Theorem basendxnmulrndx 13207

Description: The slot for the base set is not the slot for the ring (multiplication) operation in an extensible structure. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
basendxnmulrndx	|- ( Base ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )

Proof of Theorem basendxnmulrndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-base 13078	. . 3 |- Base = Slot 1
2		1nn 9144	. . 3 |- 1 e. NN
3	1, 2	ndxarg 13095	. 2 |- ( Base ` ndx ) = 1
4		1re 8168	. . . 4 |- 1 e. RR
5		1lt3 9305	. . . 4 |- 1 < 3
6	4, 5	ltneii 8266	. . 3 |- 1 =/= 3
7		mulrndx 13203	. . 3 |- ( .r ` ndx ) = 3
8	6, 7	neeqtrri 2429	. 2 |- 1 =/= ( .r ` ndx )
9	3, 8	eqnetri 2423	1 |- ( Base ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )

Syntax hints:   =/= wne 2400   ` cfv 5324   1c1 8023   3c3 9185   ndxcnx 13069   Basecbs 13072   .rcmulr 13151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-ov 6016  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-mulr 13164

This theorem is referenced by:  ressmulrg  13218  imasbas  13380  imasmulr  13382  opprbasg  14078