Theorem plendxnocndx 13625

Description: The slot for the orthocomplementation is not the slot for the order in an extensible structure. (Contributed by AV, 11-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
plendxnocndx	|- ( le ` ndx ) =/= ( oc ` ndx )

Proof of Theorem plendxnocndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		10re 9808	. . 3 |- ; 1 0 e. RR
2		1nn0 9589	. . . 4 |- 1 e. NN0
3		0nn0 9588	. . . 4 |- 0 e. NN0
4		1nn 9323	. . . 4 |- 1 e. NN
5		0lt1 8459	. . . 4 |- 0 < 1
6	2, 3, 4, 5	declt 9818	. . 3 |- ; 1 0 < ; 1 1
7	1, 6	ltneii 8428	. 2 |- ; 1 0 =/= ; 1 1
8		plendx 13611	. . 3 |- ( le ` ndx ) = ; 1 0
9		ocndx 13622	. . 3 |- ( oc ` ndx ) = ; 1 1
10	8, 9	neeq12i 2437	. 2 |- ( ( le ` ndx ) =/= ( oc ` ndx ) <-> ; 1 0 =/= ; 1 1 )
11	7, 10	mpbir 146	1 |- ( le ` ndx ) =/= ( oc ` ndx )

This proof depends on syntax axioms:   =/= wne 2420   ` cfv 5380   0cc0 8184   1c1 8185  ;cdc 9786   ndxcnx 13405   lecple 13495   occoc 13496

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8275  ax-resscn 8276  ax-1cn 8277  ax-1re 8278  ax-icn 8279  ax-addcl 8280  ax-addrcl 8281  ax-mulcl 8282  ax-addcom 8284  ax-mulcom 8285  ax-addass 8286  ax-mulass 8287  ax-distr 8288  ax-i2m1 8289  ax-0lt1 8290  ax-1rid 8291  ax-0id 8292  ax-rnegex 8293  ax-cnre 8295  ax-pre-ltirr 8296  ax-pre-ltadd 8300

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8367  df-mnf 8368  df-ltxr 8370  df-sub 8505  df-inn 9313  df-2 9371  df-3 9372  df-4 9373  df-5 9374  df-6 9375  df-7 9376  df-8 9377  df-9 9378  df-n0 9574  df-dec 9787  df-ndx 13411  df-slot 13412  df-ple 13508  df-ocomp 13509

This theorem is used by: (None)