Theorem plusgndxnmulrndx 11909

Description: The slot for the group (addition) operation is not the slot for the ring (multiplication) operation in an extensible structure. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
plusgndxnmulrndx	|- ( +g ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )

Proof of Theorem plusgndxnmulrndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plusgndx 11889	. 2 |- ( +g ` ndx ) = 2
2		2re 8694	. . . 4 |- 2 e. RR
3		2lt3 8788	. . . 4 |- 2 < 3
4	2, 3	ltneii 7777	. . 3 |- 2 =/= 3
5		mulrndx 11906	. . 3 |- ( .r ` ndx ) = 3
6	4, 5	neeqtrri 2309	. 2 |- 2 =/= ( .r ` ndx )
7	1, 6	eqnetri 2303	1 |- ( +g ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )

Syntax hints:   =/= wne 2280   ` cfv 5079   2c2 8675   3c3 8676   ndxcnx 11793   +g cplusg 11858   .rcmulr 11859

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-addcom 7639  ax-addass 7641  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltadd 7655

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fv 5087  df-ov 5729  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-ltxr 7723  df-inn 8625  df-2 8683  df-3 8684  df-ndx 11799  df-slot 11800  df-plusg 11871  df-mulr 11872

This theorem is referenced by: (None)