Theorem konigsberglem5 16362

Description: Lemma 5 for konigsberg 16363: The set of vertices of odd degree is greater than 2. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
konigsberg.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
konigsberglem5	|- 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } )

Distinct variable groups:   x, V   x, G

Allowed substitution hint:   E( x)

Proof of Theorem konigsberglem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		konigsberg.v	. . 3 |- V = ( 0 ... 3 )
2		konigsberg.e	. . 3 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
3		konigsberg.g	. . 3 |- G = <. V , E >.
4	1, 2, 3	konigsberglem4 16361	. 2 |- { 0 , 1 , 3 } C_ { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) }
5		0z 9490	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
6		3z 9508	. . . . . . . 8 |- 3 e. ZZ
7		fzfig 10693	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 0 ... 3 ) e. Fin )
8	5, 6, 7	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( 0 ... 3 ) e. Fin
9	1, 8	eqeltri 2304	. . . . . 6 |- V e. Fin
10	9	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> V e. Fin )
11		2nn 9305	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
12	1, 2, 3	konigsbergvtx 16352	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Vtx ` G ) = ( 0 ... 3 )
13	12	eqcomi 2235	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` G )
14	3	fveq2i 5642	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` <. V , E >. )
15	9	elexi 2815	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- V e. _V
16		0nn0 9417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 0 e. NN0
17		1nn0 9418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1 e. NN0
18		prexg 4301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } e. _V )
19	16, 17, 18	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { 0 , 1 } e. _V
20	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( T. -> { 0 , 1 } e. _V )
21		2nn0 9419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 e. NN0
22		prexg 4301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) -> { 0 , 2 } e. _V )
23	16, 21, 22	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { 0 , 2 } e. _V
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( T. -> { 0 , 2 } e. _V )
25		3nn0 9420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 3 e. NN0
26		prexg 4301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 3 e. NN0 ) -> { 0 , 3 } e. _V )
27	16, 25, 26	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { 0 , 3 } e. _V
28	27	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( T. -> { 0 , 3 } e. _V )
29		prexg 4301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 1 e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) -> { 1 , 2 } e. _V )
30	17, 21, 29	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { 1 , 2 } e. _V
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( T. -> { 1 , 2 } e. _V )
32		prexg 4301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 2 e. NN0 /\ 3 e. NN0 ) -> { 2 , 3 } e. _V )
33	21, 25, 32	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { 2 , 3 } e. _V
34	33	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( T. -> { 2 , 3 } e. _V )
35	20, 24, 28, 31, 31, 34, 34	s7cld 11368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
36	35	mptru 1406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V
37	2, 36	eqeltri 2304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- E e. Word _V
38	37	elexi 2815	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- E e. _V
39	15, 38	opiedgfvi 15898	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (iEdg ` <. V , E >. ) = E
40	14, 39	eqtr2i 2253	. . . . . . . . . . . . . 14 |- E = (iEdg ` G )
41		wrddm 11125	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E e. Word _V -> dom E = ( 0..^ (♯ ` E ) ) )
42	37, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- dom E = ( 0..^ (♯ ` E ) )
43	42	eqcomi 2235	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0..^ (♯ ` E ) ) = dom E
44		lencl 11121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E e. Word _V -> (♯ ` E ) e. NN0 )
45	37, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (♯ ` E ) e. NN0
46	45	nn0zi 9501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (♯ ` E ) e. ZZ
47		fzofig 10695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. ZZ /\ (♯ ` E ) e. ZZ ) -> ( 0..^ (♯ ` E ) ) e. Fin )
48	5, 46, 47	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0..^ (♯ ` E ) ) e. Fin
49	48	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T. -> ( 0..^ (♯ ` E ) ) e. Fin )
50	8	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T. -> ( 0 ... 3 ) e. Fin )
51	1, 2, 3	konigsbergumgr 16357	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- G e. UMGraph
52		umgrupgr 15982	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. UMGraph -> G e. UPGraph )
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- G e. UPGraph
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T. -> G e. UPGraph )
55	13, 40, 43, 49, 50, 54	vtxdgfif 16163	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> (VtxDeg ` G ) : ( 0 ... 3 ) --> NN0 )
56	55	mptru 1406	. . . . . . . . . . . 12 |- (VtxDeg ` G ) : ( 0 ... 3 ) --> NN0
57	56	ffvelcdmi 5781	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 ... 3 ) -> ( (VtxDeg ` G ) ` x ) e. NN0 )
58	57, 1	eleq2s 2326	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. V -> ( (VtxDeg ` G ) ` x ) e. NN0 )
59	58	nn0zd 9600	. . . . . . . . 9 |- ( x e. V -> ( (VtxDeg ` G ) ` x ) e. ZZ )
