Theorem konigsberglem2 16935

Description: Lemma 2 for konigsberg 16939: Vertex 1 has degree three. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (Revised by AV, 4-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	|- V = ( 0 ... 3 )
konigsberg.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
konigsberg.g	|- G = <. V , E >.

Assertion

Ref	Expression
konigsberglem2	|- ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) = 3

Proof of Theorem konigsberglem2

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9666	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
2		3z 9684	. . . . . . 7 |- 3 e. ZZ
3		fzfig 10888	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) -> ( 0 ... 3 ) e. Fin )
4	1, 2, 3	mp2an 430	. . . . . 6 |- ( 0 ... 3 ) e. Fin
5	4	elexi 2834	. . . . 5 |- ( 0 ... 3 ) e. _V
6		0nn0 9589	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. NN0
7		1nn0 9590	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN0
8		prexg 4351	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> { 0 , 1 } e. _V )
9	6, 7, 8	mp2an 430	. . . . . . . . 9 |- { 0 , 1 } e. _V
10	9	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 0 , 1 } e. _V )
11		2nn0 9591	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN0
12		prexg 4351	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) -> { 0 , 2 } e. _V )
13	6, 11, 12	mp2an 430	. . . . . . . . 9 |- { 0 , 2 } e. _V
14	13	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 0 , 2 } e. _V )
15		3nn0 9592	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. NN0
16		prexg 4351	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. NN0 /\ 3 e. NN0 ) -> { 0 , 3 } e. _V )
17	6, 15, 16	mp2an 430	. . . . . . . . 9 |- { 0 , 3 } e. _V
18	17	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 0 , 3 } e. _V )
19		prexg 4351	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) -> { 1 , 2 } e. _V )
20	7, 11, 19	mp2an 430	. . . . . . . . 9 |- { 1 , 2 } e. _V
21	20	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 1 , 2 } e. _V )
22		prexg 4351	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. NN0 /\ 3 e. NN0 ) -> { 2 , 3 } e. _V )
23	11, 15, 22	mp2an 430	. . . . . . . . 9 |- { 2 , 3 } e. _V
24	23	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> { 2 , 3 } e. _V )
25	10, 14, 18, 21, 21, 24	s6cld 11576	. . . . . . 7 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
26	25	mptru 1411	. . . . . 6 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word _V
27	26	elexi 2834	. . . . 5 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. _V
28	5, 27	opvtxfvi 16473	. . . 4 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
29	28	eqcomi 2242	. . 3 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. )
30		1le3 9527	. . . . 5 |- 1 <_ 3
31		elfz2nn0 10536	. . . . 5 |- ( 1 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 1 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 1 <_ 3 ) )
32	7, 15, 30, 31	mpbir3an 1210	. . . 4 |- 1 e. ( 0 ... 3 )
33	32	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> 1 e. ( 0 ... 3 ) )
34	5, 27	opiedgfvi 16474	. . . 4 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ">
35	34	eqcomi 2242	. . 3 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. )
36	24	s1cld 11412	. . . . . 6 |- ( T. -> <" { 2 , 3 } "> e. Word _V )
37	36	mptru 1411	. . . . 5 |- <" { 2 , 3 } "> e. Word _V
38		df-s7 11555	. . . . 5 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> )
39		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( 0 ... 3 ) = ( 0 ... 3 )
40		eqid 2238	. . . . . 6 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
41		eqid 2238	. . . . . 6 |- <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> >. = <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> >.
42	39, 40, 41	konigsbergssiedgwen 16932	. . . . 5 |- ( ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
43	26, 37, 38, 42	mp3an 1378	. . . 4 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) }
44	43	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
45	10, 14, 18, 21, 21	s5cld 11575	. . . . . . . 8 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. Word _V )
46	45	mptru 1411	. . . . . . 7 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. Word _V
47	46	elexi 2834	. . . . . 6 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. _V
48	5, 47	opvtxfvi 16473	. . . . 5 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
49	48	eqcomi 2242	. . . 4 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. )
50	5, 47	opiedgfvi 16474	. . . . 5 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ">
51	50	eqcomi 2242	. . . 4 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. )
52	24, 24	s2cld 11572	. . . . 5 |- ( T. -> <" { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
53	10, 14, 18, 21, 21, 24, 24	s5s2d 11599	. . . . 5 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) )
