Theorem konigsberglem3 16414

Description: Lemma 3 for konigsberg 16417: Vertex 3 has degree three. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 4-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
konigsberg.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
konigsberglem3	|- ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) = 3

Proof of Theorem konigsberglem3

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9534	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
2		3z 9552	. . . . . . . 8 |- 3 e. ZZ
3		fzfig 10738	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 0 ... 3 ) e. Fin )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( 0 ... 3 ) e. Fin
5	4	elexi 2816	. . . . . 6 |- ( 0 ... 3 ) e. _V
6		0nn0 9459	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. NN0
7		1nn0 9460	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN0
8		prexg 4307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } e. _V )
9	6, 7, 8	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 |- { 0 , 1 } e. _V
10	9	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> { 0 , 1 } e. _V )
11		2nn0 9461	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN0
12		prexg 4307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) -> { 0 , 2 } e. _V )
13	6, 11, 12	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 |- { 0 , 2 } e. _V
14	13	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> { 0 , 2 } e. _V )
15		3nn0 9462	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. NN0
16		prexg 4307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 3 e. NN0 ) -> { 0 , 3 } e. _V )
17	6, 15, 16	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 |- { 0 , 3 } e. _V
18	17	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> { 0 , 3 } e. _V )
19		prexg 4307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) -> { 1 , 2 } e. _V )
20	7, 11, 19	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 |- { 1 , 2 } e. _V
21	20	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> { 1 , 2 } e. _V )
22		prexg 4307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. NN0 /\ 3 e. NN0 ) -> { 2 , 3 } e. _V )
23	11, 15, 22	mp2an 426	. . . . . . . . . 10 |- { 2 , 3 } e. _V
24	23	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> { 2 , 3 } e. _V )
25	10, 14, 18, 21, 21, 24	s6cld 11412	. . . . . . . 8 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
26	25	mptru 1407	. . . . . . 7 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word _V
27	26	elexi 2816	. . . . . 6 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. _V
28	5, 27	opvtxfvi 15951	. . . . 5 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
29	28	eqcomi 2235	. . . 4 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. )
30		nn0fz0 10399	. . . . . 6 |- ( 3 e. NN0 <-> 3 e. ( 0 ... 3 ) )
31	15, 30	mpbi 145	. . . . 5 |- 3 e. ( 0 ... 3 )
32	31	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> 3 e. ( 0 ... 3 ) )
33	5, 27	opiedgfvi 15952	. . . . 5 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ">
34	33	eqcomi 2235	. . . 4 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. )
35	24	s1cld 11248	. . . . . . 7 |- ( T. -> <" { 2 , 3 } "> e. Word _V )
36	35	mptru 1407	. . . . . 6 |- <" { 2 , 3 } "> e. Word _V
37		df-s7 11391	. . . . . 6 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> )
38		eqid 2231	. . . . . . 7 |- ( 0 ... 3 ) = ( 0 ... 3 )
39		eqid 2231	. . . . . . 7 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
40		eqid 2231	. . . . . . 7 |- <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> >. = <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> >.
