Theorem 2lgslem4 15747

Description: Lemma 4 for 2lgs 15748: special case of 2lgs 15748 for P = 2. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem4	|- ( ( 2 /L 2 ) = 1 <-> ( 2 mod 8 ) e. { 1 , 7 } )

Proof of Theorem 2lgslem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgs2 15746	. . 3 |- ( 2 /L 2 ) = 0
2	1	eqeq1i 2217	. 2 |- ( ( 2 /L 2 ) = 1 <-> 0 = 1 )
3		0ne1 9145	. . . 4 |- 0 =/= 1
4	3	neii 2382	. . 3 |- -. 0 = 1
5		1ne2 9285	. . . . 5 |- 1 =/= 2
6	5	nesymi 2426	. . . 4 |- -. 2 = 1
7		2re 9148	. . . . . 6 |- 2 e. RR
8		2lt7 9267	. . . . . 6 |- 2 < 7
9	7, 8	ltneii 8211	. . . . 5 |- 2 =/= 7
10	9	neii 2382	. . . 4 |- -. 2 = 7
11	6, 10	pm3.2ni 817	. . 3 |- -. ( 2 = 1 \/ 2 = 7 )
12	4, 11	2false 705	. 2 |- ( 0 = 1 <-> ( 2 = 1 \/ 2 = 7 ) )
13		2nn 9240	. . . . . 6 |- 2 e. NN
14		nnq 9796	. . . . . 6 |- ( 2 e. NN -> 2 e. QQ )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 |- 2 e. QQ
16		8nn 9246	. . . . . 6 |- 8 e. NN
17		nnq 9796	. . . . . 6 |- ( 8 e. NN -> 8 e. QQ )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . 5 |- 8 e. QQ
19		0le2 9168	. . . . 5 |- 0 <_ 2
20		2lt8 9274	. . . . 5 |- 2 < 8
21		modqid 10538	. . . . 5 |- ( ( ( 2 e. QQ /\ 8 e. QQ ) /\ ( 0 <_ 2 /\ 2 < 8 ) ) -> ( 2 mod 8 ) = 2 )
22	15, 18, 19, 20, 21	mp4an 427	. . . 4 |- ( 2 mod 8 ) = 2
23	22	eleq1i 2275	. . 3 |- ( ( 2 mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> 2 e. { 1 , 7 } )
24		2ex 9150	. . . 4 |- 2 e. _V
25	24	elpr 3667	. . 3 |- ( 2 e. { 1 , 7 } <-> ( 2 = 1 \/ 2 = 7 ) )
26	23, 25	bitr2i 185	. 2 |- ( ( 2 = 1 \/ 2 = 7 ) <-> ( 2 mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
27	2, 12, 26	3bitri 206	1 |- ( ( 2 /L 2 ) = 1 <-> ( 2 mod 8 ) e. { 1 , 7 } )

Syntax hints:   <-> wb 105   \/ wo 712   = wceq 1375   e. wcel 2180   {cpr 3647   class class class wbr 4062  (class class class)co 5974   0cc0 7967   1c1 7968   < clt 8149   <_ cle 8150   NNcn 9078   2c2 9129   7c7 9134   8c8 9135   QQcq 9782   mod cmo 10511   /Lclgs 15641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-mulrcl 8066  ax-addcom 8067  ax-mulcom 8068  ax-addass 8069  ax-mulass 8070  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-1rid 8074  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-precex 8077  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083  ax-pre-mulgt0 8084  ax-pre-mulext 8085  ax-arch 8086  ax-caucvg 8087

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 835  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-xor 1398  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rmo 2496  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-po 4364  df-iso 4365  df-iord 4434  df-on 4436  df-ilim 4437  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-isom 5303  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-irdg 6486  df-frec 6507  df-1o 6532  df-2o 6533  df-oadd 6536  df-er 6650  df-en 6858  df-dom 6859  df-fin 6860  df-sup 7119  df-inf 7120  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-reap 8690  df-ap 8697  df-div 8788  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-q 9783  df-rp 9818  df-fz 10173  df-fzo 10307  df-fl 10457  df-mod 10512  df-seqfrec 10637  df-exp 10728  df-ihash 10965  df-cj 11319  df-re 11320  df-im 11321  df-rsqrt 11475  df-abs 11476  df-clim 11756  df-proddc 12028  df-dvds 12265  df-gcd 12441  df-prm 12596  df-phi 12699  df-pc 12774  df-lgs 15642

This theorem is referenced by:  2lgs  15748