Theorem konigsberglem5 16938

Description: Lemma 5 for konigsberg 16939: The set of vertices of odd degree is greater than 2. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
konigsberg.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
konigsberglem5	|- 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } )

Distinct variable groups:   x, V   x, G

Allowed substitution hint:   E( x)

Proof of Theorem konigsberglem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		konigsberg.v	. . 3 |- V = ( 0 ... 3 )
2		konigsberg.e	. . 3 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
3		konigsberg.g	. . 3 |- G = <. V , E >.
4	1, 2, 3	konigsberglem4 16937	. 2 |- { 0 , 1 , 3 } C_ { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) }
5		0z 9666	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
6		3z 9684	. . . . . . . 8 |- 3 e. ZZ
7		fzfig 10888	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 0 ... 3 ) e. Fin )
8	5, 6, 7	mp2an 430	. . . . . . 7 |- ( 0 ... 3 ) e. Fin
9	1, 8	eqeltri 2311	. . . . . 6 |- V e. Fin
10	9	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> V e. Fin )
11		2nn 9477	. . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
12	1, 2, 3	konigsbergvtx 16928	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Vtx ` G ) = ( 0 ... 3 )
13	12	eqcomi 2242	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` G )
14	3	fveq2i 5701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` <. V , E >. )
15	9	elexi 2834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- V e. _V
16		0nn0 9589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 0 e. NN0
17		1nn0 9590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1 e. NN0
18		prexg 4351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } e. _V )
19	16, 17, 18	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { 0 , 1 } e. _V
20	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( T. -> { 0 , 1 } e. _V )
21		2nn0 9591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 e. NN0
22		prexg 4351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) -> { 0 , 2 } e. _V )
23	16, 21, 22	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { 0 , 2 } e. _V
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( T. -> { 0 , 2 } e. _V )
25		3nn0 9592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 3 e. NN0
26		prexg 4351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 3 e. NN0 ) -> { 0 , 3 } e. _V )
27	16, 25, 26	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { 0 , 3 } e. _V
28	27	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( T. -> { 0 , 3 } e. _V )
29		prexg 4351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 1 e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) -> { 1 , 2 } e. _V )
30	17, 21, 29	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { 1 , 2 } e. _V
31	30	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( T. -> { 1 , 2 } e. _V )
32		prexg 4351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 2 e. NN0 /\ 3 e. NN0 ) -> { 2 , 3 } e. _V )
33	21, 25, 32	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { 2 , 3 } e. _V
34	33	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( T. -> { 2 , 3 } e. _V )
35	20, 24, 28, 31, 31, 34, 34	s7cld 11577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
36	35	mptru 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V
37	2, 36	eqeltri 2311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- E e. Word _V
38	37	elexi 2834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- E e. _V
39	15, 38	opiedgfvi 16474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (iEdg ` <. V , E >. ) = E
40	14, 39	eqtr2i 2260	. . . . . . . . . . . . . 14 |- E = (iEdg ` G )
41		wrddm 11334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E e. Word _V -> dom E = ( 0..^ (♯ ` E ) ) )
42	37, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- dom E = ( 0..^ (♯ ` E ) )
43	42	eqcomi 2242	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0..^ (♯ ` E ) ) = dom E
44		lencl 11330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( E e. Word _V -> (♯ ` E ) e. NN0 )
45	37, 44	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (♯ ` E ) e. NN0
46	45	nn0zi 9677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (♯ ` E ) e. ZZ
47		fzofig 10890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. ZZ /\ (♯ ` E ) e. ZZ ) -> ( 0..^ (♯ ` E ) ) e. Fin )
48	5, 46, 47	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0..^ (♯ ` E ) ) e. Fin
49	48	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T. -> ( 0..^ (♯ ` E ) ) e. Fin )
50	8	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T. -> ( 0 ... 3 ) e. Fin )
51	1, 2, 3	konigsbergumgr 16933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- G e. UMGraph
52		umgrupgr 16558	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. UMGraph -> G e. UPGraph )
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- G e. UPGraph
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T. -> G e. UPGraph )
55	13, 40, 43, 49, 50, 54	vtxdgfif 16739	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> (VtxDeg ` G ) : ( 0 ... 3 ) --> NN0 )
56	55	mptru 1411	. . . . . . . . . . . 12 |- (VtxDeg ` G ) : ( 0 ... 3 ) --> NN0
57	56	ffvelcdmi 5845	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 ... 3 ) -> ( (VtxDeg ` G ) ` x ) e. NN0 )
58	57, 1	eleq2s 2333	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. V -> ( (VtxDeg ` G ) ` x ) e. NN0 )
