Theorem konigsberglem2 16610

Description: Lemma 2 for konigsberg 16614: Vertex 1 has degree three. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 4-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
konigsberg.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
konigsberglem2	|- ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) = 3

Proof of Theorem konigsberglem2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9605	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
2		3z 9623	. . . . . . 7 |- 3 e. ZZ
3		fzfig 10816	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 0 ... 3 ) e. Fin )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( 0 ... 3 ) e. Fin
5	4	elexi 2828	. . . . 5 |- ( 0 ... 3 ) e. _V
6		0nn0 9528	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. NN0
7		1nn0 9529	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN0
8		prexg 4330	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } e. _V )
9	6, 7, 8	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- { 0 , 1 } e. _V
10	9	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 0 , 1 } e. _V )
11		2nn0 9530	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN0
12		prexg 4330	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) -> { 0 , 2 } e. _V )
13	6, 11, 12	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- { 0 , 2 } e. _V
14	13	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 0 , 2 } e. _V )
15		3nn0 9531	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. NN0
16		prexg 4330	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 3 e. NN0 ) -> { 0 , 3 } e. _V )
17	6, 15, 16	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- { 0 , 3 } e. _V
18	17	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 0 , 3 } e. _V )
19		prexg 4330	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) -> { 1 , 2 } e. _V )
20	7, 11, 19	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- { 1 , 2 } e. _V
21	20	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 1 , 2 } e. _V )
22		prexg 4330	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. NN0 /\ 3 e. NN0 ) -> { 2 , 3 } e. _V )
23	11, 15, 22	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- { 2 , 3 } e. _V
24	23	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 2 , 3 } e. _V )
25	10, 14, 18, 21, 21, 24	s6cld 11499	. . . . . . 7 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
26	25	mptru 1407	. . . . . 6 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word _V
27	26	elexi 2828	. . . . 5 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. _V
28	5, 27	opvtxfvi 16148	. . . 4 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
29	28	eqcomi 2238	. . 3 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. )
30		1le3 9466	. . . . 5 |- 1 <_ 3
31		elfz2nn0 10468	. . . . 5 |- ( 1 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 1 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 1 <_ 3 ) )
32	7, 15, 30, 31	mpbir3an 1206	. . . 4 |- 1 e. ( 0 ... 3 )
33	32	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> 1 e. ( 0 ... 3 ) )
34	5, 27	opiedgfvi 16149	. . . 4 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ">
35	34	eqcomi 2238	. . 3 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. )
36	24	s1cld 11335	. . . . . 6 |- ( T. -> <" { 2 , 3 } "> e. Word _V )
37	36	mptru 1407	. . . . 5 |- <" { 2 , 3 } "> e. Word _V
38		df-s7 11478	. . . . 5 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> )
39		eqid 2234	. . . . . 6 |- ( 0 ... 3 ) = ( 0 ... 3 )
40		eqid 2234	. . . . . 6 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
41		eqid 2234	. . . . . 6 |- <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> >. = <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> >.
