Theorem konigsbergiedgwen 16354

Description: The indexed edges of the Königsberg graph G is a word over the pairs of vertices. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
konigsberg.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
konigsbergiedgwen	|- E e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o }

Distinct variable group:   x, V

Allowed substitution hints:   E( x)   G( x)

Proof of Theorem konigsbergiedgwen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 9420	. . . . . . 7 |- 3 e. NN0
2		0elfz 10353	. . . . . . 7 |- ( 3 e. NN0 -> 0 e. ( 0 ... 3 ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 |- 0 e. ( 0 ... 3 )
4		1nn0 9418	. . . . . . 7 |- 1 e. NN0
5		1le3 9355	. . . . . . 7 |- 1 <_ 3
6		elfz2nn0 10347	. . . . . . 7 |- ( 1 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 1 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 1 <_ 3 ) )
7	4, 1, 5, 6	mpbir3an 1205	. . . . . 6 |- 1 e. ( 0 ... 3 )
8		0ne1 9210	. . . . . 6 |- 0 =/= 1
9	3, 7, 8	umgrbien 15980	. . . . 5 |- { 0 , 1 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o }
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> { 0 , 1 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o } )
11		2nn0 9419	. . . . . . 7 |- 2 e. NN0
12		2re 9213	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
13		3re 9217	. . . . . . . 8 |- 3 e. RR
14		2lt3 9314	. . . . . . . 8 |- 2 < 3
15	12, 13, 14	ltleii 8282	. . . . . . 7 |- 2 <_ 3
16		elfz2nn0 10347	. . . . . . 7 |- ( 2 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 2 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 2 <_ 3 ) )
17	11, 1, 15, 16	mpbir3an 1205	. . . . . 6 |- 2 e. ( 0 ... 3 )
18		0ne2 9349	. . . . . 6 |- 0 =/= 2
19	3, 17, 18	umgrbien 15980	. . . . 5 |- { 0 , 2 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o }
20	19	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> { 0 , 2 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o } )
21		nn0fz0 10354	. . . . . . 7 |- ( 3 e. NN0 <-> 3 e. ( 0 ... 3 ) )
22	1, 21	mpbi 145	. . . . . 6 |- 3 e. ( 0 ... 3 )
23		3ne0 9238	. . . . . . 7 |- 3 =/= 0
24	23	necomi 2487	. . . . . 6 |- 0 =/= 3
25	3, 22, 24	umgrbien 15980	. . . . 5 |- { 0 , 3 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o }
26	25	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> { 0 , 3 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o } )
27		1ne2 9350	. . . . . 6 |- 1 =/= 2
28	7, 17, 27	umgrbien 15980	. . . . 5 |- { 1 , 2 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o }
29	28	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> { 1 , 2 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o } )
30	12, 14	ltneii 8276	. . . . . 6 |- 2 =/= 3
31	17, 22, 30	umgrbien 15980	. . . . 5 |- { 2 , 3 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o }
32	31	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> { 2 , 3 } e. { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o } )
33	10, 20, 26, 29, 29, 32, 32	s7cld 11368	. . 3 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o } )
34	33	mptru 1406	. 2 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o }
35		konigsberg.e	. 2 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
36		konigsberg.v	. . . . 5 |- V = ( 0 ... 3 )
37	36	pweqi 3656	. . . 4 |- ~P V = ~P ( 0 ... 3 )
38	37	rabeqi 2795	. . 3 |- { x e. ~P V | x ~~ 2o } = { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o }
39	38	wrdeqi 11140	. 2 |- Word { x e. ~P V | x ~~ 2o } = Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | x ~~ 2o }
40	34, 35, 39	3eltr4i 2313	1 |- E e. Word { x e. ~P V | x ~~ 2o }

Syntax hints:   = wceq 1397   T. wtru 1398   e. wcel 2202   {crab 2514   ~Pcpw 3652   {cpr 3670   <.cop 3672   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018   2oc2o 6576   ~~ cen 6907   0cc0 8032   1c1 8033   <_ cle 8215   2c2 9194   3c3 9195   NN0cn0 9402   ...cfz 10243  Word cword 11117   <"cs7 11339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-ihash 11039  df-word 11118  df-concat 11172  df-s1 11197  df-s2 11341  df-s3 11342  df-s4 11343  df-s5 11344  df-s6 11345  df-s7 11346

This theorem is referenced by:  konigsbergssiedgwpren  16355  konigsbergumgr  16357