Theorem konigsberglem5 16613

Description: Lemma 5 for konigsberg 16614: The set of vertices of odd degree is greater than 2. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
konigsberg.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
konigsberglem5	|- 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } )

Distinct variable groups:   x, V   x, G

Allowed substitution hint:   E( x)

Proof of Theorem konigsberglem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		konigsberg.v	. . 3 |- V = ( 0 ... 3 )
2		konigsberg.e	. . 3 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
3		konigsberg.g	. . 3 |- G = <. V , E >.
4	1, 2, 3	konigsberglem4 16612	. 2 |- { 0 , 1 , 3 } C_ { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) }
5		0z 9605	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
6		3z 9623	. . . . . . . 8 |- 3 e. ZZ
7		fzfig 10816	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 0 ... 3 ) e. Fin )
8	5, 6, 7	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( 0 ... 3 ) e. Fin
9	1, 8	eqeltri 2307	. . . . . 6 |- V e. Fin
10	9	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> V e. Fin )
11		2nn 9416	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
12	1, 2, 3	konigsbergvtx 16603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Vtx ` G ) = ( 0 ... 3 )
13	12	eqcomi 2238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` G )
14	3	fveq2i 5678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` <. V , E >. )
15	9	elexi 2828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- V e. _V
16		0nn0 9528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 0 e. NN0
17		1nn0 9529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1 e. NN0
18		prexg 4330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } e. _V )
19	16, 17, 18	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { 0 , 1 } e. _V
20	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( T. -> { 0 , 1 } e. _V )
21		2nn0 9530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 e. NN0
22		prexg 4330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) -> { 0 , 2 } e. _V )
23	16, 21, 22	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { 0 , 2 } e. _V
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( T. -> { 0 , 2 } e. _V )
25		3nn0 9531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 3 e. NN0
26		prexg 4330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 3 e. NN0 ) -> { 0 , 3 } e. _V )
27	16, 25, 26	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { 0 , 3 } e. _V
28	27	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( T. -> { 0 , 3 } e. _V )
29		prexg 4330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 1 e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) -> { 1 , 2 } e. _V )
30	17, 21, 29	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { 1 , 2 } e. _V
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( T. -> { 1 , 2 } e. _V )
32		prexg 4330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 2 e. NN0 /\ 3 e. NN0 ) -> { 2 , 3 } e. _V )
33	21, 25, 32	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { 2 , 3 } e. _V
34	33	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( T. -> { 2 , 3 } e. _V )
35	20, 24, 28, 31, 31, 34, 34	s7cld 11500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
36	35	mptru 1407	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V
37	2, 36	eqeltri 2307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- E e. Word _V
38	37	elexi 2828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- E e. _V
39	15, 38	opiedgfvi 16149	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (iEdg ` <. V , E >. ) = E
40	14, 39	eqtr2i 2256	. . . . . . . . . . . . . 14 |- E = (iEdg ` G )
41		wrddm 11257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E e. Word _V -> dom E = ( 0..^ (♯ ` E ) ) )
42	37, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- dom E = ( 0..^ (♯ ` E ) )
43	42	eqcomi 2238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0..^ (♯ ` E ) ) = dom E
44		lencl 11253	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E e. Word _V -> (♯ ` E ) e. NN0 )
45	37, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (♯ ` E ) e. NN0
46	45	nn0zi 9616	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (♯ ` E ) e. ZZ
47		fzofig 10818	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. ZZ /\ (♯ ` E ) e. ZZ ) -> ( 0..^ (♯ ` E ) ) e. Fin )
48	5, 46, 47	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0..^ (♯ ` E ) ) e. Fin
49	48	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T. -> ( 0..^ (♯ ` E ) ) e. Fin )
50	8	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T. -> ( 0 ... 3 ) e. Fin )
51	1, 2, 3	konigsbergumgr 16608	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- G e. UMGraph
52		umgrupgr 16233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. UMGraph -> G e. UPGraph )
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- G e. UPGraph
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T. -> G e. UPGraph )
55	13, 40, 43, 49, 50, 54	vtxdgfif 16414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> (VtxDeg ` G ) : ( 0 ... 3 ) --> NN0 )
56	55	mptru 1407	. . . . . . . . . . . 12 |- (VtxDeg ` G ) : ( 0 ... 3 ) --> NN0
57	56	ffvelcdmi 5816	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 ... 3 ) -> ( (VtxDeg ` G ) ` x ) e. NN0 )
58	57, 1	eleq2s 2329	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. V -> ( (VtxDeg ` G ) ` x ) e. NN0 )
59	58	nn0zd 9716	. . . . . . . . 9 |- ( x e. V -> ( (VtxDeg ` G ) ` x ) e. ZZ )