41	38, 39, 40	konigsbergssiedgwen 16410	. . . . . 6 |- ( ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
42	26, 36, 37, 41	mp3an 1374	. . . . 5 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) }
43	42	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
44	10, 14, 18, 21, 21	s5cld 11411	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. Word _V )
45	44	mptru 1407	. . . . . . . . 9 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. Word _V
46	45	elexi 2816	. . . . . . . 8 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. _V
47	5, 46	opvtxfvi 15951	. . . . . . 7 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
48	47	eqcomi 2235	. . . . . 6 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. )
49	5, 46	opiedgfvi 15952	. . . . . . 7 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ">
50	49	eqcomi 2235	. . . . . 6 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. )
51	24, 24	s2cld 11408	. . . . . . 7 |- ( T. -> <" { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
52	10, 14, 18, 21, 21, 24, 24	s5s2d 11435	. . . . . . 7 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) )
53	38, 39, 40	konigsbergssiedgwen 16410	. . . . . . 7 |- ( ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. Word _V /\ <" { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
54	44, 51, 52, 53	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
55	10, 14, 18, 21	s4cld 11410	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. Word _V )
56	55	mptru 1407	. . . . . . . . . 10 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. Word _V
57	56	elexi 2816	. . . . . . . . 9 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. _V
58	5, 57	opvtxfvi 15951	. . . . . . . 8 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
59	58	eqcomi 2235	. . . . . . 7 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. )
60	5, 57	opiedgfvi 15952	. . . . . . . 8 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ">
61	60	eqcomi 2235	. . . . . . 7 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. )
62	21, 24, 24	s3cld 11409	. . . . . . . 8 |- ( T. -> <" { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
63	10, 14, 18, 21, 21, 24, 24	s4s3d 11432	. . . . . . . 8 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) )
64	38, 39, 40	konigsbergssiedgwen 16410	. . . . . . . 8 |- ( ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. Word _V /\ <" { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
65	55, 62, 63, 64	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
66	10, 14, 18	s3cld 11409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. Word _V )
67	66	mptru 1407	. . . . . . . . . . 11 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. Word _V
68	67	elexi 2816	. . . . . . . . . 10 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. _V
69	5, 68	opvtxfvi 15951	. . . . . . . . 9 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
70	69	eqcomi 2235	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. )
71	5, 68	opiedgfvi 15952	. . . . . . . . 9 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ">
72	71	eqcomi 2235	. . . . . . . 8 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. )
73	21, 21, 24, 24	s4cld 11410	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> <" { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
74	10, 14, 18, 21, 21, 24, 24	s3s4d 11433	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ++ <" { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) )
75	38, 39, 40	konigsbergssiedgwen 16410	. . . . . . . . 9 |- ( ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ++ <" { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
76	66, 73, 74, 75	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
77	10, 14	s2cld 11408	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> e. Word _V )
78	77	mptru 1407	. . . . . . . . . . . . 13 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> e. Word _V
79	78	elexi 2816	. . . . . . . . . . . 12 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> e. _V
80	5, 79	opvtxfvi 15951	. . . . . . . . . . 11 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
81	80	eqcomi 2235	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. )
82	5, 79	opiedgfvi 15952	. . . . . . . . . . 11 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } ">
83	82	eqcomi 2235	. . . . . . . . . 10 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. )
84	18, 21, 21, 24, 24	s5cld 11411	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> <" { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
85	10, 14, 18, 21, 21, 24, 24	s2s5d 11434	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> ++ <" { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) )
86	38, 39, 40	konigsbergssiedgwen 16410	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> ++ <" { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
87	77, 84, 85, 86	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
88	10	s1cld 11248	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } "> e. Word _V )
89	88	mptru 1407	. . . . . . . . . . . . . 14 |- <" { 0 , 1 } "> e. Word _V
90	89	elexi 2816	. . . . . . . . . . . . 13 |- <" { 0 , 1 } "> e. _V
91	5, 90	opvtxfvi 15951	. . . . . . . . . . . 12 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
