Theorem slotsdifdsndx 13298

Description: The index of the slot for the distance is not the index of other slots. (Contributed by AV, 11-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifdsndx	|- ( ( *r ` ndx ) =/= ( dist ` ndx ) /\ ( le ` ndx ) =/= ( dist ` ndx ) )

Proof of Theorem slotsdifdsndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4re 9210	. . . 4 |- 4 e. RR
2		1nn 9144	. . . . 5 |- 1 e. NN
3		2nn0 9409	. . . . 5 |- 2 e. NN0
4		4nn0 9411	. . . . 5 |- 4 e. NN0
5		4lt10 9736	. . . . 5 |- 4 < ; 1 0
6	2, 3, 4, 5	declti 9638	. . . 4 |- 4 < ; 1 2
7	1, 6	ltneii 8266	. . 3 |- 4 =/= ; 1 2
8		starvndx 13212	. . . 4 |- ( *r ` ndx ) = 4
9		dsndx 13288	. . . 4 |- ( dist ` ndx ) = ; 1 2
10	8, 9	neeq12i 2417	. . 3 |- ( ( *r ` ndx ) =/= ( dist ` ndx ) <-> 4 =/= ; 1 2 )
11	7, 10	mpbir 146	. 2 |- ( *r ` ndx ) =/= ( dist ` ndx )
12		10re 9619	. . . 4 |- ; 1 0 e. RR
13		1nn0 9408	. . . . 5 |- 1 e. NN0
14		0nn0 9407	. . . . 5 |- 0 e. NN0
15		2nn 9295	. . . . 5 |- 2 e. NN
16		2pos 9224	. . . . 5 |- 0 < 2
17	13, 14, 15, 16	declt 9628	. . . 4 |- ; 1 0 < ; 1 2
18	12, 17	ltneii 8266	. . 3 |- ; 1 0 =/= ; 1 2
19		plendx 13273	. . . 4 |- ( le ` ndx ) = ; 1 0
20	19, 9	neeq12i 2417	. . 3 |- ( ( le ` ndx ) =/= ( dist ` ndx ) <-> ; 1 0 =/= ; 1 2 )
21	18, 20	mpbir 146	. 2 |- ( le ` ndx ) =/= ( dist ` ndx )
22	11, 21	pm3.2i 272	1 |- ( ( *r ` ndx ) =/= ( dist ` ndx ) /\ ( le ` ndx ) =/= ( dist ` ndx ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   =/= wne 2400   ` cfv 5324   0cc0 8022   1c1 8023   2c2 9184   4c4 9186  ;cdc 9601   ndxcnx 13069   *rcstv 13152   lecple 13157   distcds 13159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-7 9197  df-8 9198  df-9 9199  df-n0 9393  df-z 9470  df-dec 9602  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-starv 13165  df-ple 13170  df-ds 13172

This theorem is referenced by: (None)