Theorem ndvdsadd 12428

Description: Corollary of the division algorithm. If an integer D greater than 1 divides N, then it does not divide any of N + 1, N + 2... N + ( D - 1 ). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ndvdsadd	|- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( D || N -> -. D || ( N + K ) ) )

Proof of Theorem ndvdsadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 9105	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN -> K e. RR )
2		nnre 9105	. . . . . . . . 9 |- ( D e. NN -> D e. RR )
3		posdif 8590	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. RR /\ D e. RR ) -> ( K < D <-> 0 < ( D - K ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anr 290	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. NN /\ K e. NN ) -> ( K < D <-> 0 < ( D - K ) ) )
5	4	pm5.32i 454	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. NN /\ K e. NN ) /\ K < D ) <-> ( ( D e. NN /\ K e. NN ) /\ 0 < ( D - K ) ) )
6		nnz 9453	. . . . . . . . 9 |- ( D e. NN -> D e. ZZ )
7		nnz 9453	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN -> K e. ZZ )
8		zsubcl 9475	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( D - K ) e. ZZ )
9	6, 7, 8	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. NN /\ K e. NN ) -> ( D - K ) e. ZZ )
10		elnnz 9444	. . . . . . . . 9 |- ( ( D - K ) e. NN <-> ( ( D - K ) e. ZZ /\ 0 < ( D - K ) ) )
11	10	biimpri 133	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D - K ) e. ZZ /\ 0 < ( D - K ) ) -> ( D - K ) e. NN )
12	9, 11	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. NN /\ K e. NN ) /\ 0 < ( D - K ) ) -> ( D - K ) e. NN )
13	5, 12	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. NN /\ K e. NN ) /\ K < D ) -> ( D - K ) e. NN )
14	13	anasss 399	. . . . 5 |- ( ( D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( D - K ) e. NN )
15		nngt0 9123	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN -> 0 < K )
16		ltsubpos 8589	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. RR /\ D e. RR ) -> ( 0 < K <-> ( D - K ) < D ) )
17	1, 2, 16	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN /\ D e. NN ) -> ( 0 < K <-> ( D - K ) < D ) )
18	17	biimpd 144	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN /\ D e. NN ) -> ( 0 < K -> ( D - K ) < D ) )
19	18	expcom 116	. . . . . . . 8 |- ( D e. NN -> ( K e. NN -> ( 0 < K -> ( D - K ) < D ) ) )
20	15, 19	mpdi 43	. . . . . . 7 |- ( D e. NN -> ( K e. NN -> ( D - K ) < D ) )
21	20	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( D e. NN /\ K e. NN ) -> ( D - K ) < D )
22	21	adantrr 479	. . . . 5 |- ( ( D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( D - K ) < D )
23	14, 22	jca 306	. . . 4 |- ( ( D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( ( D - K ) e. NN /\ ( D - K ) < D ) )
24	23	3adant1 1039	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( ( D - K ) e. NN /\ ( D - K ) < D ) )
25		ndvdssub 12427	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( ( D - K ) e. NN /\ ( D - K ) < D ) ) -> ( D || N -> -. D || ( N - ( D - K ) ) ) )
26	24, 25	syld3an3 1316	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( D || N -> -. D || ( N - ( D - K ) ) ) )
27		zaddcl 9474	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
28	7, 27	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. NN ) -> ( N + K ) e. ZZ )
29		dvdssubr 12336	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. ZZ /\ ( N + K ) e. ZZ ) -> ( D || ( N + K ) <-> D || ( ( N + K ) - D ) ) )
30	6, 28, 29	syl2an 289	. . . . . . 7 |- ( ( D e. NN /\ ( N e. ZZ /\ K e. NN ) ) -> ( D || ( N + K ) <-> D || ( ( N + K ) - D ) ) )
31	30	an12s 565	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ ( D e. NN /\ K e. NN ) ) -> ( D || ( N + K ) <-> D || ( ( N + K ) - D ) ) )
32	31	3impb 1223	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ K e. NN ) -> ( D || ( N + K ) <-> D || ( ( N + K ) - D ) ) )
33		zcn 9439	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
34		nncn 9106	. . . . . . 7 |- ( D e. NN -> D e. CC )
35		nncn 9106	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> K e. CC )
36		subsub3 8366	. . . . . . 7 |- ( ( N e. CC /\ D e. CC /\ K e. CC ) -> ( N - ( D - K ) ) = ( ( N + K ) - D ) )
37	33, 34, 35, 36	syl3an 1313	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ K e. NN ) -> ( N - ( D - K ) ) = ( ( N + K ) - D ) )
38	37	breq2d 4094	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ K e. NN ) -> ( D || ( N - ( D - K ) ) <-> D || ( ( N + K ) - D ) ) )
39	32, 38	bitr4d 191	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ K e. NN ) -> ( D || ( N + K ) <-> D || ( N - ( D - K ) ) ) )
40	39	notbid 671	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ K e. NN ) -> ( -. D || ( N + K ) <-> -. D || ( N - ( D - K ) ) ) )
41	40	3adant3r 1259	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( -. D || ( N + K ) <-> -. D || ( N - ( D - K ) ) ) )
42	26, 41	sylibrd 169	1 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( D || N -> -. D || ( N + K ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4082  (class class class)co 5994   CCcc 7985   RRcr 7986   0cc0 7987   + caddc 7990   < clt 8169   - cmin 8305   NNcn 9098   ZZcz 9434   || cdvds 12284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-frec 6527  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-q 9803  df-rp 9838  df-fl 10477  df-mod 10532  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341  df-rsqrt 11495  df-abs 11496  df-dvds 12285

This theorem is referenced by:  ndvdsp1  12429  ndvdsi  12430