Theorem ltneii 8429

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 8428	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 2505	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   class class class wbr 4131  ℝcr 8184   < clt 8366

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-pre-ltirr 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371

This theorem is used by:  0ne1  9380  1ne2  9522  hashtpglem  11320  3dvds  12656  2strbasg  13533  2stropg  13534  plusgndxnmulrndx  13546  basendxnmulrndx  13547  slotsdifipndx  13588  slotsdifplendx  13623  basendxnocndx  13626  plendxnocndx  13627  slotsdifdsndx  13638  slotsdifunifndx  13645  setsmsbasg  15705  ppiqub  16293  2lgslem3  16425  2lgslem4  16427  basendxnedgfndx  16457  struct2slots2dom  16484  usgrexmpldifpr  16695  konigsbergiedgwen  16930  konigsberglem1  16934  konigsberglem2  16935  konigsberglem3  16936  konigsberglem5  16938  apdiff  17304