Theorem plusgndxnmulrndx 13320

Description: The slot for the group (addition) operation is not the slot for the ring (multiplication) operation in an extensible structure. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
plusgndxnmulrndx	|- ( +g ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )

Proof of Theorem plusgndxnmulrndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plusgndx 13296	. 2 |- ( +g ` ndx ) = 2
2		2re 9295	. . . 4 |- 2 e. RR
3		2lt3 9396	. . . 4 |- 2 < 3
4	2, 3	ltneii 8358	. . 3 |- 2 =/= 3
5		mulrndx 13317	. . 3 |- ( .r ` ndx ) = 3
6	4, 5	neeqtrri 2441	. 2 |- 2 =/= ( .r ` ndx )
7	1, 6	eqnetri 2435	1 |- ( +g ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )

Syntax hints:   =/= wne 2412   ` cfv 5343   2c2 9276   3c3 9277   ndxcnx 13183   +g cplusg 13264   .rcmulr 13265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4221  ax-pow 4279  ax-pr 4314  ax-un 4545  ax-setind 4650  ax-cnex 8206  ax-resscn 8207  ax-1cn 8208  ax-1re 8209  ax-icn 8210  ax-addcl 8211  ax-addrcl 8212  ax-mulcl 8213  ax-addcom 8215  ax-addass 8217  ax-i2m1 8220  ax-0lt1 8221  ax-0id 8223  ax-rnegex 8224  ax-pre-ltirr 8227  ax-pre-ltadd 8231

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-op 3691  df-uni 3908  df-int 3943  df-br 4103  df-opab 4165  df-mpt 4166  df-id 4405  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-rn 4751  df-res 4752  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fv 5351  df-ov 6044  df-pnf 8298  df-mnf 8299  df-ltxr 8301  df-inn 9226  df-2 9284  df-3 9285  df-ndx 13189  df-slot 13190  df-plusg 13277  df-mulr 13278

This theorem is referenced by:  imasplusg  13495  imasmulr  13496  oppraddg  14194