Theorem slotsdifdsndx 12608

Description: The index of the slot for the distance is not the index of other slots. (Contributed by AV, 11-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifdsndx	|- ( ( *r ` ndx ) =/= ( dist ` ndx ) /\ ( le ` ndx ) =/= ( dist ` ndx ) )

Proof of Theorem slotsdifdsndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4re 8967	. . . 4 |- 4 e. RR
2		1nn 8901	. . . . 5 |- 1 e. NN
3		2nn0 9164	. . . . 5 |- 2 e. NN0
4		4nn0 9166	. . . . 5 |- 4 e. NN0
5		4lt10 9490	. . . . 5 |- 4 < ; 1 0
6	2, 3, 4, 5	declti 9392	. . . 4 |- 4 < ; 1 2
7	1, 6	ltneii 8028	. . 3 |- 4 =/= ; 1 2
8		starvndx 12549	. . . 4 |- ( *r ` ndx ) = 4
9		dsndx 12598	. . . 4 |- ( dist ` ndx ) = ; 1 2
10	8, 9	neeq12i 2362	. . 3 |- ( ( *r ` ndx ) =/= ( dist ` ndx ) <-> 4 =/= ; 1 2 )
11	7, 10	mpbir 147	. 2 |- ( *r ` ndx ) =/= ( dist ` ndx )
12		10re 9373	. . . 4 |- ; 1 0 e. RR
13		1nn0 9163	. . . . 5 |- 1 e. NN0
14		0nn0 9162	. . . . 5 |- 0 e. NN0
15		2nn 9051	. . . . 5 |- 2 e. NN
16		2pos 8981	. . . . 5 |- 0 < 2
17	13, 14, 15, 16	declt 9382	. . . 4 |- ; 1 0 < ; 1 2
18	12, 17	ltneii 8028	. . 3 |- ; 1 0 =/= ; 1 2
19		plendx 12595	. . . 4 |- ( le ` ndx ) = ; 1 0
20	19, 9	neeq12i 2362	. . 3 |- ( ( le ` ndx ) =/= ( dist ` ndx ) <-> ; 1 0 =/= ; 1 2 )
21	18, 20	mpbir 147	. 2 |- ( le ` ndx ) =/= ( dist ` ndx )
22	11, 21	pm3.2i 272	1 |- ( ( *r ` ndx ) =/= ( dist ` ndx ) /\ ( le ` ndx ) =/= ( dist ` ndx ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   =/= wne 2345   ` cfv 5208   0cc0 7786   1c1 7787   2c2 8941   4c4 8943  ;cdc 9355   ndxcnx 12425   *rcstv 12494   lecple 12499   distcds 12501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-5 8952  df-6 8953  df-7 8954  df-8 8955  df-9 8956  df-n0 9148  df-z 9225  df-dec 9356  df-ndx 12431  df-slot 12432  df-starv 12507  df-ple 12512  df-ds 12514

This theorem is referenced by: (None)