Theorem ltneii 8189

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 8188	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 2462	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377   class class class wbr 4051  ℝcr 7944   < clt 8127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-pre-ltirr 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-xp 4689  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-ltxr 8132

This theorem is referenced by:  0ne1  9123  1ne2  9263  3dvds  12250  2strbasg  13027  2stropg  13028  plusgndxnmulrndx  13040  basendxnmulrndx  13041  slotsdifipndx  13082  slotsdifplendx  13117  basendxnocndx  13120  plendxnocndx  13121  slotsdifdsndx  13132  slotsdifunifndx  13139  setsmsbasg  15026  2lgslem3  15653  2lgslem4  15655  basendxnedgfndx  15685  struct2slots2dom  15712  apdiff  16128