Theorem konigsbergiedgwen 16725

Description: The indexed edges of the Königsberg graph G is a word over the pairs of vertices. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
konigsberg.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
konigsbergiedgwen	|- E e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o }

Distinct variable group:   x, V

Allowed substitution hints:   E( x)   G( x)

Proof of Theorem konigsbergiedgwen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 9581	. . . . . . 7 |- 3 e. NN0
2		0elfz 10525	. . . . . . 7 |- ( 3 e. NN0 -> 0 e. ( 0 ... 3 ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 0 e. ( 0 ... 3 )
4		1nn0 9579	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
5		1le3 9516	. . . . . . 7 |- 1 <_ 3
6		elfz2nn0 10519	. . . . . . 7 |- ( 1 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 1 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 1 <_ 3 ) )
7	4, 1, 5, 6	mpbir3an 1210	. . . . . 6 |- 1 e. ( 0 ... 3 )
8		0ne1 9371	. . . . . 6 |- 0 =/= 1
9	3, 7, 8	umgrbien 16351	. . . . 5 |- { 0 , 1 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o }
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> { 0 , 1 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o } )
11		2nn0 9580	. . . . . . 7 |- 2 e. NN0
12		2re 9374	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
13		3re 9378	. . . . . . . 8 |- 3 e. RR
14		2lt3 9475	. . . . . . . 8 |- 2 < 3
15	12, 13, 14	ltleii 8428	. . . . . . 7 |- 2 <_ 3
16		elfz2nn0 10519	. . . . . . 7 |- ( 2 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 2 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 2 <_ 3 ) )
17	11, 1, 15, 16	mpbir3an 1210	. . . . . 6 |- 2 e. ( 0 ... 3 )
18		0ne2 9510	. . . . . 6 |- 0 =/= 2
19	3, 17, 18	umgrbien 16351	. . . . 5 |- { 0 , 2 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o }
20	19	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> { 0 , 2 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o } )
21		nn0fz0 10526	. . . . . . 7 |- ( 3 e. NN0 <-> 3 e. ( 0 ... 3 ) )
22	1, 21	mpbi 145	. . . . . 6 |- 3 e. ( 0 ... 3 )
23		3ne0 9399	. . . . . . 7 |- 3 =/= 0
24	23	necomi 2505	. . . . . 6 |- 0 =/= 3
25	3, 22, 24	umgrbien 16351	. . . . 5 |- { 0 , 3 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o }
26	25	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> { 0 , 3 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o } )
27		1ne2 9511	. . . . . 6 |- 1 =/= 2
28	7, 17, 27	umgrbien 16351	. . . . 5 |- { 1 , 2 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o }
29	28	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> { 1 , 2 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o } )
30	12, 14	ltneii 8422	. . . . . 6 |- 2 =/= 3
31	17, 22, 30	umgrbien 16351	. . . . 5 |- { 2 , 3 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o }
32	31	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> { 2 , 3 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o } )
33	10, 20, 26, 29, 29, 32, 32	s7cld 11555	. . 3 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o } )
34	33	mptru 1411	. 2 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o }
35		konigsberg.e	. 2 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
36		konigsberg.v	. . . . 5 |- V = ( 0 ... 3 )
37	36	pweqi 3692	. . . 4 |- ~P V = ~P ( 0 ... 3 )
38	37	rabeqi 2814	. . 3 |- { x e. ~P V | x ~~ 2o } = { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o }
39	38	wrdeqi 11327	. 2 |- Word { x e. ~P V | x ~~ 2o } = Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o }
40	34, 35, 39	3eltr4i 2320	1 |- E e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o }

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   {crab 2532   ~Pcpw 3688   {cpr 3710   <.cop 3712   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   2oc2o 6681   ~~ cen 7020   0cc0 8179   1c1 8180   <_ cle 8361   2c2 9355   3c3 9356   NN0cn0 9563   ...cfz 10411  Word cword 11304   <"cs7 11526

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-ihash 11215  df-word 11305  df-concat 11359  df-s1 11384  df-s2 11528  df-s3 11529  df-s4 11530  df-s5 11531  df-s6 11532  df-s7 11533

This theorem is used by:  konigsbergssiedgwpren  16726  konigsbergumgr  16728