ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ndvdsadd Unicode version
Theorem ndvdsadd 12553
Description: Corollary of the division algorithm. If an integer D greater than 1 divides N, then it does not divide any of N + 1, N + 2... N + ( D - 1 ). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
ndvdsadd |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( D || N -> -. D || ( N + K ) ) )
Proof of Theorem ndvdsadd
StepHypRef Expression
1 nnre 9193 . . . . . . . . 9 |- ( K e. NN -> K e. RR )
2 nnre 9193 . . . . . . . . 9 |- ( D e. NN -> D e. RR )
3 posdif 8678 . . . . . . . . 9 |- ( ( K e. RR /\ D e. RR ) -> ( K < D <-> 0 < ( D - K ) ) )
41, 2, 3syl2anr 290 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. NN /\ K e. NN ) -> ( K < D <-> 0 < ( D - K ) ) )
54pm5.32i 454 . . . . . . 7 |- ( ( ( D e. NN /\ K e. NN ) /\ K < D ) <-> ( ( D e. NN /\ K e. NN ) /\ 0 < ( D - K ) ) )
6 nnz 9541 . . . . . . . . 9 |- ( D e. NN -> D e. ZZ )
7 nnz 9541 . . . . . . . . 9 |- ( K e. NN -> K e. ZZ )
8 zsubcl 9563 . . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( D - K ) e. ZZ )
96, 7, 8syl2an 289 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. NN /\ K e. NN ) -> ( D - K ) e. ZZ )
10 elnnz 9532 . . . . . . . . 9 |- ( ( D - K ) e. NN <-> ( ( D - K ) e. ZZ /\ 0 < ( D - K ) ) )
1110biimpri 133 . . . . . . . 8 |- ( ( ( D - K ) e. ZZ /\ 0 < ( D - K ) ) -> ( D - K ) e. NN )
129, 11sylan 283 . . . . . . 7 |- ( ( ( D e. NN /\ K e. NN ) /\ 0 < ( D - K ) ) -> ( D - K ) e. NN )
135, 12sylbi 121 . . . . . 6 |- ( ( ( D e. NN /\ K e. NN ) /\ K < D ) -> ( D - K ) e. NN )
1413anasss 399 . . . . 5 |- ( ( D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( D - K ) e. NN )
15 nngt0 9211 . . . . . . . 8 |- ( K e. NN -> 0 < K )
16 ltsubpos 8677 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. RR /\ D e. RR ) -> ( 0 < K <-> ( D - K ) < D ) )
171, 2, 16syl2an 289 . . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN /\ D e. NN ) -> ( 0 < K <-> ( D - K ) < D ) )
1817biimpd 144 . . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN /\ D e. NN ) -> ( 0 < K -> ( D - K ) < D ) )
1918expcom 116 . . . . . . . 8 |- ( D e. NN -> ( K e. NN -> ( 0 < K -> ( D - K ) < D ) ) )
2015, 19mpdi 43 . . . . . . 7 |- ( D e. NN -> ( K e. NN -> ( D - K ) < D ) )
2120imp 124 . . . . . 6 |- ( ( D e. NN /\ K e. NN ) -> ( D - K ) < D )
2221adantrr 479 . . . . 5 |- ( ( D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( D - K ) < D )
2314, 22jca 306 . . . 4 |- ( ( D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( ( D - K ) e. NN /\ ( D - K ) < D ) )
24233adant1 1042 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( ( D - K ) e. NN /\ ( D - K ) < D ) )
25 ndvdssub 12552 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( ( D - K ) e. NN /\ ( D - K ) < D ) ) -> ( D || N -> -. D || ( N - ( D - K ) ) ) )
2624, 25syld3an3 1319 . 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( D || N -> -. D || ( N - ( D - K ) ) ) )
27 zaddcl 9562 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
287, 27sylan2 286 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. NN ) -> ( N + K ) e. ZZ )
29 dvdssubr 12461 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. ZZ /\ ( N + K ) e. ZZ ) -> ( D || ( N + K ) <-> D || ( ( N + K ) - D ) ) )
306, 28, 29syl2an 289 . . . . . . 7 |- ( ( D e. NN /\ ( N e. ZZ /\ K e. NN ) ) -> ( D || ( N + K ) <-> D || ( ( N + K ) - D ) ) )
3130an12s 567 . . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ ( D e. NN /\ K e. NN ) ) -> ( D || ( N + K ) <-> D || ( ( N + K ) - D ) ) )
32313impb 1226 . . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ K e. NN ) -> ( D || ( N + K ) <-> D || ( ( N + K ) - D ) ) )
33 zcn 9527 . . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
34 nncn 9194 . . . . . . 7 |- ( D e. NN -> D e. CC )
35 nncn 9194 . . . . . . 7 |- ( K e. NN -> K e. CC )
36 subsub3 8454 . . . . . . 7 |- ( ( N e. CC /\ D e. CC /\ K e. CC ) -> ( N - ( D - K ) ) = ( ( N + K ) - D ) )
3733, 34, 35, 36syl3an 1316 . . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ K e. NN ) -> ( N - ( D - K ) ) = ( ( N + K ) - D ) )
3837breq2d 4105 . . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ K e. NN ) -> ( D || ( N - ( D - K ) ) <-> D || ( ( N + K ) - D ) ) )
3932, 38bitr4d 191 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ K e. NN ) -> ( D || ( N + K ) <-> D || ( N - ( D - K ) ) ) )
4039notbid 673 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ K e. NN ) -> ( -. D || ( N + K ) <-> -. D || ( N - ( D - K ) ) ) )
41403adant3r 1262 . 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( -. D || ( N + K ) <-> -. D || ( N - ( D - K ) ) ) )
4226, 41sylibrd 169 1 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( D || N -> -. D || ( N + K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   CCcc 8073   RRcr 8074   0cc0 8075   + caddc 8078   < clt 8257   - cmin 8393   NNcn 9186   ZZcz 9522   || cdvds 12409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-fl 10574  df-mod 10629  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-dvds 12410
This theorem is referenced by:  ndvdsp1  12554  ndvdsi  12555
  Copyright terms: Public domain W3C validator