Theorem ltsubpos 8733

Description: Subtracting a positive number from another number decreases it. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ltsubpos	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ (𝐵 − 𝐴) < 𝐵))

Proof of Theorem ltsubpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltaddpos 8731	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ 𝐵 < (𝐵 + 𝐴)))
2		ltsubadd 8711	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 𝐴) < 𝐵 ↔ 𝐵 < (𝐵 + 𝐴)))
3	2	3anidm13 1333	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 𝐴) < 𝐵 ↔ 𝐵 < (𝐵 + 𝐴)))
4	3	ancoms 268	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 𝐴) < 𝐵 ↔ 𝐵 < (𝐵 + 𝐴)))
5	1, 4	bitr4d 191	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ (𝐵 − 𝐴) < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052  ℝcr 8131  0cc0 8132   + caddc 8135   < clt 8313   − cmin 8449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-addass 8234  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-cnre 8243  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-ltxr 8318  df-sub 8451  df-neg 8452

This theorem is referenced by:  ltsubposd  8810  ltsubrp  10029  ubmelfzo  10552  ubmelm1fzo  10578  ndvdsadd  12625  sinq12gt0  15744