Theorem konigsbergiedgwen 16639

Description: The indexed edges of the Königsberg graph G is a word over the pairs of vertices. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
konigsberg.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
konigsbergiedgwen	|- E e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o }

Distinct variable group:   x, V

Allowed substitution hints:   E( x)   G( x)

Proof of Theorem konigsbergiedgwen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 9560	. . . . . . 7 |- 3 e. NN0
2		0elfz 10503	. . . . . . 7 |- ( 3 e. NN0 -> 0 e. ( 0 ... 3 ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 0 e. ( 0 ... 3 )
4		1nn0 9558	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
5		1le3 9495	. . . . . . 7 |- 1 <_ 3
6		elfz2nn0 10497	. . . . . . 7 |- ( 1 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 1 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 1 <_ 3 ) )
7	4, 1, 5, 6	mpbir3an 1210	. . . . . 6 |- 1 e. ( 0 ... 3 )
8		0ne1 9350	. . . . . 6 |- 0 =/= 1
9	3, 7, 8	umgrbien 16265	. . . . 5 |- { 0 , 1 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o }
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> { 0 , 1 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o } )
11		2nn0 9559	. . . . . . 7 |- 2 e. NN0
12		2re 9353	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
13		3re 9357	. . . . . . . 8 |- 3 e. RR
14		2lt3 9454	. . . . . . . 8 |- 2 < 3
15	12, 13, 14	ltleii 8418	. . . . . . 7 |- 2 <_ 3
16		elfz2nn0 10497	. . . . . . 7 |- ( 2 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 2 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 2 <_ 3 ) )
17	11, 1, 15, 16	mpbir3an 1210	. . . . . 6 |- 2 e. ( 0 ... 3 )
18		0ne2 9489	. . . . . 6 |- 0 =/= 2
19	3, 17, 18	umgrbien 16265	. . . . 5 |- { 0 , 2 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o }
20	19	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> { 0 , 2 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o } )
21		nn0fz0 10504	. . . . . . 7 |- ( 3 e. NN0 <-> 3 e. ( 0 ... 3 ) )
22	1, 21	mpbi 145	. . . . . 6 |- 3 e. ( 0 ... 3 )
23		3ne0 9378	. . . . . . 7 |- 3 =/= 0
24	23	necomi 2505	. . . . . 6 |- 0 =/= 3
25	3, 22, 24	umgrbien 16265	. . . . 5 |- { 0 , 3 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o }
26	25	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> { 0 , 3 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o } )
27		1ne2 9490	. . . . . 6 |- 1 =/= 2
28	7, 17, 27	umgrbien 16265	. . . . 5 |- { 1 , 2 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o }
29	28	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> { 1 , 2 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o } )
30	12, 14	ltneii 8412	. . . . . 6 |- 2 =/= 3
31	17, 22, 30	umgrbien 16265	. . . . 5 |- { 2 , 3 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o }
32	31	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> { 2 , 3 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o } )
33	10, 20, 26, 29, 29, 32, 32	s7cld 11533	. . 3 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o } )
34	33	mptru 1411	. 2 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o }
35		konigsberg.e	. 2 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
36		konigsberg.v	. . . . 5 |- V = ( 0 ... 3 )
37	36	pweqi 3689	. . . 4 |- ~P V = ~P ( 0 ... 3 )
38	37	rabeqi 2814	. . 3 |- { x e. ~P V | x ~~ 2o } = { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o }
39	38	wrdeqi 11305	. 2 |- Word { x e. ~P V | x ~~ 2o } = Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o }
40	34, 35, 39	3eltr4i 2320	1 |- E e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o }

Syntax hints:   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   {crab 2532   ~Pcpw 3685   {cpr 3706   <.cop 3708   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   2oc2o 6671   ~~ cen 7010   0cc0 8169   1c1 8170   <_ cle 8351   2c2 9334   3c3 9335   NN0cn0 9542   ...cfz 10390  Word cword 11282   <"cs7 11504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-1o 6677  df-2o 6678  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-ihash 11193  df-word 11283  df-concat 11337  df-s1 11362  df-s2 11506  df-s3 11507  df-s4 11508  df-s5 11509  df-s6 11510  df-s7 11511

This theorem is referenced by:  konigsbergssiedgwpren  16640  konigsbergumgr  16642