. ) -> ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) )
31	27, 29, 30	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) )
32		ltsonq 7339	. . . . . . . . 9 |- <Q Or Q.
33	32, 4	sotri 4999	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) /\ ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) ) -> ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) )
34	23, 31, 33	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) )
35		ltmnqi 7344	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R <Q U /\ X e. Q. ) -> ( X .Q R ) <Q ( X .Q U ) )
36	3, 9, 35	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X .Q R ) <Q ( X .Q U ) )
37	6	simpld 111	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. Q. )
38		mulcomnqg 7324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. Q. /\ R e. Q. ) -> ( X .Q R ) = ( R .Q X ) )
39	9, 37, 38	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X .Q R ) = ( R .Q X ) )
40		mulcomnqg 7324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. Q. /\ U e. Q. ) -> ( X .Q U ) = ( U .Q X ) )
41	9, 7, 40	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X .Q U ) = ( U .Q X ) )
42	36, 39, 41	3brtr3d 4013	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( R .Q X ) <Q ( U .Q X ) )
43		ltanqi 7343	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R .Q X ) <Q ( U .Q X ) /\ ( B .Q D ) e. Q. ) -> ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) )
44	42, 29, 43	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) )
45	32, 4	sotri 4999	. . . . . . 7 |- ( ( ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) /\ ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) ) -> ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) )
46	34, 44, 45	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) )
47	15, 46	eqbrtrrd 4006	. . . . 5 |- ( ph -> ( U .Q B ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) )
48	12, 47	eqbrtrrd 4006	. . . 4 |- ( ph -> ( ( U .Q A ) +Q ( U .Q X ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) )
49		mulclnq 7317	. . . . . 6 |- ( ( U e. Q. /\ A e. Q. ) -> ( U .Q A ) e. Q. )
50	7, 8, 49	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ph -> ( U .Q A ) e. Q. )
51		mulclnq 7317	. . . . . 6 |- ( ( U e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( U .Q X ) e. Q. )
52	7, 9, 51	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ph -> ( U .Q X ) e. Q. )
53		addcomnqg 7322	. . . . 5 |- ( ( ( U .Q A ) e. Q. /\ ( U .Q X ) e. Q. ) -> ( ( U .Q A ) +Q ( U .Q X ) ) = ( ( U .Q X ) +Q ( U .Q A ) ) )
54	50, 52, 53	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ph -> ( ( U .Q A ) +Q ( U .Q X ) ) = ( ( U .Q X ) +Q ( U .Q A ) ) )
55		addcomnqg 7322	. . . . 5 |- ( ( ( B .Q D ) e. Q. /\ ( U .Q X ) e. Q. ) -> ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) = ( ( U .Q X ) +Q ( B .Q D ) ) )
56	29, 52, 55	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ph -> ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) = ( ( U .Q X ) +Q ( B .Q D ) ) )
57	48, 54, 56	3brtr3d 4013	. . 3 |- ( ph -> ( ( U .Q X ) +Q ( U .Q A ) ) <Q ( ( U .Q X ) +Q ( B .Q D ) ) )
58		ltanqg 7341	. . . 4 |- ( ( ( U .Q A ) e. Q. /\ ( B .Q D ) e. Q. /\ ( U .Q X ) e. Q. ) -> ( ( U .Q A ) <Q ( B .Q D ) <-> ( ( U .Q X ) +Q ( U .Q A ) ) <Q ( ( U .Q X ) +Q ( B .Q D ) ) ) )
59	50, 29, 52, 58	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ph -> ( ( U .Q A ) <Q ( B .Q D ) <-> ( ( U .Q X ) +Q ( U .Q A ) ) <Q ( ( U .Q X ) +Q ( B .Q D ) ) ) )
60	57, 59	mpbird 166	. 2 |- ( ph -> ( U .Q A ) <Q ( B .Q D ) )
61		mulcomnqg 7324	. . 3 |- ( ( B e. Q. /\ D e. Q. ) -> ( B .Q D ) = ( D .Q B ) )
62	13, 19, 61	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( B .Q D ) = ( D .Q B ) )
63	60, 62	breqtrd 4008	1 |- ( ph -> ( U .Q A ) <Q ( D .Q B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   Q.cnq 7221   +Q cplq 7223   .Q cmq 7224   <Q cltq 7226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-pli 7246  df-mi 7247  df-lti 7248  df-plpq 7285  df-mpq 7286  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-plqqs 7290  df-mqqs 7291  df-ltnqqs 7294

This theorem is referenced by:  prmuloc  7507