Theorem 2lgslem4 15803

Description: Lemma 4 for 2lgs 15804: special case of 2lgs 15804 for P = 2. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem4	|- ( ( 2 /L 2 ) = 1 <-> ( 2 mod 8 ) e. { 1 , 7 } )

Proof of Theorem 2lgslem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgs2 15802	. . 3 |- ( 2 /L 2 ) = 0
2	1	eqeq1i 2237	. 2 |- ( ( 2 /L 2 ) = 1 <-> 0 = 1 )
3		0ne1 9193	. . . 4 |- 0 =/= 1
4	3	neii 2402	. . 3 |- -. 0 = 1
5		1ne2 9333	. . . . 5 |- 1 =/= 2
6	5	nesymi 2446	. . . 4 |- -. 2 = 1
7		2re 9196	. . . . . 6 |- 2 e. RR
8		2lt7 9315	. . . . . 6 |- 2 < 7
9	7, 8	ltneii 8259	. . . . 5 |- 2 =/= 7
10	9	neii 2402	. . . 4 |- -. 2 = 7
11	6, 10	pm3.2ni 818	. . 3 |- -. ( 2 = 1 \/ 2 = 7 )
12	4, 11	2false 706	. 2 |- ( 0 = 1 <-> ( 2 = 1 \/ 2 = 7 ) )
13		2nn 9288	. . . . . 6 |- 2 e. NN
14		nnq 9845	. . . . . 6 |- ( 2 e. NN -> 2 e. QQ )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 |- 2 e. QQ
16		8nn 9294	. . . . . 6 |- 8 e. NN
17		nnq 9845	. . . . . 6 |- ( 8 e. NN -> 8 e. QQ )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . 5 |- 8 e. QQ
19		0le2 9216	. . . . 5 |- 0 <_ 2
20		2lt8 9322	. . . . 5 |- 2 < 8
21		modqid 10588	. . . . 5 |- ( ( ( 2 e. QQ /\ 8 e. QQ ) /\ ( 0 <_ 2 /\ 2 < 8 ) ) -> ( 2 mod 8 ) = 2 )
22	15, 18, 19, 20, 21	mp4an 427	. . . 4 |- ( 2 mod 8 ) = 2
23	22	eleq1i 2295	. . 3 |- ( ( 2 mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> 2 e. { 1 , 7 } )
24		2ex 9198	. . . 4 |- 2 e. _V
25	24	elpr 3687	. . 3 |- ( 2 e. { 1 , 7 } <-> ( 2 = 1 \/ 2 = 7 ) )
26	23, 25	bitr2i 185	. 2 |- ( ( 2 = 1 \/ 2 = 7 ) <-> ( 2 mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
27	2, 12, 26	3bitri 206	1 |- ( ( 2 /L 2 ) = 1 <-> ( 2 mod 8 ) e. { 1 , 7 } )

Syntax hints:   <-> wb 105   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   {cpr 3667   class class class wbr 4083  (class class class)co 6010   0cc0 8015   1c1 8016   < clt 8197   <_ cle 8198   NNcn 9126   2c2 9177   7c7 9182   8c8 9183   QQcq 9831   mod cmo 10561   /Lclgs 15697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-xor 1418  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-isom 5330  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-irdg 6527  df-frec 6548  df-1o 6573  df-2o 6574  df-oadd 6577  df-er 6693  df-en 6901  df-dom 6902  df-fin 6903  df-sup 7167  df-inf 7168  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-fl 10507  df-mod 10562  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-ihash 11015  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531  df-clim 11811  df-proddc 12083  df-dvds 12320  df-gcd 12496  df-prm 12651  df-phi 12754  df-pc 12829  df-lgs 15698

This theorem is referenced by:  2lgs  15804