54	39, 40, 41	konigsbergssiedgwen 16932	. . . . 5 |- ( ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. Word _V /\ <" { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
55	45, 52, 53, 54	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
56	10, 14, 18, 21	s4cld 11574	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. Word _V )
57	56	mptru 1411	. . . . . . . . 9 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. Word _V
58	57	elexi 2834	. . . . . . . 8 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. _V
59	5, 58	opvtxfvi 16473	. . . . . . 7 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
60	59	eqcomi 2242	. . . . . 6 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. )
61	5, 58	opiedgfvi 16474	. . . . . . 7 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ">
62	61	eqcomi 2242	. . . . . 6 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. )
63	21, 24, 24	s3cld 11573	. . . . . . 7 |- ( T. -> <" { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
64	10, 14, 18, 21, 21, 24, 24	s4s3d 11596	. . . . . . 7 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) )
65	39, 40, 41	konigsbergssiedgwen 16932	. . . . . . 7 |- ( ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. Word _V /\ <" { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
66	56, 63, 64, 65	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
67	10, 14, 18	s3cld 11573	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. Word _V )
68	67	mptru 1411	. . . . . . . . . . 11 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. Word _V
69	68	elexi 2834	. . . . . . . . . 10 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. _V
70	5, 69	opvtxfvi 16473	. . . . . . . . 9 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
71	70	eqcomi 2242	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. )
72	5, 69	opiedgfvi 16474	. . . . . . . . 9 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ">
73	72	eqcomi 2242	. . . . . . . 8 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. )
74	21, 21, 24, 24	s4cld 11574	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> <" { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
75	10, 14, 18, 21, 21, 24, 24	s3s4d 11597	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ++ <" { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) )
76	39, 40, 41	konigsbergssiedgwen 16932	. . . . . . . . 9 |- ( ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ++ <" { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
77	67, 74, 75, 76	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
78	10, 14	s2cld 11572	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> e. Word _V )
79	78	mptru 1411	. . . . . . . . . . . 12 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> e. Word _V
80	79	elexi 2834	. . . . . . . . . . 11 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> e. _V
81	5, 80	opvtxfvi 16473	. . . . . . . . . 10 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
82	81	eqcomi 2242	. . . . . . . . 9 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. )
83	5, 80	opiedgfvi 16474	. . . . . . . . . 10 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } ">
84	83	eqcomi 2242	. . . . . . . . 9 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. )
85	18, 21, 21, 24, 24	s5cld 11575	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> <" { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
86	10, 14, 18, 21, 21, 24, 24	s2s5d 11598	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> ++ <" { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) )
87	39, 40, 41	konigsbergssiedgwen 16932	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> ++ <" { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
88	78, 85, 86, 87	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
89	10	s1cld 11412	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } "> e. Word _V )
90	89	mptru 1411	. . . . . . . . . . . . 13 |- <" { 0 , 1 } "> e. Word _V
91	90	elexi 2834	. . . . . . . . . . . 12 |- <" { 0 , 1 } "> e. _V
92	5, 91	opvtxfvi 16473	. . . . . . . . . . 11 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) = ( 0 ... 3 )
93	92	eqcomi 2242	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. )
94	5, 91	opiedgfvi 16474	. . . . . . . . . . 11 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) = <" { 0 , 1 } ">
95	94	eqcomi 2242	. . . . . . . . . 10 |- <" { 0 , 1 } "> = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. )
96	14, 18, 21, 21, 24, 24	s6cld 11576	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> <" { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V )
97	10, 14, 18, 21, 21, 24, 24	s1s6d 11592	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } "> ++ <" { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) )
98	39, 40, 41	konigsbergssiedgwen 16932	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( <" { 0 , 1 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> e. Word _V /\ <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } "> ++ <" { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } "> ) ) -> <" { 0 , 1 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