42	39, 40, 41	konigsbergssiedgwen 16607	. . . . 5 |- ( ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
43	26, 37, 38, 42	mp3an 1374	. . . 4 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) }
44	43	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
45	10, 14, 18, 21, 21	s5cld 11498	. . . . . . . 8 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. Word _V )
46	45	mptru 1407	. . . . . . 7 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. Word _V
47	46	elexi 2828	. . . . . 6 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. _V
48	5, 47	opvtxfvi 16148	. . . . 5 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
49	48	eqcomi 2238	. . . 4 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. )
50	5, 47	opiedgfvi 16149	. . . . 5 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ">
51	50	eqcomi 2238	. . . 4 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. )
52	24, 24	s2cld 11495	. . . . 5 |- ( T. -> <" { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
53	10, 14, 18, 21, 21, 24, 24	s5s2d 11522	. . . . 5 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) )
54	39, 40, 41	konigsbergssiedgwen 16607	. . . . 5 |- ( ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. Word _V /\ <" { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
55	45, 52, 53, 54	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
56	10, 14, 18, 21	s4cld 11497	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. Word _V )
57	56	mptru 1407	. . . . . . . . 9 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. Word _V
58	57	elexi 2828	. . . . . . . 8 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. _V
59	5, 58	opvtxfvi 16148	. . . . . . 7 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
60	59	eqcomi 2238	. . . . . 6 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. )
61	5, 58	opiedgfvi 16149	. . . . . . 7 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ">
62	61	eqcomi 2238	. . . . . 6 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. )
63	21, 24, 24	s3cld 11496	. . . . . . 7 |- ( T. -> <" { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
64	10, 14, 18, 21, 21, 24, 24	s4s3d 11519	. . . . . . 7 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) )
65	39, 40, 41	konigsbergssiedgwen 16607	. . . . . . 7 |- ( ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. Word _V /\ <" { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
66	56, 63, 64, 65	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
67	10, 14, 18	s3cld 11496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. Word _V )
68	67	mptru 1407	. . . . . . . . . . 11 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. Word _V
69	68	elexi 2828	. . . . . . . . . 10 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. _V
70	5, 69	opvtxfvi 16148	. . . . . . . . 9 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
71	70	eqcomi 2238	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. )
72	5, 69	opiedgfvi 16149	. . . . . . . . 9 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ">
73	72	eqcomi 2238	. . . . . . . 8 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. )
74	21, 21, 24, 24	s4cld 11497	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> <" { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
75	10, 14, 18, 21, 21, 24, 24	s3s4d 11520	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ++ <" { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) )
76	39, 40, 41	konigsbergssiedgwen 16607	. . . . . . . . 9 |- ( ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ++ <" { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
77	67, 74, 75, 76	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
78	10, 14	s2cld 11495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> e. Word _V )
79	78	mptru 1407	. . . . . . . . . . . 12 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> e. Word _V
80	79	elexi 2828	. . . . . . . . . . 11 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> e. _V
81	5, 80	opvtxfvi 16148	. . . . . . . . . 10 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
82	81	eqcomi 2238	. . . . . . . . 9 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. )
83	5, 80	opiedgfvi 16149	. . . . . . . . . 10 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } ">
84	83	eqcomi 2238	. . . . . . . . 9 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. )
85	18, 21, 21, 24, 24	s5cld 11498	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> <" { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
86	10, 14, 18, 21, 21, 24, 24	s2s5d 11521	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> ++ <" { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) )
87	39, 40, 41	konigsbergssiedgwen 16607	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> ++ <" { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
88	78, 85, 86, 87	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
89	10	s1cld 11335	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } "> e. Word _V )
90	89	mptru 1407	. . . . . . . . . . . . 13 |- <" { 0 , 1 } "> e. Word _V
