Theorem plendxnocndx 13358

Description: The slot for the orthocomplementation is not the slot for the order in an extensible structure. (Contributed by AV, 11-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
plendxnocndx	|- ( le ` ndx ) =/= ( oc ` ndx )

Proof of Theorem plendxnocndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10re 9672	. . 3 |- ; 1 0 e. RR
2		1nn0 9461	. . . 4 |- 1 e. NN0
3		0nn0 9460	. . . 4 |- 0 e. NN0
4		1nn 9197	. . . 4 |- 1 e. NN
5		0lt1 8349	. . . 4 |- 0 < 1
6	2, 3, 4, 5	declt 9681	. . 3 |- ; 1 0 < ; 1 1
7	1, 6	ltneii 8319	. 2 |- ; 1 0 =/= ; 1 1
8		plendx 13344	. . 3 |- ( le ` ndx ) = ; 1 0
9		ocndx 13355	. . 3 |- ( oc ` ndx ) = ; 1 1
10	8, 9	neeq12i 2420	. 2 |- ( ( le ` ndx ) =/= ( oc ` ndx ) <-> ; 1 0 =/= ; 1 1 )
11	7, 10	mpbir 146	1 |- ( le ` ndx ) =/= ( oc ` ndx )

Syntax hints:   =/= wne 2403   ` cfv 5333   0cc0 8075   1c1 8076  ;cdc 9654   ndxcnx 13140   lecple 13228   occoc 13229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-ltxr 8262  df-sub 8395  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-9 9252  df-n0 9446  df-dec 9655  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-ple 13241  df-ocomp 13242

This theorem is referenced by: (None)