92	91	eqcomi 2235	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. )
93	5, 90	opiedgfvi 15952	. . . . . . . . . . . 12 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } ">
94	93	eqcomi 2235	. . . . . . . . . . 11 |- <" { 0 , 1 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. )
95	14, 18, 21, 21, 24, 24	s6cld 11412	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> <" { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
96	10, 14, 18, 21, 21, 24, 24	s1s6d 11428	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } "> ++ <" { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) )
97	38, 39, 40	konigsbergssiedgwen 16410	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( <" { 0 , 1 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } "> ++ <" { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
98	88, 95, 96, 97	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
99		0ex 4221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. _V
100	5, 99	opvtxfvi 15951	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. ) = ( 0 ... 3 )
101	100	eqcomi 2235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. )
102	5, 99	opiedgfvi 15952	. . . . . . . . . . . . 13 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. ) = (/)
103	102	eqcomi 2235	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. )
104		wrd0 11187	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) }
105	104	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> (/) e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
106		eqidd 2232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> (/) = (/) )
107	4	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> ( 0 ... 3 ) e. Fin )
108		upgr0eop 16046	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 ... 3 ) e. Fin -> <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. e. UPGraph )
109	4, 108	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. e. UPGraph
110	109	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. e. UPGraph )
111	101, 103, 32, 106, 107, 110	vtxdgfi0e 16219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. ) ` 3 ) = 0 )
112	91	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) = ( 0 ... 3 ) )
113		0elfz 10398	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 3 e. NN0 -> 0 e. ( 0 ... 3 ) )
114	15, 113	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ( 0 ... 3 )
115	114	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> 0 e. ( 0 ... 3 ) )
116		3ne0 9280	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 =/= 0
117	116	necomi 2488	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 =/= 3
118	117	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> 0 =/= 3 )
119		1le3 9397	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 <_ 3
120		elfz2nn0 10392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 1 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 1 <_ 3 ) )
121	7, 15, 119, 120	mpbir3an 1206	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. ( 0 ... 3 )
122	121	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> 1 e. ( 0 ... 3 ) )
123		1re 8221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. RR
124		1lt3 9357	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 < 3
125	123, 124	ltneii 8318	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 =/= 3
126	125	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> 1 =/= 3 )
127		0ne1 9252	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 =/= 1
128	127	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> 0 =/= 1 )
129		s1cl 11247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { 0 , 1 } e. _V -> <" { 0 , 1 } "> e. Word _V )
130	9, 129	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- <" { 0 , 1 } "> e. Word _V
131		ccatlid 11232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <" { 0 , 1 } "> e. Word _V -> ( (/) ++ <" { 0 , 1 } "> ) = <" { 0 , 1 } "> )
132	130, 131	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (/) ++ <" { 0 , 1 } "> ) = <" { 0 , 1 } ">
133	132	eqcomi 2235	. . . . . . . . . . . . . 14 |- <" { 0 , 1 } "> = ( (/) ++ <" { 0 , 1 } "> )
134	93, 133	eqtri 2252	. . . . . . . . . . . . 13 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) = ( (/) ++ <" { 0 , 1 } "> )
135	134	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) = ( (/) ++ <" { 0 , 1 } "> ) )
136	101, 32, 103, 105, 111, 112, 107, 115, 118, 122, 126, 128, 135	vdegp1aid 16238	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) ` 3 ) = 0 )
137	80	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) = ( 0 ... 3 ) )
138		2re 9255	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR
139		3re 9259	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 e. RR
140		2lt3 9356	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 < 3
141	138, 139, 140	ltleii 8324	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 <_ 3
142		elfz2nn0 10392	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 2 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 2 <_ 3 ) )
143	11, 15, 141, 142	mpbir3an 1206	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ( 0 ... 3 )
144	143	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> 2 e. ( 0 ... 3 ) )
145	138, 140	ltneii 8318	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 =/= 3