99	89, 96, 97, 98	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> <" { 0 , 1 } "> e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
100		0ex 4262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (/) e. _V
101	5, 100	opvtxfvi 16473	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. ) = ( 0 ... 3 )
102	101	eqcomi 2242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 ... 3 ) = (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. )
103	5, 100	opiedgfvi 16474	. . . . . . . . . . . . 13 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. ) = (/)
104	103	eqcomi 2242	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) = (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. )
105		wrd0 11351	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) }
106	105	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> (/) e. Word { x e. ~P ( 0 ... 3 ) | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
107		eqidd 2239	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> (/) = (/) )
108	4	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> ( 0 ... 3 ) e. Fin )
109		upgr0eop 16568	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 ... 3 ) e. Fin -> <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. e. UPGraph )
110	4, 109	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. e. UPGraph )
111	102, 104, 33, 107, 108, 110	vtxdgfi0e 16741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , (/) >. ) ` 1 ) = 0 )
112	92	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) = ( 0 ... 3 ) )
113		0elfz 10542	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 3 e. NN0 -> 0 e. ( 0 ... 3 ) )
114	15, 113	mp1i 10	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> 0 e. ( 0 ... 3 ) )
115		0ne1 9380	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 =/= 1
116	115	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> 0 =/= 1 )
117		s1cl 11411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { 0 , 1 } e. _V -> <" { 0 , 1 } "> e. Word _V )
118		ccatlid 11396	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <" { 0 , 1 } "> e. Word _V -> ( (/) ++ <" { 0 , 1 } "> ) = <" { 0 , 1 } "> )
119	9, 117, 118	mp2b 8	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (/) ++ <" { 0 , 1 } "> ) = <" { 0 , 1 } ">
120	94, 119	eqtr4i 2262	. . . . . . . . . . . . 13 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) = ( (/) ++ <" { 0 , 1 } "> )
121	120	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) = ( (/) ++ <" { 0 , 1 } "> ) )
122	102, 33, 104, 106, 111, 112, 108, 114, 116, 121	vdegp1cid 16762	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) ` 1 ) = ( 0 + 1 ) )
123		0p1e1 9427	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 1 ) = 1
124	122, 123	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } "> >. ) ` 1 ) = 1 )
125	81	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) = ( 0 ... 3 ) )
126		2re 9383	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
127		3re 9387	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. RR
128		2lt3 9486	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 < 3
129	126, 127, 128	ltleii 8435	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 <_ 3
130		elfz2nn0 10536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. ( 0 ... 3 ) <-> ( 2 e. NN0 /\ 3 e. NN0 /\ 2 <_ 3 ) )
131	11, 15, 129, 130	mpbir3an 1210	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ( 0 ... 3 )
132	131	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> 2 e. ( 0 ... 3 ) )
133		1ne2 9522	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 =/= 2
134	133	necomi 2505	. . . . . . . . . . 11 |- 2 =/= 1
135	134	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> 2 =/= 1 )
136		0ne2 9521	. . . . . . . . . . 11 |- 0 =/= 2
137	136	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> 0 =/= 2 )
138		df-s2 11550	. . . . . . . . . . . 12 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> = ( <" { 0 , 1 } "> ++ <" { 0 , 2 } "> )
139	83, 138	eqtri 2259	. . . . . . . . . . 11 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } "> ++ <" { 0 , 2 } "> )
140	139	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } "> ++ <" { 0 , 2 } "> ) )
141	93, 33, 95, 99, 124, 125, 108, 114, 116, 132, 135, 137, 140	vdegp1aid 16760	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> >. ) ` 1 ) = 1 )
142	70	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) = ( 0 ... 3 ) )
143		nn0fz0 10543	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 e. NN0 <-> 3 e. ( 0 ... 3 ) )
144	15, 143	mpbi 145	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. ( 0 ... 3 )
145	144	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> 3 e. ( 0 ... 3 ) )
146		1re 8331	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
147		1lt3 9487	. . . . . . . . . . 11 |- 1 < 3
148	146, 147	gtneii 8428	. . . . . . . . . 10 |- 3 =/= 1
