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Theorem 3dvds 12383

Description: A rule for divisibility by 3 of a number written in base 10. This is Metamath 100 proof #85. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)

**Assertion**
Ref	Expression
3dvds	$/\$ ;

Distinct variable groups:

Proof of Theorem 3dvds Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3z 9483	. . 3
2	1	a1i 9	. 2 $/\$
3		0zd 9466	. . . 4 $/\$
4		nn0z 9474	. . . . 5
5	4	adantr 276	. . . 4 $/\$
6	3, 5	fzfigd 10661	. . 3 $/\$
7		ffvelcdm 5770	. . . . 5 $/\$
8	7	adantll 476	. . . 4 $/\$ $/\$
9		10nn 9601	. . . . . 6 ;
10	9	nnzi 9475	. . . . 5 ;
11		elfznn0 10318	. . . . . 6
12	11	adantl 277	. . . . 5 $/\$ $/\$
13		zexpcl 10784	. . . . 5 ; $/\$ ;
14	10, 12, 13	sylancr 414	. . . 4 $/\$ $/\$ ;
15	8, 14	zmulcld 9583	. . 3 $/\$ $/\$ ;
16	6, 15	fsumzcl 11921	. 2 $/\$ ;
17	6, 8	fsumzcl 11921	. 2 $/\$
18	15, 8	zsubcld 9582	. . . 4 $/\$ $/\$ ;
19		ax-1cn 8100	. . . . . . . . . . . 12
20	9	nncni 9128	. . . . . . . . . . . 12 ;
21	19, 20	negsubdi2i 8440	. . . . . . . . . . 11 ; ;
22		9p1e10 9588	. . . . . . . . . . . . 13 ;
23	22	eqcomi 2233	. . . . . . . . . . . 12 ;
24	23	oveq1i 6017	. . . . . . . . . . 11 ;
25		9cn 9206	. . . . . . . . . . . 12
26	25, 19	pncan3oi 8370	. . . . . . . . . . 11
27	21, 24, 26	3eqtri 2254	. . . . . . . . . 10 ;
28		3t3e9 9276	. . . . . . . . . 10
29	27, 28	eqtr4i 2253	. . . . . . . . 9 ;
30	20	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ;
31		1re 8153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
32		10re 9604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ;
33		1lt10 9724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ;
34	31, 32, 33	gtapii 8789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ; #
35	34	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ; #
36		id 19	. . . . . . . . . . . . . . 15
37	30, 35, 36	geoserap 12026	. . . . . . . . . . . . . 14 ; ; ;
38		0zd 9466	. . . . . . . . . . . . . . . 16
39		nn0z 9474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
40		peano2zm 9492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
41	39, 40	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16
42	38, 41	fzfigd 10661	. . . . . . . . . . . . . . 15
43		elfznn0 10318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
44	43	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
45		zexpcl 10784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ; $/\$ ;
46	10, 44, 45	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ;
47	42, 46	fsumzcl 11921	. . . . . . . . . . . . . 14 ;
48	37, 47	eqeltrrd 2307	. . . . . . . . . . . . 13 ; ;
49		1z 9480	. . . . . . . . . . . . . . 15
50		zsubcl 9495	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ; ;
51	49, 10, 50	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . 14 ;
52	31, 33	ltneii 8251	. . . . . . . . . . . . . . 15 ;
53	19, 20	subeq0i 8434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ; ;
54	53	necon3bii 2438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ; ;
55	52, 54	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . 14 ;
56	10, 36, 13	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . 15 ;
57		zsubcl 9495	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ ; ;
58	49, 56, 57	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . 14 ;
59		dvdsval2 12309	. . . . . . . . . . . . . 14 ; $/\$ ; $/\$ ; ; ; ; ;
60	51, 55, 58, 59	mp3an12i 1375	. . . . . . . . . . . . 13 ; ; ; ;
61	48, 60	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 ; ;
62	56	zcnd 9578	. . . . . . . . . . . . 13 ;
63		negsubdi2 8413	. . . . . . . . . . . . 13 ; $/\$ ; ;
64	62, 19, 63	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 ; ;
65	61, 64	breqtrrd 4111	. . . . . . . . . . 11 ; ;
66		peano2zm 9492	. . . . . . . . . . . . 13 ; ;
67	56, 66	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ;
68		dvdsnegb 12327	. . . . . . . . . . . 12 ; $/\$ ; ; ; ; ;
69	51, 67, 68	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 ; ; ; ;
70	65, 69	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 ; ;
71		negdvdsb 12326	. . . . . . . . . . 11 ; $/\$ ; ; ; ; ;
72	51, 67, 71	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ; ; ; ;
73	70, 72	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ; ;
74	29, 73	eqbrtrrid 4119	. . . . . . . 8 ;
75		muldvds1 12335	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ ; ; ;
76	1, 1, 67, 75	mp3an12i 1375	. . . . . . . 8 ; ;
77	74, 76	mpd 13	. . . . . . 7 ;
78	12, 77	syl 14	. . . . . 6 $/\$ $/\$ ;
79	14, 66	syl 14	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ ;
80		dvdsmultr2 12352	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ ; ; ;
81	1, 8, 79, 80	mp3an2i 1376	. . . . . 6 $/\$ $/\$ ; ;
82	78, 81	mpd 13	. . . . 5 $/\$ $/\$ ;
83	8	zcnd 9578	. . . . . 6 $/\$ $/\$
84	14	zcnd 9578	. . . . . 6 $/\$ $/\$ ;
85	83, 84	muls1d 8572	. . . . 5 $/\$ $/\$ ; ;
86	82, 85	breqtrd 4109	. . . 4 $/\$ $/\$ ;
87	6, 2, 18, 86	fsumdvds 12361	. . 3 $/\$ ;
88	15	zcnd 9578	. . . 4 $/\$ $/\$ ;
89	6, 88, 83	fsumsub 11971	. . 3 $/\$ ; ;
90	87, 89	breqtrd 4109	. 2 $/\$ ;
91		dvdssub2 12354	. 2 $/\$ ; $/\$ $/\$ ; ;
92	2, 16, 17, 90, 91	syl31anc 1274	1 $/\$ ;

