Theorem 2lgslem4 16234

Description: Lemma 4 for 2lgs 16235: special case of 2lgs 16235 for P = 2. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem4	|- ( ( 2 /L 2 ) = 1 <-> ( 2 mod 8 ) e. { 1 , 7 } )

Proof of Theorem 2lgslem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgs2 16233	. . 3 |- ( 2 /L 2 ) = 0
2	1	eqeq1i 2246	. 2 |- ( ( 2 /L 2 ) = 1 <-> 0 = 1 )
3		0ne1 9372	. . . 4 |- 0 =/= 1
4	3	neii 2422	. . 3 |- -. 0 = 1
5		1ne2 9513	. . . . 5 |- 1 =/= 2
6	5	nesymi 2466	. . . 4 |- -. 2 = 1
7		2re 9375	. . . . . 6 |- 2 e. RR
8		2lt7 9495	. . . . . 6 |- 2 < 7
9	7, 8	ltneii 8422	. . . . 5 |- 2 =/= 7
10	9	neii 2422	. . . 4 |- -. 2 = 7
11	6, 10	pm3.2ni 825	. . 3 |- -. ( 2 = 1 \/ 2 = 7 )
12	4, 11	2false 713	. 2 |- ( 0 = 1 <-> ( 2 = 1 \/ 2 = 7 ) )
13		2nn 9468	. . . . . 6 |- 2 e. NN
14		nnq 10035	. . . . . 6 |- ( 2 e. NN -> 2 e. QQ )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 |- 2 e. QQ
16		8nn 9474	. . . . . 6 |- 8 e. NN
17		nnq 10035	. . . . . 6 |- ( 8 e. NN -> 8 e. QQ )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . 5 |- 8 e. QQ
19		0le2 9395	. . . . 5 |- 0 <_ 2
20		2lt8 9502	. . . . 5 |- 2 < 8
21		modqid 10788	. . . . 5 |- ( ( ( 2 e. QQ /\ 8 e. QQ ) /\ ( 0 <_ 2 /\ 2 < 8 ) ) -> ( 2 mod 8 ) = 2 )
22	15, 18, 19, 20, 21	mp4an 431	. . . 4 |- ( 2 mod 8 ) = 2
23	22	eleq1i 2304	. . 3 |- ( ( 2 mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> 2 e. { 1 , 7 } )
24		2ex 9377	. . . 4 |- 2 e. _V
25	24	elpr 3730	. . 3 |- ( 2 e. { 1 , 7 } <-> ( 2 = 1 \/ 2 = 7 ) )
26	23, 25	bitr2i 185	. 2 |- ( ( 2 = 1 \/ 2 = 7 ) <-> ( 2 mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
27	2, 12, 26	3bitri 206	1 |- ( ( 2 /L 2 ) = 1 <-> ( 2 mod 8 ) e. { 1 , 7 } )

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cpr 3710   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   0cc0 8179   1c1 8180   < clt 8360   <_ cle 8361   NNcn 9305   2c2 9356   7c7 9361   8c8 9362   QQcq 10021   mod cmo 10761   /Lclgs 16128

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-ap 8911  df-div 9004  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-q 10022  df-rp 10057  df-fz 10414  df-fzo 10552  df-fl 10707  df-mod 10762  df-seqfrec 10887  df-exp 10978  df-ihash 11217  df-cj 11609  df-re 11610  df-im 11611  df-rsqrt 11766  df-abs 11767  df-clim 12047  df-proddc 12320  df-dvds 12557  df-gcd 12733  df-prm 12888  df-phi 12991  df-pc 13066  df-lgs 16129

This theorem is used by:  2lgs  16235