Theorem ltneii 8424

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 8423	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 2505	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   class class class wbr 4130  ℝcr 8179   < clt 8361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-pre-ltirr 8292

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366

This theorem is used by:  0ne1  9374  1ne2  9516  hashtpglem  11314  3dvds  12650  2strbasg  13527  2stropg  13528  plusgndxnmulrndx  13540  basendxnmulrndx  13541  slotsdifipndx  13582  slotsdifplendx  13617  basendxnocndx  13620  plendxnocndx  13621  slotsdifdsndx  13632  slotsdifunifndx  13639  setsmsbasg  15671  ppiqub  16254  2lgslem3  16386  2lgslem4  16388  basendxnedgfndx  16418  struct2slots2dom  16445  usgrexmpldifpr  16656  konigsbergiedgwen  16891  konigsberglem1  16895  konigsberglem2  16896  konigsberglem3  16897  konigsberglem5  16899  apdiff  17264