60		dvdsdc 12377	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. NN /\ ( (VtxDeg ` G ) ` x ) e. ZZ ) -> DECID 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) )
61	11, 59, 60	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( x e. V -> DECID 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) )
62		dcn 849	. . . . . . . 8 |- (DECID 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) -> DECID -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) )
63	61, 62	syl 14	. . . . . . 7 |- ( x e. V -> DECID -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) )
64	63	rgen 2585	. . . . . 6 |- A. x e. V DECID -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x )
65	64	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> A. x e. V DECID -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) )
66	10, 65	ssfirab 7129	. . . 4 |- ( T. -> { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } e. Fin )
67	66	mptru 1406	. . 3 |- { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } e. Fin
68	16	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> 0 e. NN0 )
69	17	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> 1 e. NN0 )
70	25	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> 3 e. NN0 )
71		0ne1 9210	. . . . . 6 |- 0 =/= 1
72	71	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> 0 =/= 1 )
73		3ne0 9238	. . . . . . 7 |- 3 =/= 0
74	73	necomi 2487	. . . . . 6 |- 0 =/= 3
75	74	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> 0 =/= 3 )
76		1re 8178	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
77		1lt3 9315	. . . . . . 7 |- 1 < 3
78	76, 77	ltneii 8276	. . . . . 6 |- 1 =/= 3
79	78	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> 1 =/= 3 )
80	68, 69, 70, 72, 75, 79	tpfidisj 7121	. . . 4 |- ( T. -> { 0 , 1 , 3 } e. Fin )
81	80	mptru 1406	. . 3 |- { 0 , 1 , 3 } e. Fin
82		fihashss 11081	. . 3 |- ( ( { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } e. Fin /\ { 0 , 1 , 3 } e. Fin /\ { 0 , 1 , 3 } C_ { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) -> (♯ ` { 0 , 1 , 3 } ) <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
83	67, 81, 82	mp3an12 1363	. 2 |- ( { 0 , 1 , 3 } C_ { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } -> (♯ ` { 0 , 1 , 3 } ) <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
84	71, 78, 73	3pm3.2i 1201	. . . . 5 |- ( 0 =/= 1 /\ 1 =/= 3 /\ 3 =/= 0 )
85		c0ex 8173	. . . . . 6 |- 0 e. _V
86		1ex 8174	. . . . . 6 |- 1 e. _V
87		3ex 9219	. . . . . 6 |- 3 e. _V
88		hashtpg 11112	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V /\ 3 e. _V ) -> ( ( 0 =/= 1 /\ 1 =/= 3 /\ 3 =/= 0 ) <-> (♯ ` { 0 , 1 , 3 } ) = 3 ) )
89	85, 86, 87, 88	mp3an 1373	. . . . 5 |- ( ( 0 =/= 1 /\ 1 =/= 3 /\ 3 =/= 0 ) <-> (♯ ` { 0 , 1 , 3 } ) = 3 )
90	84, 89	mpbi 145	. . . 4 |- (♯ ` { 0 , 1 , 3 } ) = 3
91	90	breq1i 4095	. . 3 |- ( (♯ ` { 0 , 1 , 3 } ) <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) <-> 3 <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
92		df-3 9203	. . . . 5 |- 3 = ( 2 + 1 )
93	92	breq1i 4095	. . . 4 |- ( 3 <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) <-> ( 2 + 1 ) <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
94		2z 9507	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
95		hashcl 11044	. . . . . . 7 |- ( { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } e. Fin -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. NN0 )
96	67, 95	ax-mp 5	. . . . . 6 |- (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. NN0
97	96	nn0zi 9501	. . . . 5 |- (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. ZZ
98		zltp1le 9534	. . . . 5 |- ( ( 2 e. ZZ /\ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. ZZ ) -> ( 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) <-> ( 2 + 1 ) <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) ) )
99	94, 97, 98	mp2an 426	. . . 4 |- ( 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) <-> ( 2 + 1 ) <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
100	93, 99	sylbb2 138	. . 3 |- ( 3 <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) -> 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
101	91, 100	sylbi 121	. 2 |- ( (♯ ` { 0 , 1 , 3 } ) <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) -> 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
102	4, 83, 101	mp2b 8	1 |- 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105  DECID wdc 841   /\ w3a 1004   = wceq 1397   T. wtru 1398   e. wcel 2202   =/= wne 2402   A.wral 2510   {crab 2514   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   {cpr 3670   {ctp 3671   <.cop 3672   class class class wbr 4088   dom cdm 4725   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Fincfn 6909   0cc0 8032   1c1 8033   + caddc 8035   < clt 8214   <_ cle 8215   NNcn 9143   2c2 9194   3c3 9195   NN0cn0 9402   ZZcz 9479   ...cfz 10243  ..^cfzo 10377  ♯chash 11038  Word cword 11117   <"cs7 11339   || cdvds 12366  Vtxcvtx 15882  iEdgciedg 15883  UPGraphcupgr 15961  UMGraphcumgr 15962  VtxDegcvtxdg 16156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-xor 1420  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-oadd 6586  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-dec 9612  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-xadd 10008  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-fl 10531  df-mod 10586  df-ihash 11039  df-word 11118  df-concat 11172  df-s1 11197  df-s2 11341  df-s3 11342  df-s4 11343  df-s5 11344  df-s6 11345  df-s7 11346  df-dvds 12367  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-edgf 15875  df-vtx 15884  df-iedg 15885  df-upgren 15963  df-umgren 15964  df-vtxdg 16157

This theorem is referenced by:  konigsberg  16363