Theorem basendxnmulrndx 13162

Description: The slot for the base set is not the slot for the ring (multiplication) operation in an extensible structure. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
basendxnmulrndx	|- ( Base ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )

Proof of Theorem basendxnmulrndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-base 13033	. . 3 |- Base = Slot 1
2		1nn 9117	. . 3 |- 1 e. NN
3	1, 2	ndxarg 13050	. 2 |- ( Base ` ndx ) = 1
4		1re 8141	. . . 4 |- 1 e. RR
5		1lt3 9278	. . . 4 |- 1 < 3
6	4, 5	ltneii 8239	. . 3 |- 1 =/= 3
7		mulrndx 13158	. . 3 |- ( .r ` ndx ) = 3
8	6, 7	neeqtrri 2429	. 2 |- 1 =/= ( .r ` ndx )
9	3, 8	eqnetri 2423	1 |- ( Base ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )

Syntax hints:   =/= wne 2400   ` cfv 5317   1c1 7996   3c3 9158   ndxcnx 13024   Basecbs 13027   .rcmulr 13106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-ov 6003  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-mulr 13119

This theorem is referenced by:  ressmulrg  13173  imasbas  13335  imasmulr  13337  opprbasg  14033