146	145	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> 2 =/= 3 )
147		0ne2 9391	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 =/= 2
148	147	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> 0 =/= 2 )
149		df-s2 11386	. . . . . . . . . . . . 13 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> = ( <" { 0 , 1 } "> ++ <" { 0 , 2 } "> )
150	82, 149	eqtri 2252	. . . . . . . . . . . 12 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } "> ++ <" { 0 , 2 } "> )
151	150	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } "> ++ <" { 0 , 2 } "> ) )
152	92, 32, 94, 98, 136, 137, 107, 115, 118, 144, 146, 148, 151	vdegp1aid 16238	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) ` 3 ) = 0 )
153	69	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) = ( 0 ... 3 ) )
154		df-s3 11387	. . . . . . . . . . . 12 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> ++ <" { 0 , 3 } "> )
155	71, 154	eqtri 2252	. . . . . . . . . . 11 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> ++ <" { 0 , 3 } "> )
156	155	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> ++ <" { 0 , 3 } "> ) )
157	81, 32, 83, 87, 152, 153, 107, 115, 118, 156	vdegp1cid 16240	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) ` 3 ) = ( 0 + 1 ) )
158		0p1e1 9299	. . . . . . . . 9 |- ( 0 + 1 ) = 1
159	157, 158	eqtrdi 2280	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) ` 3 ) = 1 )
160	58	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( 0 ... 3 ) )
161		1ne2 9392	. . . . . . . . 9 |- 1 =/= 2
162	161	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> 1 =/= 2 )
163		df-s4 11388	. . . . . . . . . 10 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> )
164	60, 163	eqtri 2252	. . . . . . . . 9 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> )
165	164	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> ) )
166	70, 32, 72, 76, 159, 160, 107, 122, 126, 144, 146, 162, 165	vdegp1aid 16238	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) ` 3 ) = 1 )
167	47	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( 0 ... 3 ) )
168		df-s5 11389	. . . . . . . . 9 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> )
169	49, 168	eqtri 2252	. . . . . . . 8 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> )
170	169	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( T. -> (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> ) )
171	59, 32, 61, 65, 166, 167, 107, 122, 126, 144, 146, 162, 170	vdegp1aid 16238	. . . . . 6 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) ` 3 ) = 1 )
172	28	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) = ( 0 ... 3 ) )
173		df-s6 11390	. . . . . . . 8 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> )
174	33, 173	eqtri 2252	. . . . . . 7 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> )
175	174	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> ) )
176	48, 32, 50, 54, 171, 172, 107, 144, 146, 175	vdegp1cid 16240	. . . . 5 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) ` 3 ) = ( 1 + 1 ) )
177		1p1e2 9302	. . . . 5 |- ( 1 + 1 ) = 2
178	176, 177	eqtrdi 2280	. . . 4 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) ` 3 ) = 2 )
179		konigsberg.v	. . . . . 6 |- V = ( 0 ... 3 )
180		konigsberg.e	. . . . . 6 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
181		konigsberg.g	. . . . . 6 |- G = <. V , E >.
182	179, 180, 181	konigsbergvtx 16406	. . . . 5 |- (Vtx ` G ) = ( 0 ... 3 )
183	182	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> (Vtx ` G ) = ( 0 ... 3 ) )
184	179, 180, 181	konigsbergiedg 16407	. . . . . 6 |- (iEdg ` G ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
185	184, 37	eqtri 2252	. . . . 5 |- (iEdg ` G ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> )
186	185	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> (iEdg ` G ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> ) )
187	29, 32, 34, 43, 178, 183, 107, 144, 146, 186	vdegp1cid 16240	. . 3 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) = ( 2 + 1 ) )
188	187	mptru 1407	. 2 |- ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) = ( 2 + 1 )
189		2p1e3 9319	. 2 |- ( 2 + 1 ) = 3
190	188, 189	eqtri 2252	1 |- ( (VtxDeg ` G ) ` 3 ) = 3

Syntax hints:   \/ wo 716   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 2202   =/= wne 2403   {crab 2515   _Vcvv 2803   (/)c0 3496   ~Pcpw 3656   {cpr 3674   <.cop 3676   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   1oc1o 6618   2oc2o 6619   ~~ cen 6950   Fincfn 6952   0cc0 8075   1c1 8076   + caddc 8078   <_ cle 8257   2c2 9236   3c3 9237   NN0cn0 9444   ZZcz 9523   ...cfz 10288  Word cword 11162   ++ cconcat 11216   <"cs1 11241   <"cs2 11379   <"cs3 11380   <"cs4 11381   <"cs5 11382   <"cs6 11383   <"cs7 11384  Vtxcvtx 15936  iEdgciedg 15937  UPGraphcupgr 16015  VtxDegcvtxdg 16210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-z 9524  df-dec 9656  df-uz 9800  df-xadd 10052  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-ihash 11084  df-word 11163  df-concat 11217  df-s1 11242  df-s2 11386  df-s3 11387  df-s4 11388  df-s5 11389  df-s6 11390  df-s7 11391  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-edgf 15929  df-vtx 15938  df-iedg 15939  df-upgren 16017  df-umgren 16018  df-vtxdg 16211

This theorem is referenced by:  konigsberglem4  16415