ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltsubpos GIF version

Theorem ltsubpos 8230
Description: Subtracting a positive number from another number decreases it. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
ltsubpos ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ (𝐵𝐴) < 𝐵))

Proof of Theorem ltsubpos
StepHypRef Expression
1 ltaddpos 8228 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴𝐵 < (𝐵 + 𝐴)))
2 ltsubadd 8208 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐴) < 𝐵𝐵 < (𝐵 + 𝐴)))
323anidm13 1274 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐴) < 𝐵𝐵 < (𝐵 + 𝐴)))
43ancoms 266 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵𝐴) < 𝐵𝐵 < (𝐵 + 𝐴)))
51, 4bitr4d 190 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ (𝐵𝐴) < 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  cr 7633  0cc0 7634   + caddc 7637   < clt 7814  cmin 7947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-addcom 7734  ax-addass 7736  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-cnre 7745  ax-pre-ltadd 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-ltxr 7819  df-sub 7949  df-neg 7950
This theorem is referenced by:  ltsubposd  8307  ltsubrp  9492  ubmelfzo  9991  ubmelm1fzo  10017  ndvdsadd  11641  sinq12gt0  12935
  Copyright terms: Public domain W3C validator