Theorem ltneii 8386

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 8385	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 2499	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414   class class class wbr 4114  ℝcr 8142   < clt 8324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-pre-ltirr 8255

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329

This theorem is referenced by:  0ne1  9321  1ne2  9461  hashtpglem  11243  3dvds  12575  2strbasg  13417  2stropg  13418  plusgndxnmulrndx  13430  basendxnmulrndx  13431  slotsdifipndx  13472  slotsdifplendx  13507  basendxnocndx  13510  plendxnocndx  13511  slotsdifdsndx  13522  slotsdifunifndx  13529  setsmsbasg  15470  2lgslem3  16100  2lgslem4  16102  basendxnedgfndx  16132  struct2slots2dom  16159  usgrexmpldifpr  16370  konigsbergiedgwen  16605  konigsberglem1  16609  konigsberglem2  16610  konigsberglem3  16611  konigsberglem5  16613  apdiff  16958