Theorem slotsdifdsndx 13638

Description: The index of the slot for the distance is not the index of other slots. (Contributed by AV, 11-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifdsndx	|- ( ( *r ` ndx ) =/= ( dist ` ndx ) /\ ( le ` ndx ) =/= ( dist ` ndx ) )

Proof of Theorem slotsdifdsndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4re 9390	. . . 4 |- 4 e. RR
2		1nn 9324	. . . . 5 |- 1 e. NN
3		2nn0 9591	. . . . 5 |- 2 e. NN0
4		4nn0 9593	. . . . 5 |- 4 e. NN0
5		4lt10 9928	. . . . 5 |- 4 < ; 1 0
6	2, 3, 4, 5	declti 9830	. . . 4 |- 4 < ; 1 2
7	1, 6	ltneii 8429	. . 3 |- 4 =/= ; 1 2
8		starvndx 13552	. . . 4 |- ( *r ` ndx ) = 4
9		dsndx 13628	. . . 4 |- ( dist ` ndx ) = ; 1 2
10	8, 9	neeq12i 2437	. . 3 |- ( ( *r ` ndx ) =/= ( dist ` ndx ) <-> 4 =/= ; 1 2 )
11	7, 10	mpbir 146	. 2 |- ( *r ` ndx ) =/= ( dist ` ndx )
12		10re 9810	. . . 4 |- ; 1 0 e. RR
13		1nn0 9590	. . . . 5 |- 1 e. NN0
14		0nn0 9589	. . . . 5 |- 0 e. NN0
15		2nn 9477	. . . . 5 |- 2 e. NN
16		2pos 9404	. . . . 5 |- 0 < 2
17	13, 14, 15, 16	declt 9820	. . . 4 |- ; 1 0 < ; 1 2
18	12, 17	ltneii 8429	. . 3 |- ; 1 0 =/= ; 1 2
19		plendx 13613	. . . 4 |- ( le ` ndx ) = ; 1 0
20	19, 9	neeq12i 2437	. . 3 |- ( ( le ` ndx ) =/= ( dist ` ndx ) <-> ; 1 0 =/= ; 1 2 )
21	18, 20	mpbir 146	. 2 |- ( le ` ndx ) =/= ( dist ` ndx )
22	11, 21	pm3.2i 272	1 |- ( ( *r ` ndx ) =/= ( dist ` ndx ) /\ ( le ` ndx ) =/= ( dist ` ndx ) )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   =/= wne 2420   ` cfv 5380   0cc0 8185   1c1 8186   2c2 9364   4c4 9366  ;cdc 9788   ndxcnx 13407   *rcstv 13492   lecple 13497   distcds 13499

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-starv 13505  df-ple 13510  df-ds 13512

This theorem is used by: (None)