ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ndvdsadd Unicode version
Theorem ndvdsadd 12716
Description: Corollary of the division algorithm. If an integer D greater than 1 divides N, then it does not divide any of N + 1, N + 2... N + ( D - 1 ). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
ndvdsadd |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( D || N -> -. D || ( N + K ) ) )
Proof of Theorem ndvdsadd
StepHypRef Expression
1 nnre 9314 . . . . . . . . 9 |- ( K e. NN -> K e. RR )
2 nnre 9314 . . . . . . . . 9 |- ( D e. NN -> D e. RR )
3 posdif 8785 . . . . . . . . 9 |- ( ( K e. RR /\ D e. RR ) -> ( K < D <-> 0 < ( D - K ) ) )
41, 2, 3syl2anr 290 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. NN /\ K e. NN ) -> ( K < D <-> 0 < ( D - K ) ) )
54pm5.32i 458 . . . . . . 7 |- ( ( ( D e. NN /\ K e. NN ) /\ K < D ) <-> ( ( D e. NN /\ K e. NN ) /\ 0 < ( D - K ) ) )
6 nnz 9668 . . . . . . . . 9 |- ( D e. NN -> D e. ZZ )
7 nnz 9668 . . . . . . . . 9 |- ( K e. NN -> K e. ZZ )
8 zsubcl 9690 . . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( D - K ) e. ZZ )
96, 7, 8syl2an 289 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. NN /\ K e. NN ) -> ( D - K ) e. ZZ )
10 elnnz 9659 . . . . . . . . 9 |- ( ( D - K ) e. NN <-> ( ( D - K ) e. ZZ /\ 0 < ( D - K ) ) )
1110biimpri 133 . . . . . . . 8 |- ( ( ( D - K ) e. ZZ /\ 0 < ( D - K ) ) -> ( D - K ) e. NN )
129, 11sylan 283 . . . . . . 7 |- ( ( ( D e. NN /\ K e. NN ) /\ 0 < ( D - K ) ) -> ( D - K ) e. NN )
135, 12sylbi 121 . . . . . 6 |- ( ( ( D e. NN /\ K e. NN ) /\ K < D ) -> ( D - K ) e. NN )
1413anasss 403 . . . . 5 |- ( ( D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( D - K ) e. NN )
15 nngt0 9332 . . . . . . . 8 |- ( K e. NN -> 0 < K )
16 ltsubpos 8784 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. RR /\ D e. RR ) -> ( 0 < K <-> ( D - K ) < D ) )
171, 2, 16syl2an 289 . . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN /\ D e. NN ) -> ( 0 < K <-> ( D - K ) < D ) )
1817biimpd 144 . . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN /\ D e. NN ) -> ( 0 < K -> ( D - K ) < D ) )
1918expcom 116 . . . . . . . 8 |- ( D e. NN -> ( K e. NN -> ( 0 < K -> ( D - K ) < D ) ) )
2015, 19mpdi 43 . . . . . . 7 |- ( D e. NN -> ( K e. NN -> ( D - K ) < D ) )
2120imp 124 . . . . . 6 |- ( ( D e. NN /\ K e. NN ) -> ( D - K ) < D )
2221adantrr 483 . . . . 5 |- ( ( D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( D - K ) < D )
2314, 22jca 306 . . . 4 |- ( ( D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( ( D - K ) e. NN /\ ( D - K ) < D ) )
24233adant1 1046 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( ( D - K ) e. NN /\ ( D - K ) < D ) )
25 ndvdssub 12715 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( ( D - K ) e. NN /\ ( D - K ) < D ) ) -> ( D || N -> -. D || ( N - ( D - K ) ) ) )
2624, 25syld3an3 1323 . 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( D || N -> -. D || ( N - ( D - K ) ) ) )
27 zaddcl 9689 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
287, 27sylan2 286 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. NN ) -> ( N + K ) e. ZZ )
29 dvdssubr 12624 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. ZZ /\ ( N + K ) e. ZZ ) -> ( D || ( N + K ) <-> D || ( ( N + K ) - D ) ) )
306, 28, 29syl2an 289 . . . . . . 7 |- ( ( D e. NN /\ ( N e. ZZ /\ K e. NN ) ) -> ( D || ( N + K ) <-> D || ( ( N + K ) - D ) ) )
3130an12s 571 . . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ ( D e. NN /\ K e. NN ) ) -> ( D || ( N + K ) <-> D || ( ( N + K ) - D ) ) )
32313impb 1230 . . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ K e. NN ) -> ( D || ( N + K ) <-> D || ( ( N + K ) - D ) ) )
33 zcn 9654 . . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
34 nncn 9315 . . . . . . 7 |- ( D e. NN -> D e. CC )
35 nncn 9315 . . . . . . 7 |- ( K e. NN -> K e. CC )
36 subsub3 8560 . . . . . . 7 |- ( ( N e. CC /\ D e. CC /\ K e. CC ) -> ( N - ( D - K ) ) = ( ( N + K ) - D ) )
3733, 34, 35, 36syl3an 1320 . . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ K e. NN ) -> ( N - ( D - K ) ) = ( ( N + K ) - D ) )
3837breq2d 4142 . . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ K e. NN ) -> ( D || ( N - ( D - K ) ) <-> D || ( ( N + K ) - D ) ) )
3932, 38bitr4d 191 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ K e. NN ) -> ( D || ( N + K ) <-> D || ( N - ( D - K ) ) ) )
4039notbid 677 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ K e. NN ) -> ( -. D || ( N + K ) <-> -. D || ( N - ( D - K ) ) ) )
41403adant3r 1266 . 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( -. D || ( N + K ) <-> -. D || ( N - ( D - K ) ) ) )
4226, 41sylibrd 169 1 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( D || N -> -. D || ( N + K ) ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   CCcc 8178   RRcr 8179   0cc0 8180   + caddc 8183   < clt 8361   - cmin 8499   NNcn 9307   ZZcz 9649   || cdvds 12572
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-fl 10716  df-mod 10774  df-seqfrec 10899  df-exp 10990  df-cj 11622  df-re 11623  df-im 11624  df-rsqrt 11779  df-abs 11780  df-dvds 12573
This theorem is used by:  ndvdsp1  12717  ndvdsi  12718
  Copyright terms: Public domain W3C validator