ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ndvdsadd Unicode version

Theorem ndvdsadd 11524
Description: Corollary of the division algorithm. If an integer  D greater than  1 divides  N, then it does not divide any of  N  +  1,  N  +  2...  N  +  ( D  -  1 ). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
ndvdsadd  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  K  <  D ) )  -> 
( D  ||  N  ->  -.  D  ||  ( N  +  K )
) )

Proof of Theorem ndvdsadd
StepHypRef Expression
1 nnre 8684 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  RR )
2 nnre 8684 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  RR )
3 posdif 8181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( K  <  D  <->  0  <  ( D  -  K ) ) )
41, 2, 3syl2anr 286 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( K  <  D  <->  0  <  ( D  -  K ) ) )
54pm5.32i 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  K  <  D
)  <->  ( ( D  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  0  <  ( D  -  K
) ) )
6 nnz 9024 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  ZZ )
7 nnz 9024 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  ZZ )
8 zsubcl 9046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( D  -  K
)  e.  ZZ )
96, 7, 8syl2an 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( D  -  K
)  e.  ZZ )
10 elnnz 9015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  -  K )  e.  NN  <->  ( ( D  -  K )  e.  ZZ  /\  0  < 
( D  -  K
) ) )
1110biimpri 132 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  -  K
)  e.  ZZ  /\  0  <  ( D  -  K ) )  -> 
( D  -  K
)  e.  NN )
129, 11sylan 279 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  0  <  ( D  -  K )
)  ->  ( D  -  K )  e.  NN )
135, 12sylbi 120 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  K  e.  NN )  /\  K  <  D
)  ->  ( D  -  K )  e.  NN )
1413anasss 394 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  K  <  D ) )  ->  ( D  -  K )  e.  NN )
15 nngt0 8702 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN  ->  0  <  K )
16 ltsubpos 8180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( 0  <  K  <->  ( D  -  K )  <  D ) )
171, 2, 16syl2an 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( 0  <  K  <->  ( D  -  K )  <  D ) )
1817biimpd 143 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  NN  /\  D  e.  NN )  ->  ( 0  <  K  ->  ( D  -  K
)  <  D )
)
1918expcom 115 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  NN  ->  ( K  e.  NN  ->  ( 0  <  K  -> 
( D  -  K
)  <  D )
) )
2015, 19mpdi 43 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  NN  ->  ( K  e.  NN  ->  ( D  -  K )  <  D ) )
2120imp 123 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( D  -  K
)  <  D )
2221adantrr 468 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  K  <  D ) )  ->  ( D  -  K )  <  D
)
2314, 22jca 302 . . . 4  |-  ( ( D  e.  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  K  <  D ) )  ->  ( ( D  -  K )  e.  NN  /\  ( D  -  K )  < 
D ) )
24233adant1 982 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  K  <  D ) )  -> 
( ( D  -  K )  e.  NN  /\  ( D  -  K
)  <  D )
)
25 ndvdssub 11523 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  (
( D  -  K
)  e.  NN  /\  ( D  -  K
)  <  D )
)  ->  ( D  ||  N  ->  -.  D  ||  ( N  -  ( D  -  K )
) ) )
2624, 25syld3an3 1244 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  K  <  D ) )  -> 
( D  ||  N  ->  -.  D  ||  ( N  -  ( D  -  K ) ) ) )
27 zaddcl 9045 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N  +  K
)  e.  ZZ )
287, 27sylan2 282 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN )  ->  ( N  +  K
)  e.  ZZ )
29 dvdssubr 11435 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  ( N  +  K
)  e.  ZZ )  ->  ( D  ||  ( N  +  K
)  <->  D  ||  ( ( N  +  K )  -  D ) ) )
306, 28, 29syl2an 285 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  NN  /\  ( N  e.  ZZ  /\  K  e.  NN ) )  ->  ( D  ||  ( N  +  K
)  <->  D  ||  ( ( N  +  K )  -  D ) ) )
3130an12s 537 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( D  e.  NN  /\  K  e.  NN ) )  ->  ( D  ||  ( N  +  K
)  <->  D  ||  ( ( N  +  K )  -  D ) ) )
32313impb 1160 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( D  ||  ( N  +  K )  <->  D  ||  (
( N  +  K
)  -  D ) ) )
33 zcn 9010 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
34 nncn 8685 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  CC )
35 nncn 8685 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  CC )
36 subsub3 7958 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  D  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( N  -  ( D  -  K ) )  =  ( ( N  +  K )  -  D
) )
3733, 34, 35, 36syl3an 1241 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( N  -  ( D  -  K ) )  =  ( ( N  +  K )  -  D
) )
3837breq2d 3909 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( D  ||  ( N  -  ( D  -  K
) )  <->  D  ||  (
( N  +  K
)  -  D ) ) )
3932, 38bitr4d 190 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( D  ||  ( N  +  K )  <->  D  ||  ( N  -  ( D  -  K ) ) ) )
4039notbid 639 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  K  e.  NN )  ->  ( -.  D  ||  ( N  +  K )  <->  -.  D  ||  ( N  -  ( D  -  K )
) ) )
41403adant3r 1196 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  K  <  D ) )  -> 
( -.  D  ||  ( N  +  K
)  <->  -.  D  ||  ( N  -  ( D  -  K ) ) ) )
4226, 41sylibrd 168 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN  /\  ( K  e.  NN  /\  K  <  D ) )  -> 
( D  ||  N  ->  -.  D  ||  ( N  +  K )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740   CCcc 7582   RRcr 7583   0cc0 7584    + caddc 7587    < clt 7764    - cmin 7897   NNcn 8677   ZZcz 9005    || cdvds 11389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-fl 9983  df-mod 10036  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-dvds 11390
This theorem is referenced by:  ndvdsp1  11525  ndvdsi  11526
  Copyright terms: Public domain W3C validator