91	90	elexi 2828	. . . . . . . . . . . 12 |- <" { 0 , 1 } "> e. _V
92	5, 91	opvtxfvi 16148	. . . . . . . . . . 11 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
93	92	eqcomi 2238	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. )
94	5, 91	opiedgfvi 16149	. . . . . . . . . . 11 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } ">
95	94	eqcomi 2238	. . . . . . . . . 10 |- <" { 0 , 1 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. )
96	14, 18, 21, 21, 24, 24	s6cld 11499	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> <" { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
97	10, 14, 18, 21, 21, 24, 24	s1s6d 11515	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } "> ++ <" { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) )
98	39, 40, 41	konigsbergssiedgwen 16607	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( <" { 0 , 1 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } "> ++ <" { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
99	89, 96, 97, 98	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
100		0ex 4242	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. _V
101	5, 100	opvtxfvi 16148	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. ) = ( 0 ... 3 )
102	101	eqcomi 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. )
103	5, 100	opiedgfvi 16149	. . . . . . . . . . . . 13 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. ) = (/)
104	103	eqcomi 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. )
105		wrd0 11274	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) }
106	105	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> (/) e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
107		eqidd 2235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> (/) = (/) )
108	4	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> ( 0 ... 3 ) e. Fin )
109		upgr0eop 16243	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 ... 3 ) e. Fin -> <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. e. UPGraph )
110	4, 109	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. e. UPGraph )
111	102, 104, 33, 107, 108, 110	vtxdgfi0e 16416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. ) ` 1 ) = 0 )
112	92	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) = ( 0 ... 3 ) )
113		0elfz 10474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 3 e. NN0 -> 0 e. ( 0 ... 3 ) )
114	15, 113	mp1i 10	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> 0 e. ( 0 ... 3 ) )
115		0ne1 9321	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 =/= 1
116	115	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> 0 =/= 1 )
117		s1cl 11334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { 0 , 1 } e. _V -> <" { 0 , 1 } "> e. Word _V )
118		ccatlid 11319	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <" { 0 , 1 } "> e. Word _V -> ( (/) ++ <" { 0 , 1 } "> ) = <" { 0 , 1 } "> )
119	9, 117, 118	mp2b 8	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (/) ++ <" { 0 , 1 } "> ) = <" { 0 , 1 } ">
120	94, 119	eqtr4i 2258	. . . . . . . . . . . . 13 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) = ( (/) ++ <" { 0 , 1 } "> )
121	120	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) = ( (/) ++ <" { 0 , 1 } "> ) )
122	102, 33, 104, 106, 111, 112, 108, 114, 116, 121	vdegp1cid 16437	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) ` 1 ) = ( 0 + 1 ) )
123		0p1e1 9368	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 1 ) = 1
124	122, 123	eqtrdi 2283	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) ` 1 ) = 1 )
125	81	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) = ( 0 ... 3 ) )
126		2re 9324	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
127		3re 9328	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. RR
128		2lt3 9425	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 < 3
129	126, 127, 128	ltleii 8392	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 <_ 3
130		elfz2nn0 10468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 2 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 2 <_ 3 ) )
131	11, 15, 129, 130	mpbir3an 1206	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ( 0 ... 3 )
132	131	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> 2 e. ( 0 ... 3 ) )
133		1ne2 9461	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 =/= 2
134	133	necomi 2499	. . . . . . . . . . 11 |- 2 =/= 1
135	134	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> 2 =/= 1 )
136		0ne2 9460	. . . . . . . . . . 11 |- 0 =/= 2
137	136	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> 0 =/= 2 )
138		df-s2 11473	. . . . . . . . . . . 12 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> = ( <" { 0 , 1 } "> ++ <" { 0 , 2 } "> )
139	83, 138	eqtri 2255	. . . . . . . . . . 11 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } "> ++ <" { 0 , 2 } "> )
140	139	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } "> ++ <" { 0 , 2 } "> ) )
141	93, 33, 95, 99, 124, 125, 108, 114, 116, 132, 135, 137, 140	vdegp1aid 16435	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) ` 1 ) = 1 )
