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Theorem 3dvds 12418

Description: A rule for divisibility by 3 of a number written in base 10. This is Metamath 100 proof #85. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
3dvds	$/\$ ;

Distinct variable groups:

Proof of Theorem 3dvds Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 9501	. . 3
2	1	a1i 9	. 2 $/\$
3		0zd 9484	. . . 4 $/\$
4		nn0z 9492	. . . . 5
5	4	adantr 276	. . . 4 $/\$
6	3, 5	fzfigd 10686	. . 3 $/\$
7		ffvelcdm 5776	. . . . 5 $/\$
8	7	adantll 476	. . . 4 $/\$ $/\$
9		10nn 9619	. . . . . 6 ;
10	9	nnzi 9493	. . . . 5 ;
11		elfznn0 10342	. . . . . 6
12	11	adantl 277	. . . . 5 $/\$ $/\$
13		zexpcl 10809	. . . . 5 ; $/\$ ;
14	10, 12, 13	sylancr 414	. . . 4 $/\$ $/\$ ;
15	8, 14	zmulcld 9601	. . 3 $/\$ $/\$ ;
16	6, 15	fsumzcl 11956	. 2 $/\$ ;
17	6, 8	fsumzcl 11956	. 2 $/\$
18	15, 8	zsubcld 9600	. . . 4 $/\$ $/\$ ;
19		ax-1cn 8118	. . . . . . . . . . . 12
20	9	nncni 9146	. . . . . . . . . . . 12 ;
21	19, 20	negsubdi2i 8458	. . . . . . . . . . 11 ; ;
22		9p1e10 9606	. . . . . . . . . . . . 13 ;
23	22	eqcomi 2233	. . . . . . . . . . . 12 ;
24	23	oveq1i 6023	. . . . . . . . . . 11 ;
25		9cn 9224	. . . . . . . . . . . 12
26	25, 19	pncan3oi 8388	. . . . . . . . . . 11
27	21, 24, 26	3eqtri 2254	. . . . . . . . . 10 ;
28		3t3e9 9294	. . . . . . . . . 10
29	27, 28	eqtr4i 2253	. . . . . . . . 9 ;
30	20	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ;
31		1re 8171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
32		10re 9622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ;
33		1lt10 9742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ;
34	31, 32, 33	gtapii 8807	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ; #
35	34	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ; #
36		id 19	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	30, 35, 36	geoserap 12061	. . . . . . . . . . . . . 14 ; ; ;
38		0zd 9484	. . . . . . . . . . . . . . . 16
39		nn0z 9492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
40		peano2zm 9510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
41	39, 40	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16
42	38, 41	fzfigd 10686	. . . . . . . . . . . . . . 15
43		elfznn0 10342	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
44	43	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
45		zexpcl 10809	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ; $/\$ ;
46	10, 44, 45	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ;
47	42, 46	fsumzcl 11956	. . . . . . . . . . . . . 14 ;
48	37, 47	eqeltrrd 2307	. . . . . . . . . . . . 13 ; ;
49		1z 9498	. . . . . . . . . . . . . . 15
50		zsubcl 9513	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ; ;
51	49, 10, 50	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 ;
52	31, 33	ltneii 8269	. . . . . . . . . . . . . . 15 ;
53	19, 20	subeq0i 8452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ; ;
54	53	necon3bii 2438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ; ;
55	52, 54	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . 14 ;
56	10, 36, 13	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . 15 ;
57		zsubcl 9513	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ; ;
58	49, 56, 57	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . 14 ;
59		dvdsval2 12344	. . . . . . . . . . . . . 14 ; $/\$ ; $/\$ ; ; ; ; ;
60	51, 55, 58, 59	mp3an12i 1375	. . . . . . . . . . . . 13 ; ; ; ;
61	48, 60	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 ; ;
62	56	zcnd 9596	. . . . . . . . . . . . 13 ;
63		negsubdi2 8431	. . . . . . . . . . . . 13 ; $/\$ ; ;
64	62, 19, 63	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 ; ;
65	61, 64	breqtrrd 4114	. . . . . . . . . . 11 ; ;
66		peano2zm 9510	. . . . . . . . . . . . 13 ; ;
67	56, 66	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ;
68		dvdsnegb 12362	. . . . . . . . . . . 12 ; $/\$ ; ; ; ; ;
69	51, 67, 68	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 ; ; ; ;
70	65, 69	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ; ;
71		negdvdsb 12361	. . . . . . . . . . 11 ; $/\$ ; ; ; ; ;
72	51, 67, 71	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ; ; ; ;
73	70, 72	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ; ;
74	29, 73	eqbrtrrid 4122	. . . . . . . 8 ;
75		muldvds1 12370	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ ; ; ;
76	1, 1, 67, 75	mp3an12i 1375	. . . . . . . 8 ; ;
77	74, 76	mpd 13	. . . . . . 7 ;
78	12, 77	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ ;
79	14, 66	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ ;
80		dvdsmultr2 12387	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ ; ; ;
81	1, 8, 79, 80	mp3an2i 1376	. . . . . 6 $/\$ $/\$ ; ;
82	78, 81	mpd 13	. . . . 5 $/\$ $/\$ ;
83	8	zcnd 9596	. . . . . 6 $/\$ $/\$
84	14	zcnd 9596	. . . . . 6 $/\$ $/\$ ;
85	83, 84	muls1d 8590	. . . . 5 $/\$ $/\$ ; ;
86	82, 85	breqtrd 4112	. . . 4 $/\$ $/\$ ;
87	6, 2, 18, 86	fsumdvds 12396	. . 3 $/\$ ;
88	15	zcnd 9596	. . . 4 $/\$ $/\$ ;
89	6, 88, 83	fsumsub 12006	. . 3 $/\$ ; ;
90	87, 89	breqtrd 4112	. 2 $/\$ ;
91		dvdssub2 12389	. 2 $/\$ ; $/\$ $/\$ ; ;
92	2, 16, 17, 90, 91	syl31anc 1274	1 $/\$ ;

