Theorem konigsberglem5 16647

Description: Lemma 5 for konigsberg 16648: The set of vertices of odd degree is greater than 2. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
konigsberg.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
konigsberglem5	|- 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } )

Distinct variable groups:   x, V   x, G

Allowed substitution hint:   E( x)

Proof of Theorem konigsberglem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		konigsberg.v	. . 3 |- V = ( 0 ... 3 )
2		konigsberg.e	. . 3 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
3		konigsberg.g	. . 3 |- G = <. V , E >.
4	1, 2, 3	konigsberglem4 16646	. 2 |- { 0 , 1 , 3 } C_ { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) }
5		0z 9634	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
6		3z 9652	. . . . . . . 8 |- 3 e. ZZ
7		fzfig 10845	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 0 ... 3 ) e. Fin )
8	5, 6, 7	mp2an 430	. . . . . . 7 |- ( 0 ... 3 ) e. Fin
9	1, 8	eqeltri 2311	. . . . . 6 |- V e. Fin
10	9	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> V e. Fin )
11		2nn 9445	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
12	1, 2, 3	konigsbergvtx 16637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Vtx ` G ) = ( 0 ... 3 )
13	12	eqcomi 2242	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` G )
14	3	fveq2i 5693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` <. V , E >. )
15	9	elexi 2834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- V e. _V
16		0nn0 9557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 0 e. NN0
17		1nn0 9558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1 e. NN0
18		prexg 4344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } e. _V )
19	16, 17, 18	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { 0 , 1 } e. _V
20	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( T. -> { 0 , 1 } e. _V )
21		2nn0 9559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 e. NN0
22		prexg 4344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) -> { 0 , 2 } e. _V )
23	16, 21, 22	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { 0 , 2 } e. _V
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( T. -> { 0 , 2 } e. _V )
25		3nn0 9560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 3 e. NN0
26		prexg 4344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 3 e. NN0 ) -> { 0 , 3 } e. _V )
27	16, 25, 26	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { 0 , 3 } e. _V
28	27	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( T. -> { 0 , 3 } e. _V )
29		prexg 4344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 1 e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) -> { 1 , 2 } e. _V )
30	17, 21, 29	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { 1 , 2 } e. _V
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( T. -> { 1 , 2 } e. _V )
32		prexg 4344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 2 e. NN0 /\ 3 e. NN0 ) -> { 2 , 3 } e. _V )
33	21, 25, 32	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { 2 , 3 } e. _V
34	33	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( T. -> { 2 , 3 } e. _V )
35	20, 24, 28, 31, 31, 34, 34	s7cld 11533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
36	35	mptru 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V
37	2, 36	eqeltri 2311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- E e. Word _V
38	37	elexi 2834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- E e. _V
39	15, 38	opiedgfvi 16183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (iEdg ` <. V , E >. ) = E
40	14, 39	eqtr2i 2260	. . . . . . . . . . . . . 14 |- E = (iEdg ` G )
41		wrddm 11290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E e. Word _V -> dom E = ( 0..^ (♯ ` E ) ) )
42	37, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- dom E = ( 0..^ (♯ ` E ) )
43	42	eqcomi 2242	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0..^ (♯ ` E ) ) = dom E
44		lencl 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E e. Word _V -> (♯ ` E ) e. NN0 )
45	37, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (♯ ` E ) e. NN0
46	45	nn0zi 9645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (♯ ` E ) e. ZZ
47		fzofig 10847	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. ZZ /\ (♯ ` E ) e. ZZ ) -> ( 0..^ (♯ ` E ) ) e. Fin )
48	5, 46, 47	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0..^ (♯ ` E ) ) e. Fin
49	48	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T. -> ( 0..^ (♯ ` E ) ) e. Fin )
50	8	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T. -> ( 0 ... 3 ) e. Fin )
51	1, 2, 3	konigsbergumgr 16642	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- G e. UMGraph
52		umgrupgr 16267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. UMGraph -> G e. UPGraph )
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- G e. UPGraph
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T. -> G e. UPGraph )
55	13, 40, 43, 49, 50, 54	vtxdgfif 16448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> (VtxDeg ` G ) : ( 0 ... 3 ) --> NN0 )
56	55	mptru 1411	. . . . . . . . . . . 12 |- (VtxDeg ` G ) : ( 0 ... 3 ) --> NN0
57	56	ffvelcdmi 5833	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 ... 3 ) -> ( (VtxDeg ` G ) ` x ) e. NN0 )
58	57, 1	eleq2s 2333	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. V -> ( (VtxDeg ` G ) ` x ) e. NN0 )
59	58	nn0zd 9745	. . . . . . . . 9 |- ( x e. V -> ( (VtxDeg ` G ) ` x ) e. ZZ )