142	70	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) = ( 0 ... 3 ) )
143		nn0fz0 10475	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 e. NN0 <-> 3 e. ( 0 ... 3 ) )
144	15, 143	mpbi 145	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. ( 0 ... 3 )
145	144	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> 3 e. ( 0 ... 3 ) )
146		1re 8289	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
147		1lt3 9426	. . . . . . . . . . 11 |- 1 < 3
148	146, 147	gtneii 8385	. . . . . . . . . 10 |- 3 =/= 1
149	148	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> 3 =/= 1 )
150		3ne0 9349	. . . . . . . . . . 11 |- 3 =/= 0
151	150	necomi 2499	. . . . . . . . . 10 |- 0 =/= 3
152	151	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> 0 =/= 3 )
153		df-s3 11474	. . . . . . . . . . 11 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> ++ <" { 0 , 3 } "> )
154	72, 153	eqtri 2255	. . . . . . . . . 10 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> ++ <" { 0 , 3 } "> )
155	154	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> ++ <" { 0 , 3 } "> ) )
156	82, 33, 84, 88, 141, 142, 108, 114, 116, 145, 149, 152, 155	vdegp1aid 16435	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) ` 1 ) = 1 )
157	59	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( 0 ... 3 ) )
158		df-s4 11475	. . . . . . . . . 10 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> )
159	61, 158	eqtri 2255	. . . . . . . . 9 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> )
160	159	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> ) )
161	71, 33, 73, 77, 156, 157, 108, 132, 135, 160	vdegp1bid 16436	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) ` 1 ) = ( 1 + 1 ) )
162		1p1e2 9371	. . . . . . 7 |- ( 1 + 1 ) = 2
163	161, 162	eqtrdi 2283	. . . . . 6 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) ` 1 ) = 2 )
164	48	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( 0 ... 3 ) )
165		df-s5 11476	. . . . . . . 8 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> )
166	50, 165	eqtri 2255	. . . . . . 7 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> )
167	166	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> ) )
168	60, 33, 62, 66, 163, 164, 108, 132, 135, 167	vdegp1bid 16436	. . . . 5 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) ` 1 ) = ( 2 + 1 ) )
169		2p1e3 9388	. . . . 5 |- ( 2 + 1 ) = 3
170	168, 169	eqtrdi 2283	. . . 4 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) ` 1 ) = 3 )
171	28	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) = ( 0 ... 3 ) )
172	126, 128	ltneii 8386	. . . . 5 |- 2 =/= 3
173	172	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> 2 =/= 3 )
174		df-s6 11477	. . . . . 6 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> )
175	34, 174	eqtri 2255	. . . . 5 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> )
176	175	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> ) )
177	49, 33, 51, 55, 170, 171, 108, 132, 135, 145, 149, 173, 176	vdegp1aid 16435	. . 3 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) ` 1 ) = 3 )
178		konigsberg.v	. . . . 5 |- V = ( 0 ... 3 )
179		konigsberg.e	. . . . 5 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
180		konigsberg.g	. . . . 5 |- G = <. V , E >.
181	178, 179, 180	konigsbergvtx 16603	. . . 4 |- (Vtx ` G ) = ( 0 ... 3 )
182	181	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> (Vtx ` G ) = ( 0 ... 3 ) )
183	178, 179, 180	konigsbergiedg 16604	. . . . 5 |- (iEdg ` G ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
184	183, 38	eqtri 2255	. . . 4 |- (iEdg ` G ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> )
185	184	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> (iEdg ` G ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> ) )
186	29, 33, 35, 44, 177, 182, 108, 132, 135, 145, 149, 173, 185	vdegp1aid 16435	. 2 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) = 3 )
187	186	mptru 1407	1 |- ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) = 3

Syntax hints:   \/ wo 716   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 2205   =/= wne 2414   {crab 2526   _Vcvv 2815   (/)c0 3512   ~Pcpw 3674   {cpr 3695   <.cop 3697   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   1oc1o 6653   2oc2o 6654   ~~ cen 6986   Fincfn 6988   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   <_ cle 8325   2c2 9305   3c3 9306   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   ...cfz 10361  Word cword 11249   ++ cconcat 11303   <"cs1 11328   <"cs2 11466   <"cs3 11467   <"cs4 11468   <"cs5 11469   <"cs6 11470   <"cs7 11471  Vtxcvtx 16133  iEdgciedg 16134  UPGraphcupgr 16212  VtxDegcvtxdg 16407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-dec 9728  df-uz 9872  df-xadd 10125  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164  df-word 11250  df-concat 11304  df-s1 11329  df-s2 11473  df-s3 11474  df-s4 11475  df-s5 11476  df-s6 11477  df-s7 11478  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-edgf 16126  df-vtx 16135  df-iedg 16136  df-upgren 16214  df-umgren 16215  df-vtxdg 16408

This theorem is referenced by:  konigsberglem4  16612