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105

wceq 1395

wcel 2200

wne 2400 class class class wbr 4083

wf 5314

cfv 5318 (class class class)co 6007

cc 8005

cc0 8007

c1 8008

caddc 8010

cmul 8012

cmin 8325

cneg 8326 # cap 8736

cdiv 8827

c3 9170

c9 9176

cn0 9377

cz 9454 ;cdc 9586

cfz 10212

cexp 10768

csu 11872

cdvds 12306

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-iinf 4680 ax-cnex 8098 ax-resscn 8099 ax-1cn 8100 ax-1re 8101 ax-icn 8102 ax-addcl 8103 ax-addrcl 8104 ax-mulcl 8105 ax-mulrcl 8106 ax-addcom 8107 ax-mulcom 8108 ax-addass 8109 ax-mulass 8110 ax-distr 8111 ax-i2m1 8112 ax-0lt1 8113 ax-1rid 8114 ax-0id 8115 ax-rnegex 8116 ax-precex 8117 ax-cnre 8118 ax-pre-ltirr 8119 ax-pre-ltwlin 8120 ax-pre-lttrn 8121 ax-pre-apti 8122 ax-pre-ltadd 8123 ax-pre-mulgt0 8124 ax-pre-mulext 8125 ax-arch 8126 ax-caucvg 8127

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4384 df-po 4387 df-iso 4388 df-iord 4457 df-on 4459 df-ilim 4460 df-suc 4462 df-iom 4683 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731 df-ima 4732 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fn 5321 df-f 5322 df-f1 5323 df-fo 5324 df-f1o 5325 df-fv 5326 df-isom 5327 df-riota 5960 df-ov 6010 df-oprab 6011 df-mpo 6012 df-1st 6292 df-2nd 6293 df-recs 6457 df-irdg 6522 df-frec 6543 df-1o 6568 df-oadd 6572 df-er 6688 df-en 6896 df-dom 6897 df-fin 6898 df-pnf 8191 df-mnf 8192 df-xr 8193 df-ltxr 8194 df-le 8195 df-sub 8327 df-neg 8328 df-reap 8730 df-ap 8737 df-div 8828 df-inn 9119 df-2 9177 df-3 9178 df-4 9179 df-5 9180 df-6 9181 df-7 9182 df-8 9183 df-9 9184 df-n0 9378 df-z 9455 df-dec 9587 df-uz 9731 df-q 9823 df-rp 9858 df-fz 10213 df-fzo 10347 df-seqfrec 10678 df-exp 10769 df-ihash 11006 df-cj 11361 df-re 11362 df-im 11363 df-rsqrt 11517 df-abs 11518 df-clim 11798 df-sumdc 11873 df-dvds 12307

This theorem is referenced by: (None)

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