Theorem basendxnmulrndx 13216

Description: The slot for the base set is not the slot for the ring (multiplication) operation in an extensible structure. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
basendxnmulrndx	|- ( Base ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )

Proof of Theorem basendxnmulrndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-base 13087	. . 3 |- Base = Slot 1
2		1nn 9153	. . 3 |- 1 e. NN
3	1, 2	ndxarg 13104	. 2 |- ( Base ` ndx ) = 1
4		1re 8177	. . . 4 |- 1 e. RR
5		1lt3 9314	. . . 4 |- 1 < 3
6	4, 5	ltneii 8275	. . 3 |- 1 =/= 3
7		mulrndx 13212	. . 3 |- ( .r ` ndx ) = 3
8	6, 7	neeqtrri 2431	. 2 |- 1 =/= ( .r ` ndx )
9	3, 8	eqnetri 2425	1 |- ( Base ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )

Syntax hints:   =/= wne 2402   ` cfv 5326   1c1 8032   3c3 9194   ndxcnx 13078   Basecbs 13081   .rcmulr 13160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-ov 6020  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-mulr 13173

This theorem is referenced by:  ressmulrg  13227  imasbas  13389  imasmulr  13391  opprbasg  14087