Theorem ltneii 8318

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 8317	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 2488	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403   class class class wbr 4093  ℝcr 8074   < clt 8256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-pre-ltirr 8187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-ltxr 8261

This theorem is referenced by:  0ne1  9252  1ne2  9392  hashtpglem  11156  3dvds  12488  2strbasg  13266  2stropg  13267  plusgndxnmulrndx  13279  basendxnmulrndx  13280  slotsdifipndx  13321  slotsdifplendx  13356  basendxnocndx  13359  plendxnocndx  13360  slotsdifdsndx  13371  slotsdifunifndx  13378  setsmsbasg  15273  2lgslem3  15903  2lgslem4  15905  basendxnedgfndx  15935  struct2slots2dom  15962  usgrexmpldifpr  16173  konigsbergiedgwen  16408  konigsberglem1  16412  konigsberglem2  16413  konigsberglem3  16414  konigsberglem5  16416  apdiff  16763