Theorem prmuloclemcalc 7124

Description: Calculations for prmuloc 7125. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmuloclemcalc.ru	|- ( ph -> R <Q U )
prmuloclemcalc.udp	|- ( ph -> U <Q ( D +Q P ) )
prmuloclemcalc.axb	|- ( ph -> ( A +Q X ) = B )
prmuloclemcalc.pbrx	|- ( ph -> ( P .Q B ) <Q ( R .Q X ) )
prmuloclemcalc.a	|- ( ph -> A e. Q. )
prmuloclemcalc.b	|- ( ph -> B e. Q. )
prmuloclemcalc.d	|- ( ph -> D e. Q. )
prmuloclemcalc.p	|- ( ph -> P e. Q. )
prmuloclemcalc.x	|- ( ph -> X e. Q. )

Assertion

Ref	Expression
prmuloclemcalc	|- ( ph -> ( U .Q A ) <Q ( D .Q B ) )

Proof of Theorem prmuloclemcalc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuloclemcalc.axb	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A +Q X ) = B )
2	1	oveq2d 5668	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U .Q ( A +Q X ) ) = ( U .Q B ) )
3		prmuloclemcalc.ru	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R <Q U )
4		ltrelnq 6924	. . . . . . . . . 10 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
5	4	brel 4490	. . . . . . . . 9 |- ( R <Q U -> ( R e. Q. /\ U e. Q. ) )
6	3, 5	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( R e. Q. /\ U e. Q. ) )
7	6	simprd 112	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. Q. )
8		prmuloclemcalc.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. Q. )
9		prmuloclemcalc.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. Q. )
10		distrnqg 6946	. . . . . . 7 |- ( ( U e. Q. /\ A e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( U .Q ( A +Q X ) ) = ( ( U .Q A ) +Q ( U .Q X ) ) )
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1174	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U .Q ( A +Q X ) ) = ( ( U .Q A ) +Q ( U .Q X ) ) )
12	2, 11	eqtr3d 2122	. . . . 5 |- ( ph -> ( U .Q B ) = ( ( U .Q A ) +Q ( U .Q X ) ) )
13		prmuloclemcalc.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. Q. )
14		mulcomnqg 6942	. . . . . . 7 |- ( ( B e. Q. /\ U e. Q. ) -> ( B .Q U ) = ( U .Q B ) )
15	13, 7, 14	syl2anc 403	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B .Q U ) = ( U .Q B ) )
16		prmuloclemcalc.udp	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U <Q ( D +Q P ) )
17		ltmnqi 6962	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U <Q ( D +Q P ) /\ B e. Q. ) -> ( B .Q U ) <Q ( B .Q ( D +Q P ) ) )
18	16, 13, 17	syl2anc 403	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B .Q U ) <Q ( B .Q ( D +Q P ) ) )
19		prmuloclemcalc.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> D e. Q. )
20		prmuloclemcalc.p	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. Q. )
21		distrnqg 6946	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. Q. /\ D e. Q. /\ P e. Q. ) -> ( B .Q ( D +Q P ) ) = ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) )
22	13, 19, 20, 21	syl3anc 1174	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B .Q ( D +Q P ) ) = ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) )
23	18, 22	breqtrd 3869	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) )
24		mulcomnqg 6942	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( P .Q B ) = ( B .Q P ) )
25	20, 13, 24	syl2anc 403	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P .Q B ) = ( B .Q P ) )
26		prmuloclemcalc.pbrx	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( P .Q B ) <Q ( R .Q X ) )
27	25, 26	eqbrtrrd 3867	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B .Q P ) <Q ( R .Q X ) )
28		mulclnq 6935	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. Q. /\ D e. Q. ) -> ( B .Q D ) e. Q. )
29	13, 19, 28	syl2anc 403	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B .Q D ) e. Q. )
30		ltanqi 6961	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B .Q P ) <Q ( R .Q X ) /\ ( B .Q D ) e. Q. ) -> ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) )
31	27, 29, 30	syl2anc 403	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) )
32		ltsonq 6957	. . . . . . . . 9 |- <Q Or Q.