60		dvdsdc 12543	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. NN /\ ( (VtxDeg ` G ) ` x ) e. ZZ ) -> DECID 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) )
61	11, 59, 60	sylancr 418	. . . . . . . 8 |- ( x e. V -> DECID 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) )
62		dcn 854	. . . . . . . 8 |- (DECID 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) -> DECID -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) )
63	61, 62	syl 14	. . . . . . 7 |- ( x e. V -> DECID -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) )
64	63	rgen 2603	. . . . . 6 |- A. x e. V DECID -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x )
65	64	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> A. x e. V DECID -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) )
66	10, 65	ssfirab 7234	. . . 4 |- ( T. -> { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } e. Fin )
67	66	mptru 1411	. . 3 |- { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } e. Fin
68	16	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> 0 e. NN0 )
69	17	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> 1 e. NN0 )
70	25	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> 3 e. NN0 )
71		0ne1 9350	. . . . . 6 |- 0 =/= 1
72	71	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> 0 =/= 1 )
73		3ne0 9378	. . . . . . 7 |- 3 =/= 0
74	73	necomi 2505	. . . . . 6 |- 0 =/= 3
75	74	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> 0 =/= 3 )
76		1re 8315	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
77		1lt3 9455	. . . . . . 7 |- 1 < 3
78	76, 77	ltneii 8412	. . . . . 6 |- 1 =/= 3
79	78	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> 1 =/= 3 )
80	68, 69, 70, 72, 75, 79	tpfidisj 7226	. . . 4 |- ( T. -> { 0 , 1 , 3 } e. Fin )
81	80	mptru 1411	. . 3 |- { 0 , 1 , 3 } e. Fin
82		fihashss 11235	. . 3 |- ( ( { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } e. Fin /\ { 0 , 1 , 3 } e. Fin /\ { 0 , 1 , 3 } C_ { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) -> (♯ ` { 0 , 1 , 3 } ) <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
83	67, 81, 82	mp3an12 1368	. 2 |- ( { 0 , 1 , 3 } C_ { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } -> (♯ ` { 0 , 1 , 3 } ) <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
84	71, 78, 73	3pm3.2i 1206	. . . . 5 |- ( 0 =/= 1 /\ 1 =/= 3 /\ 3 =/= 0 )
85		c0ex 8310	. . . . . 6 |- 0 e. _V
86		1ex 8311	. . . . . 6 |- 1 e. _V
87		3ex 9359	. . . . . 6 |- 3 e. _V
88		hashtpg 11277	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V /\ 3 e. _V ) -> ( ( 0 =/= 1 /\ 1 =/= 3 /\ 3 =/= 0 ) <-> (♯ ` { 0 , 1 , 3 } ) = 3 ) )
89	85, 86, 87, 88	mp3an 1378	. . . . 5 |- ( ( 0 =/= 1 /\ 1 =/= 3 /\ 3 =/= 0 ) <-> (♯ ` { 0 , 1 , 3 } ) = 3 )
90	84, 89	mpbi 145	. . . 4 |- (♯ ` { 0 , 1 , 3 } ) = 3
91	90	breq1i 4132	. . 3 |- ( (♯ ` { 0 , 1 , 3 } ) <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) <-> 3 <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
92		df-3 9343	. . . . 5 |- 3 = ( 2 + 1 )
93	92	breq1i 4132	. . . 4 |- ( 3 <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) <-> ( 2 + 1 ) <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
94		2z 9651	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
95		hashcl 11198	. . . . . . 7 |- ( { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } e. Fin -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. NN0 )
96	67, 95	ax-mp 5	. . . . . 6 |- (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. NN0
97	96	nn0zi 9645	. . . . 5 |- (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. ZZ
98		zltp1le 9678	. . . . 5 |- ( ( 2 e. ZZ /\ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. ZZ ) -> ( 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) <-> ( 2 + 1 ) <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) ) )
99	94, 97, 98	mp2an 430	. . . 4 |- ( 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) <-> ( 2 + 1 ) <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
100	93, 99	sylbb2 138	. . 3 |- ( 3 <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) -> 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
101	91, 100	sylbi 121	. 2 |- ( (♯ ` { 0 , 1 , 3 } ) <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) -> 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
102	4, 83, 101	mp2b 8	1 |- 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 105  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   {cpr 3706   {ctp 3707   <.cop 3708   class class class wbr 4125   dom cdm 4769   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   Fincfn 7012   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   < clt 8350   <_ cle 8351   NNcn 9283   2c2 9334   3c3 9335   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   ...cfz 10390  ..^cfzo 10527  ♯chash 11192  Word cword 11282   <"cs7 11504   || cdvds 12532  Vtxcvtx 16167  iEdgciedg 16168  UPGraphcupgr 16246  UMGraphcumgr 16247  VtxDegcvtxdg 16441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-tp 3713  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-2o 6678  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-dec 9757  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-xadd 10154  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-fl 10683  df-mod 10738  df-ihash 11193  df-word 11283  df-concat 11337  df-s1 11362  df-s2 11506  df-s3 11507  df-s4 11508  df-s5 11509  df-s6 11510  df-s7 11511  df-dvds 12533  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-edgf 16160  df-vtx 16169  df-iedg 16170  df-upgren 16248  df-umgren 16249  df-vtxdg 16442

This theorem is referenced by:  konigsberg  16648