Theorem ndvdsadd 12312

Description: Corollary of the division algorithm. If an integer D greater than 1 divides N, then it does not divide any of N + 1, N + 2... N + ( D - 1 ). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ndvdsadd	|- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( D || N -> -. D || ( N + K ) ) )

Proof of Theorem ndvdsadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9058	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN -> K e. RR )
2		nnre 9058	. . . . . . . . 9 |- ( D e. NN -> D e. RR )
3		posdif 8543	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. RR /\ D e. RR ) -> ( K < D <-> 0 < ( D - K ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anr 290	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. NN /\ K e. NN ) -> ( K < D <-> 0 < ( D - K ) ) )
5	4	pm5.32i 454	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. NN /\ K e. NN ) /\ K < D ) <-> ( ( D e. NN /\ K e. NN ) /\ 0 < ( D - K ) ) )
6		nnz 9406	. . . . . . . . 9 |- ( D e. NN -> D e. ZZ )
7		nnz 9406	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN -> K e. ZZ )
8		zsubcl 9428	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( D - K ) e. ZZ )
9	6, 7, 8	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. NN /\ K e. NN ) -> ( D - K ) e. ZZ )
10		elnnz 9397	. . . . . . . . 9 |- ( ( D - K ) e. NN <-> ( ( D - K ) e. ZZ /\ 0 < ( D - K ) ) )
11	10	biimpri 133	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D - K ) e. ZZ /\ 0 < ( D - K ) ) -> ( D - K ) e. NN )
12	9, 11	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. NN /\ K e. NN ) /\ 0 < ( D - K ) ) -> ( D - K ) e. NN )
13	5, 12	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. NN /\ K e. NN ) /\ K < D ) -> ( D - K ) e. NN )
14	13	anasss 399	. . . . 5 |- ( ( D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( D - K ) e. NN )
15		nngt0 9076	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN -> 0 < K )
16		ltsubpos 8542	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. RR /\ D e. RR ) -> ( 0 < K <-> ( D - K ) < D ) )
17	1, 2, 16	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN /\ D e. NN ) -> ( 0 < K <-> ( D - K ) < D ) )
18	17	biimpd 144	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN /\ D e. NN ) -> ( 0 < K -> ( D - K ) < D ) )
19	18	expcom 116	. . . . . . . 8 |- ( D e. NN -> ( K e. NN -> ( 0 < K -> ( D - K ) < D ) ) )
20	15, 19	mpdi 43	. . . . . . 7 |- ( D e. NN -> ( K e. NN -> ( D - K ) < D ) )
21	20	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( D e. NN /\ K e. NN ) -> ( D - K ) < D )
22	21	adantrr 479	. . . . 5 |- ( ( D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( D - K ) < D )
23	14, 22	jca 306	. . . 4 |- ( ( D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( ( D - K ) e. NN /\ ( D - K ) < D ) )
24	23	3adant1 1018	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( ( D - K ) e. NN /\ ( D - K ) < D ) )
25		ndvdssub 12311	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( ( D - K ) e. NN /\ ( D - K ) < D ) ) -> ( D || N -> -. D || ( N - ( D - K ) ) ) )
26	24, 25	syld3an3 1295	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( D || N -> -. D || ( N - ( D - K ) ) ) )
27		zaddcl 9427	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
28	7, 27	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. NN ) -> ( N + K ) e. ZZ )
29		dvdssubr 12220	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ZZ /\ ( N + K ) e. ZZ ) -> ( D || ( N + K ) <-> D || ( ( N + K ) - D ) ) )
30	6, 28, 29	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( D e. NN /\ ( N e. ZZ /\ K e. NN ) ) -> ( D || ( N + K ) <-> D || ( ( N + K ) - D ) ) )
31	30	an12s 565	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ ( D e. NN /\ K e. NN ) ) -> ( D || ( N + K ) <-> D || ( ( N + K ) - D ) ) )
32	31	3impb 1202	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ K e. NN ) -> ( D || ( N + K ) <-> D || ( ( N + K ) - D ) ) )
33		zcn 9392	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
34		nncn 9059	. . . . . . 7 |- ( D e. NN -> D e. CC )
35		nncn 9059	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> K e. CC )
36		subsub3 8319	. . . . . . 7 |- ( ( N e. CC /\ D e. CC /\ K e. CC ) -> ( N - ( D - K ) ) = ( ( N + K ) - D ) )
37	33, 34, 35, 36	syl3an 1292	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ K e. NN ) -> ( N - ( D - K ) ) = ( ( N + K ) - D ) )
38	37	breq2d 4062	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ K e. NN ) -> ( D || ( N - ( D - K ) ) <-> D || ( ( N + K ) - D ) ) )
39	32, 38	bitr4d 191	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ K e. NN ) -> ( D || ( N + K ) <-> D || ( N - ( D - K ) ) ) )
40	39	notbid 669	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ K e. NN ) -> ( -. D || ( N + K ) <-> -. D || ( N - ( D - K ) ) ) )
41	40	3adant3r 1238	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( -. D || ( N + K ) <-> -. D || ( N - ( D - K ) ) ) )
42	26, 41	sylibrd 169	1 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( D || N -> -. D || ( N + K ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   class class class wbr 4050  (class class class)co 5956   CCcc 7938   RRcr 7939   0cc0 7940   + caddc 7943   < clt 8122   - cmin 8258   NNcn 9051   ZZcz 9387   || cdvds 12168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-iinf 4643  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-mulrcl 8039  ax-addcom 8040  ax-mulcom 8041  ax-addass 8042  ax-mulass 8043  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-1rid 8047  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-precex 8050  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056  ax-pre-mulgt0 8057  ax-pre-mulext 8058  ax-arch 8059

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-tr 4150  df-id 4347  df-po 4350  df-iso 4351  df-iord 4420  df-on 4422  df-ilim 4423  df-suc 4425  df-iom 4646  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-recs 6403  df-frec 6489  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-reap 8663  df-ap 8670  df-div 8761  df-inn 9052  df-2 9110  df-n0 9311  df-z 9388  df-uz 9664  df-q 9756  df-rp 9791  df-fl 10430  df-mod 10485  df-seqfrec 10610  df-exp 10701  df-cj 11223  df-re 11224  df-im 11225  df-rsqrt 11379  df-abs 11380  df-dvds 12169

This theorem is referenced by:  ndvdsp1  12313  ndvdsi  12314