33	32, 4	sotri 4827	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) /\ ( ( B .Q D ) +Q ( B .Q P ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) ) -> ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) )
34	23, 31, 33	syl2anc 403	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) )
35		ltmnqi 6962	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R <Q U /\ X e. Q. ) -> ( X .Q R ) <Q ( X .Q U ) )
36	3, 9, 35	syl2anc 403	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X .Q R ) <Q ( X .Q U ) )
37	6	simpld 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. Q. )
38		mulcomnqg 6942	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. Q. /\ R e. Q. ) -> ( X .Q R ) = ( R .Q X ) )
39	9, 37, 38	syl2anc 403	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X .Q R ) = ( R .Q X ) )
40		mulcomnqg 6942	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. Q. /\ U e. Q. ) -> ( X .Q U ) = ( U .Q X ) )
41	9, 7, 40	syl2anc 403	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X .Q U ) = ( U .Q X ) )
42	36, 39, 41	3brtr3d 3874	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( R .Q X ) <Q ( U .Q X ) )
43		ltanqi 6961	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R .Q X ) <Q ( U .Q X ) /\ ( B .Q D ) e. Q. ) -> ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) )
44	42, 29, 43	syl2anc 403	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) )
45	32, 4	sotri 4827	. . . . . . 7 |- ( ( ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) /\ ( ( B .Q D ) +Q ( R .Q X ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) ) -> ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) )
46	34, 44, 45	syl2anc 403	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B .Q U ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) )
47	15, 46	eqbrtrrd 3867	. . . . 5 |- ( ph -> ( U .Q B ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) )
48	12, 47	eqbrtrrd 3867	. . . 4 |- ( ph -> ( ( U .Q A ) +Q ( U .Q X ) ) <Q ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) )
49		mulclnq 6935	. . . . . 6 |- ( ( U e. Q. /\ A e. Q. ) -> ( U .Q A ) e. Q. )
50	7, 8, 49	syl2anc 403	. . . . 5 |- ( ph -> ( U .Q A ) e. Q. )
51		mulclnq 6935	. . . . . 6 |- ( ( U e. Q. /\ X e. Q. ) -> ( U .Q X ) e. Q. )
52	7, 9, 51	syl2anc 403	. . . . 5 |- ( ph -> ( U .Q X ) e. Q. )
53		addcomnqg 6940	. . . . 5 |- ( ( ( U .Q A ) e. Q. /\ ( U .Q X ) e. Q. ) -> ( ( U .Q A ) +Q ( U .Q X ) ) = ( ( U .Q X ) +Q ( U .Q A ) ) )
54	50, 52, 53	syl2anc 403	. . . 4 |- ( ph -> ( ( U .Q A ) +Q ( U .Q X ) ) = ( ( U .Q X ) +Q ( U .Q A ) ) )
55		addcomnqg 6940	. . . . 5 |- ( ( ( B .Q D ) e. Q. /\ ( U .Q X ) e. Q. ) -> ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) = ( ( U .Q X ) +Q ( B .Q D ) ) )
56	29, 52, 55	syl2anc 403	. . . 4 |- ( ph -> ( ( B .Q D ) +Q ( U .Q X ) ) = ( ( U .Q X ) +Q ( B .Q D ) ) )
57	48, 54, 56	3brtr3d 3874	. . 3 |- ( ph -> ( ( U .Q X ) +Q ( U .Q A ) ) <Q ( ( U .Q X ) +Q ( B .Q D ) ) )
58		ltanqg 6959	. . . 4 |- ( ( ( U .Q A ) e. Q. /\ ( B .Q D ) e. Q. /\ ( U .Q X ) e. Q. ) -> ( ( U .Q A ) <Q ( B .Q D ) <-> ( ( U .Q X ) +Q ( U .Q A ) ) <Q ( ( U .Q X ) +Q ( B .Q D ) ) ) )
59	50, 29, 52, 58	syl3anc 1174	. . 3 |- ( ph -> ( ( U .Q A ) <Q ( B .Q D ) <-> ( ( U .Q X ) +Q ( U .Q A ) ) <Q ( ( U .Q X ) +Q ( B .Q D ) ) ) )
60	57, 59	mpbird 165	. 2 |- ( ph -> ( U .Q A ) <Q ( B .Q D ) )
61		mulcomnqg 6942	. . 3 |- ( ( B e. Q. /\ D e. Q. ) -> ( B .Q D ) = ( D .Q B ) )
62	13, 19, 61	syl2anc 403	. 2 |- ( ph -> ( B .Q D ) = ( D .Q B ) )
63	60, 62	breqtrd 3869	1 |- ( ph -> ( U .Q A ) <Q ( D .Q B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1289   e. wcel 1438   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   Q.cnq 6839   +Q cplq 6841   .Q cmq 6842   <Q cltq 6844

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-eprel 4116  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-oadd 6185  df-omul 6186  df-er 6292  df-ec 6294  df-qs 6298  df-ni 6863  df-pli 6864  df-mi 6865  df-lti 6866  df-plpq 6903  df-mpq 6904  df-enq 6906  df-nqqs 6907  df-plqqs 6908  df-mqqs 6909  df-ltnqqs 6912

This theorem is referenced by:  prmuloc  7125