Theorem ltneii 8276

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 8275	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 2487	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402   class class class wbr 4088  ℝcr 8031   < clt 8214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-pre-ltirr 8144

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219

This theorem is referenced by:  0ne1  9210  1ne2  9350  hashtpglem  11111  3dvds  12443  2strbasg  13221  2stropg  13222  plusgndxnmulrndx  13234  basendxnmulrndx  13235  slotsdifipndx  13276  slotsdifplendx  13311  basendxnocndx  13314  plendxnocndx  13315  slotsdifdsndx  13326  slotsdifunifndx  13333  setsmsbasg  15222  2lgslem3  15849  2lgslem4  15851  basendxnedgfndx  15881  struct2slots2dom  15908  usgrexmpldifpr  16119  konigsbergiedgwen  16354  konigsberglem1  16358  konigsberglem2  16359  konigsberglem3  16360  konigsberglem5  16362  apdiff  16703