Theorem 2lgslem4 15835

Description: Lemma 4 for 2lgs 15836: special case of 2lgs 15836 for P = 2. (Contributed by AV, 20-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgslem4	|- ( ( 2 /L 2 ) = 1 <-> ( 2 mod 8 ) e. { 1 , 7 } )

Proof of Theorem 2lgslem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgs2 15834	. . 3 |- ( 2 /L 2 ) = 0
2	1	eqeq1i 2239	. 2 |- ( ( 2 /L 2 ) = 1 <-> 0 = 1 )
3		0ne1 9210	. . . 4 |- 0 =/= 1
4	3	neii 2404	. . 3 |- -. 0 = 1
5		1ne2 9350	. . . . 5 |- 1 =/= 2
6	5	nesymi 2448	. . . 4 |- -. 2 = 1
7		2re 9213	. . . . . 6 |- 2 e. RR
8		2lt7 9332	. . . . . 6 |- 2 < 7
9	7, 8	ltneii 8276	. . . . 5 |- 2 =/= 7
10	9	neii 2404	. . . 4 |- -. 2 = 7
11	6, 10	pm3.2ni 820	. . 3 |- -. ( 2 = 1 \/ 2 = 7 )
12	4, 11	2false 708	. 2 |- ( 0 = 1 <-> ( 2 = 1 \/ 2 = 7 ) )
13		2nn 9305	. . . . . 6 |- 2 e. NN
14		nnq 9867	. . . . . 6 |- ( 2 e. NN -> 2 e. QQ )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . 5 |- 2 e. QQ
16		8nn 9311	. . . . . 6 |- 8 e. NN
17		nnq 9867	. . . . . 6 |- ( 8 e. NN -> 8 e. QQ )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . 5 |- 8 e. QQ
19		0le2 9233	. . . . 5 |- 0 <_ 2
20		2lt8 9339	. . . . 5 |- 2 < 8
21		modqid 10612	. . . . 5 |- ( ( ( 2 e. QQ /\ 8 e. QQ ) /\ ( 0 <_ 2 /\ 2 < 8 ) ) -> ( 2 mod 8 ) = 2 )
22	15, 18, 19, 20, 21	mp4an 427	. . . 4 |- ( 2 mod 8 ) = 2
23	22	eleq1i 2297	. . 3 |- ( ( 2 mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> 2 e. { 1 , 7 } )
24		2ex 9215	. . . 4 |- 2 e. _V
25	24	elpr 3690	. . 3 |- ( 2 e. { 1 , 7 } <-> ( 2 = 1 \/ 2 = 7 ) )
26	23, 25	bitr2i 185	. 2 |- ( ( 2 = 1 \/ 2 = 7 ) <-> ( 2 mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
27	2, 12, 26	3bitri 206	1 |- ( ( 2 /L 2 ) = 1 <-> ( 2 mod 8 ) e. { 1 , 7 } )

Syntax hints:   <-> wb 105   \/ wo 715   = wceq 1397   e. wcel 2202   {cpr 3670   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018   0cc0 8032   1c1 8033   < clt 8214   <_ cle 8215   NNcn 9143   2c2 9194   7c7 9199   8c8 9200   QQcq 9853   mod cmo 10585   /Lclgs 15729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-xor 1420  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-oadd 6586  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-fl 10531  df-mod 10586  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-ihash 11039  df-cj 11404  df-re 11405  df-im 11406  df-rsqrt 11560  df-abs 11561  df-clim 11841  df-proddc 12114  df-dvds 12351  df-gcd 12527  df-prm 12682  df-phi 12785  df-pc 12860  df-lgs 15730

This theorem is referenced by:  2lgs  15836