149	148	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> 3 =/= 1 )
150		3ne0 9408	. . . . . . . . . . 11 |- 3 =/= 0
151	150	necomi 2505	. . . . . . . . . 10 |- 0 =/= 3
152	151	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> 0 =/= 3 )
153		df-s3 11551	. . . . . . . . . . 11 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> ++ <" { 0 , 3 } "> )
154	72, 153	eqtri 2259	. . . . . . . . . 10 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> ++ <" { 0 , 3 } "> )
155	154	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } "> ++ <" { 0 , 3 } "> ) )
156	82, 33, 84, 88, 141, 142, 108, 114, 116, 145, 149, 152, 155	vdegp1aid 16760	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> >. ) ` 1 ) = 1 )
157	59	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( 0 ... 3 ) )
158		df-s4 11552	. . . . . . . . . 10 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> )
159	61, 158	eqtri 2259	. . . . . . . . 9 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> )
160	159	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( T. -> (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> ) )
161	71, 33, 73, 77, 156, 157, 108, 132, 135, 160	vdegp1bid 16761	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) ` 1 ) = ( 1 + 1 ) )
162		1p1e2 9430	. . . . . . 7 |- ( 1 + 1 ) = 2
163	161, 162	eqtrdi 2287	. . . . . 6 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> >. ) ` 1 ) = 2 )
164	48	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( 0 ... 3 ) )
165		df-s5 11553	. . . . . . . 8 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> )
166	50, 165	eqtri 2259	. . . . . . 7 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> )
167	166	a1i 9	. . . . . 6 |- ( T. -> (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 1 , 2 } "> ) )
168	60, 33, 62, 66, 163, 164, 108, 132, 135, 167	vdegp1bid 16761	. . . . 5 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) ` 1 ) = ( 2 + 1 ) )
169		2p1e3 9447	. . . . 5 |- ( 2 + 1 ) = 3
170	168, 169	eqtrdi 2287	. . . 4 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> >. ) ` 1 ) = 3 )
171	28	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> (Vtx ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) = ( 0 ... 3 ) )
172	126, 128	ltneii 8429	. . . . 5 |- 2 =/= 3
173	172	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> 2 =/= 3 )
174		df-s6 11554	. . . . . 6 |- <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> )
175	34, 174	eqtri 2259	. . . . 5 |- (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> )
176	175	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> (iEdg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> ) )
177	49, 33, 51, 55, 170, 171, 108, 132, 135, 145, 149, 173, 176	vdegp1aid 16760	. . 3 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` <. ( 0 ... 3 ) , <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> >. ) ` 1 ) = 3 )
178		konigsberg.v	. . . . 5 |- V = ( 0 ... 3 )
179		konigsberg.e	. . . . 5 |- E = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
180		konigsberg.g	. . . . 5 |- G = <. V , E >.
181	178, 179, 180	konigsbergvtx 16928	. . . 4 |- (Vtx ` G ) = ( 0 ... 3 )
182	181	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> (Vtx ` G ) = ( 0 ... 3 ) )
183	178, 179, 180	konigsbergiedg 16929	. . . . 5 |- (iEdg ` G ) = <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ">
184	183, 38	eqtri 2259	. . . 4 |- (iEdg ` G ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> )
185	184	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> (iEdg ` G ) = ( <" { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } "> ++ <" { 2 , 3 } "> ) )
186	29, 33, 35, 44, 177, 182, 108, 132, 135, 145, 149, 173, 185	vdegp1aid 16760	. 2 |- ( T. -> ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) = 3 )
187	186	mptru 1411	1 |- ( (VtxDeg ` G ) ` 1 ) = 3

This proof depends on syntax axioms:   \/ wo 720   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   =/= wne 2420   {crab 2532   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   ~Pcpw 3688   {cpr 3710   <.cop 3712   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   1oc1o 6684   2oc2o 6685   ~~ cen 7024   Fincfn 7026   0cc0 8185   1c1 8186   + caddc 8188   <_ cle 8367   2c2 9364   3c3 9365   NN0cn0 9574   ZZcz 9655   ...cfz 10428  Word cword 11326   ++ cconcat 11380   <"cs1 11405   <"cs2 11543   <"cs3 11544   <"cs4 11545   <"cs5 11546   <"cs6 11547   <"cs7 11548  Vtxcvtx 16458  iEdgciedg 16459  UPGraphcupgr 16537  VtxDegcvtxdg 16732

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-xadd 10192  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-ihash 11237  df-word 11327  df-concat 11381  df-s1 11406  df-s2 11550  df-s3 11551  df-s4 11552  df-s5 11553  df-s6 11554  df-s7 11555  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-edgf 16451  df-vtx 16460  df-iedg 16461  df-upgren 16539  df-umgren 16540  df-vtxdg 16733

This theorem is used by:  konigsberglem4  16937