59	58	nn0zd 9777	. . . . . . . . 9 |- ( x e. V -> ( (VtxDeg ` G ) ` x ) e. ZZ )
60		dvdsdc 12590	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. NN /\ ( (VtxDeg ` G ) ` x ) e. ZZ ) -> DECID 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) )
61	11, 59, 60	sylancr 418	. . . . . . . 8 |- ( x e. V -> DECID 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) )
62		dcn 854	. . . . . . . 8 |- (DECID 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) -> DECID -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) )
63	61, 62	syl 14	. . . . . . 7 |- ( x e. V -> DECID -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) )
64	63	rgen 2603	. . . . . 6 |- A. x e. V DECID -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x )
65	64	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> A. x e. V DECID -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) )
66	10, 65	ssfirab 7248	. . . 4 |- ( T. -> { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } e. Fin )
67	66	mptru 1411	. . 3 |- { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } e. Fin
68	16	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> 0 e. NN0 )
69	17	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> 1 e. NN0 )
70	25	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> 3 e. NN0 )
71		0ne1 9380	. . . . . 6 |- 0 =/= 1
72	71	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> 0 =/= 1 )
73		3ne0 9408	. . . . . . 7 |- 3 =/= 0
74	73	necomi 2505	. . . . . 6 |- 0 =/= 3
75	74	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> 0 =/= 3 )
76		1re 8331	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
77		1lt3 9487	. . . . . . 7 |- 1 < 3
78	76, 77	ltneii 8429	. . . . . 6 |- 1 =/= 3
79	78	a1i 9	. . . . 5 |- ( T. -> 1 =/= 3 )
80	68, 69, 70, 72, 75, 79	tpfidisj 7240	. . . 4 |- ( T. -> { 0 , 1 , 3 } e. Fin )
81	80	mptru 1411	. . 3 |- { 0 , 1 , 3 } e. Fin
82		fihashss 11279	. . 3 |- ( ( { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } e. Fin /\ { 0 , 1 , 3 } e. Fin /\ { 0 , 1 , 3 } C_ { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) -> (♯ ` { 0 , 1 , 3 } ) <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
83	67, 81, 82	mp3an12 1368	. 2 |- ( { 0 , 1 , 3 } C_ { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } -> (♯ ` { 0 , 1 , 3 } ) <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
84	71, 78, 73	3pm3.2i 1206	. . . . 5 |- ( 0 =/= 1 /\ 1 =/= 3 /\ 3 =/= 0 )
85		c0ex 8326	. . . . . 6 |- 0 e. _V
86		1ex 8327	. . . . . 6 |- 1 e. _V
87		3ex 9389	. . . . . 6 |- 3 e. _V
88		hashtpg 11321	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. _V /\ 1 e. _V /\ 3 e. _V ) -> ( ( 0 =/= 1 /\ 1 =/= 3 /\ 3 =/= 0 ) <-> (♯ ` { 0 , 1 , 3 } ) = 3 ) )
89	85, 86, 87, 88	mp3an 1378	. . . . 5 |- ( ( 0 =/= 1 /\ 1 =/= 3 /\ 3 =/= 0 ) <-> (♯ ` { 0 , 1 , 3 } ) = 3 )
90	84, 89	mpbi 145	. . . 4 |- (♯ ` { 0 , 1 , 3 } ) = 3
91	90	breq1i 4138	. . 3 |- ( (♯ ` { 0 , 1 , 3 } ) <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) <-> 3 <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
92		df-3 9373	. . . . 5 |- 3 = ( 2 + 1 )
93	92	breq1i 4138	. . . 4 |- ( 3 <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) <-> ( 2 + 1 ) <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
94		2z 9683	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
95		hashcl 11242	. . . . . . 7 |- ( { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } e. Fin -> (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. NN0 )
96	67, 95	ax-mp 5	. . . . . 6 |- (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. NN0
97	96	nn0zi 9677	. . . . 5 |- (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. ZZ
98		zltp1le 9710	. . . . 5 |- ( ( 2 e. ZZ /\ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) e. ZZ ) -> ( 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) <-> ( 2 + 1 ) <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) ) )
99	94, 97, 98	mp2an 430	. . . 4 |- ( 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) <-> ( 2 + 1 ) <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
100	93, 99	sylbb2 138	. . 3 |- ( 3 <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) -> 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
101	91, 100	sylbi 121	. 2 |- ( (♯ ` { 0 , 1 , 3 } ) <_ (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) -> 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } ) )
102	4, 83, 101	mp2b 8	1 |- 2 < (♯ ` { x e. V | -. 2 || ( (VtxDeg ` G ) ` x ) } )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   <-> wb 105  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   {cpr 3710   {ctp 3711   <.cop 3712   class class class wbr 4131   dom cdm 4776   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Fincfn 7026   0cc0 8185   1c1 8186   + caddc 8188   < clt 8366   <_ cle 8367   NNcn 9313   2c2 9364   3c3 9365   NN0cn0 9574   ZZcz 9655   ...cfz 10428  ..^cfzo 10566  ♯chash 11236  Word cword 11326   <"cs7 11548   || cdvds 12579  Vtxcvtx 16458  iEdgciedg 16459  UPGraphcupgr 16537  UMGraphcumgr 16538  VtxDegcvtxdg 16732

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-xadd 10192  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-fl 10722  df-mod 10781  df-ihash 11237  df-word 11327  df-concat 11381  df-s1 11406  df-s2 11550  df-s3 11551  df-s4 11552  df-s5 11553  df-s6 11554  df-s7 11555  df-dvds 12580  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-edgf 16451  df-vtx 16460  df-iedg 16461  df-upgren 16539  df-umgren 16540  df-vtxdg 16733

This theorem is used by:  konigsberg  16939