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1395

wcel 2200

wne 2400 class class class wbr 4086

wf 5320

cfv 5324 (class class class)co 6013

cc 8023

cc0 8025

c1 8026

caddc 8028

cmul 8030

cmin 8343

cneg 8344 # cap 8754

cdiv 8845

c3 9188

c9 9194

cn0 9395

cz 9472 ;cdc 9604

cfz 10236

cexp 10793

csu 11907

cdvds 12341

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4202 ax-sep 4205 ax-nul 4213 ax-pow 4262 ax-pr 4297 ax-un 4528 ax-setind 4633 ax-iinf 4684 ax-cnex 8116 ax-resscn 8117 ax-1cn 8118 ax-1re 8119 ax-icn 8120 ax-addcl 8121 ax-addrcl 8122 ax-mulcl 8123 ax-mulrcl 8124 ax-addcom 8125 ax-mulcom 8126 ax-addass 8127 ax-mulass 8128 ax-distr 8129 ax-i2m1 8130 ax-0lt1 8131 ax-1rid 8132 ax-0id 8133 ax-rnegex 8134 ax-precex 8135 ax-cnre 8136 ax-pre-ltirr 8137 ax-pre-ltwlin 8138 ax-pre-lttrn 8139 ax-pre-apti 8140 ax-pre-ltadd 8141 ax-pre-mulgt0 8142 ax-pre-mulext 8143 ax-arch 8144 ax-caucvg 8145

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2802 df-sbc 3030 df-csb 3126 df-dif 3200 df-un 3202 df-in 3204 df-ss 3211 df-nul 3493 df-if 3604 df-pw 3652 df-sn 3673 df-pr 3674 df-op 3676 df-uni 3892 df-int 3927 df-iun 3970 df-br 4087 df-opab 4149 df-mpt 4150 df-tr 4186 df-id 4388 df-po 4391 df-iso 4392 df-iord 4461 df-on 4463 df-ilim 4464 df-suc 4466 df-iom 4687 df-xp 4729 df-rel 4730 df-cnv 4731 df-co 4732 df-dm 4733 df-rn 4734 df-res 4735 df-ima 4736 df-iota 5284 df-fun 5326 df-fn 5327 df-f 5328 df-f1 5329 df-fo 5330 df-f1o 5331 df-fv 5332 df-isom 5333 df-riota 5966 df-ov 6016 df-oprab 6017 df-mpo 6018 df-1st 6298 df-2nd 6299 df-recs 6466 df-irdg 6531 df-frec 6552 df-1o 6577 df-oadd 6581 df-er 6697 df-en 6905 df-dom 6906 df-fin 6907 df-pnf 8209 df-mnf 8210 df-xr 8211 df-ltxr 8212 df-le 8213 df-sub 8345 df-neg 8346 df-reap 8748 df-ap 8755 df-div 8846 df-inn 9137 df-2 9195 df-3 9196 df-4 9197 df-5 9198 df-6 9199 df-7 9200 df-8 9201 df-9 9202 df-n0 9396 df-z 9473 df-dec 9605 df-uz 9749 df-q 9847 df-rp 9882 df-fz 10237 df-fzo 10371 df-seqfrec 10703 df-exp 10794 df-ihash 11031 df-cj 11396 df-re 11397 df-im 11398 df-rsqrt 11552 df-abs 11553 df-clim 11833 df-sumdc 11908 df-dvds 12342

This theorem is referenced by: (None)

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