60		dvdsdc 12509	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. NN /\ ( (VtxDeg ` G ) ` x ) e. ZZ ) -> DECID 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) )
61	11, 59, 60	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( x e. V -> DECID 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) )
62		dcn 850	. . . . . . . 8 |- (DECID 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) -> DECID -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) )
63	61, 62	syl 14	. . . . . . 7 |- ( x e. V -> DECID -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) )
64	63	rgen 2597	. . . . . 6 |- A. x e. V DECID -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x )
65	64	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> A. x e. V DECID -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) )
66	10, 65	ssfirab 7210	. . . 4 |- ( T. -> { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } e. Fin )
67	66	mptru 1407	. . 3 |- { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } e. Fin
68	16	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> 0 e. NN0 )
69	17	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> 1 e. NN0 )
70	25	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> 3 e. NN0 )
71		0ne1 9321	. . . . . 6 |- 0 =/= 1
72	71	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> 0 =/= 1 )
73		3ne0 9349	. . . . . . 7 |- 3 =/= 0
74	73	necomi 2499	. . . . . 6 |- 0 =/= 3
75	74	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> 0 =/= 3 )
76		1re 8289	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
77		1lt3 9426	. . . . . . 7 |- 1 < 3
78	76, 77	ltneii 8386	. . . . . 6 |- 1 =/= 3
79	78	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> 1 =/= 3 )
80	68, 69, 70, 72, 75, 79	tpfidisj 7202	. . . 4 |- ( T. -> { 0 , 1 , 3 } e. Fin )
81	80	mptru 1407	. . 3 |- { 0 , 1 , 3 } e. Fin
82		fihashss 11206	. . 3 |- ( ( { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } e. Fin /\ { 0 , 1 , 3 } e. Fin /\ { 0 , 1 , 3 } C_ { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) -> (♯ ` { 0 , 1 , 3 } ) <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
83	67, 81, 82	mp3an12 1364	. 2 |- ( { 0 , 1 , 3 } C_ { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } -> (♯ ` { 0 , 1 , 3 } ) <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
84	71, 78, 73	3pm3.2i 1202	. . . . 5 |- ( 0 =/= 1 /\ 1 =/= 3 /\ 3 =/= 0 )
85		c0ex 8284	. . . . . 6 |- 0 e. _V
86		1ex 8285	. . . . . 6 |- 1 e. _V
87		3ex 9330	. . . . . 6 |- 3 e. _V
88		hashtpg 11244	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V /\ 3 e. _V ) -> ( ( 0 =/= 1 /\ 1 =/= 3 /\ 3 =/= 0 ) <-> (♯ ` { 0 , 1 , 3 } ) = 3 ) )
89	85, 86, 87, 88	mp3an 1374	. . . . 5 |- ( ( 0 =/= 1 /\ 1 =/= 3 /\ 3 =/= 0 ) <-> (♯ ` { 0 , 1 , 3 } ) = 3 )
90	84, 89	mpbi 145	. . . 4 |- (♯ ` { 0 , 1 , 3 } ) = 3
91	90	breq1i 4121	. . 3 |- ( (♯ ` { 0 , 1 , 3 } ) <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) <-> 3 <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
92		df-3 9314	. . . . 5 |- 3 = ( 2 + 1 )
93	92	breq1i 4121	. . . 4 |- ( 3 <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) <-> ( 2 + 1 ) <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
94		2z 9622	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
95		hashcl 11169	. . . . . . 7 |- ( { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } e. Fin -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. NN0 )
96	67, 95	ax-mp 5	. . . . . 6 |- (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. NN0
97	96	nn0zi 9616	. . . . 5 |- (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. ZZ
98		zltp1le 9649	. . . . 5 |- ( ( 2 e. ZZ /\ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. ZZ ) -> ( 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) <-> ( 2 + 1 ) <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) ) )
99	94, 97, 98	mp2an 426	. . . 4 |- ( 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) <-> ( 2 + 1 ) <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
100	93, 99	sylbb2 138	. . 3 |- ( 3 <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) -> 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
101	91, 100	sylbi 121	. 2 |- ( (♯ ` { 0 , 1 , 3 } ) <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) -> 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
102	4, 83, 101	mp2b 8	1 |- 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 2205   =/= wne 2414   A.wral 2522   {crab 2526   _Vcvv 2815   C_ wss 3214   {cpr 3695   {ctp 3696   <.cop 3697   class class class wbr 4114   dom cdm 4754   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Fincfn 6988   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   < clt 8324   <_ cle 8325   NNcn 9254   2c2 9305   3c3 9306   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   ...cfz 10361  ..^cfzo 10498  ♯chash 11163  Word cword 11249   <"cs7 11471   || cdvds 12498  Vtxcvtx 16133  iEdgciedg 16134  UPGraphcupgr 16212  UMGraphcumgr 16213  VtxDegcvtxdg 16407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-dec 9728  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-xadd 10125  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-fl 10654  df-mod 10709  df-ihash 11164  df-word 11250  df-concat 11304  df-s1 11329  df-s2 11473  df-s3 11474  df-s4 11475  df-s5 11476  df-s6 11477  df-s7 11478  df-dvds 12499  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-edgf 16126  df-vtx 16135  df-iedg 16136  df-upgren 16214  df-umgren 16215  df-vtxdg 16408

This theorem is referenced by:  konigsberg  16614