Theorem slotsdifdsndx 13556

Description: The index of the slot for the distance is not the index of other slots. (Contributed by AV, 11-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifdsndx	|- ( ( *r ` ndx ) =/= ( dist ` ndx ) /\ ( le ` ndx ) =/= ( dist ` ndx ) )

Proof of Theorem slotsdifdsndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4re 9360	. . . 4 |- 4 e. RR
2		1nn 9294	. . . . 5 |- 1 e. NN
3		2nn0 9559	. . . . 5 |- 2 e. NN0
4		4nn0 9561	. . . . 5 |- 4 e. NN0
5		4lt10 9891	. . . . 5 |- 4 < ; 1 0
6	2, 3, 4, 5	declti 9793	. . . 4 |- 4 < ; 1 2
7	1, 6	ltneii 8412	. . 3 |- 4 =/= ; 1 2
8		starvndx 13470	. . . 4 |- ( *r ` ndx ) = 4
9		dsndx 13546	. . . 4 |- ( dist ` ndx ) = ; 1 2
10	8, 9	neeq12i 2437	. . 3 |- ( ( *r ` ndx ) =/= ( dist ` ndx ) <-> 4 =/= ; 1 2 )
11	7, 10	mpbir 146	. 2 |- ( *r ` ndx ) =/= ( dist ` ndx )
12		10re 9774	. . . 4 |- ; 1 0 e. RR
13		1nn0 9558	. . . . 5 |- 1 e. NN0
14		0nn0 9557	. . . . 5 |- 0 e. NN0
15		2nn 9445	. . . . 5 |- 2 e. NN
16		2pos 9374	. . . . 5 |- 0 < 2
17	13, 14, 15, 16	declt 9783	. . . 4 |- ; 1 0 < ; 1 2
18	12, 17	ltneii 8412	. . 3 |- ; 1 0 =/= ; 1 2
19		plendx 13531	. . . 4 |- ( le ` ndx ) = ; 1 0
20	19, 9	neeq12i 2437	. . 3 |- ( ( le ` ndx ) =/= ( dist ` ndx ) <-> ; 1 0 =/= ; 1 2 )
21	18, 20	mpbir 146	. 2 |- ( le ` ndx ) =/= ( dist ` ndx )
22	11, 21	pm3.2i 272	1 |- ( ( *r ` ndx ) =/= ( dist ` ndx ) /\ ( le ` ndx ) =/= ( dist ` ndx ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   =/= wne 2420   ` cfv 5372   0cc0 8169   1c1 8170   2c2 9334   4c4 9336  ;cdc 9756   ndxcnx 13327   *rcstv 13410   lecple 13415   distcds 13417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-dec 9757  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-starv 13423  df-ple 13428  df-ds 13430

This theorem is referenced by: (None)