ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ndvdsadd Unicode version
Theorem ndvdsadd 11664
Description: Corollary of the division algorithm. If an integer D greater than 1 divides N, then it does not divide any of N + 1, N + 2... N + ( D - 1 ). (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
ndvdsadd |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( D || N -> -. D || ( N + K ) ) )
Proof of Theorem ndvdsadd
StepHypRef Expression
1 nnre 8751 . . . . . . . . 9 |- ( K e. NN -> K e. RR )
2 nnre 8751 . . . . . . . . 9 |- ( D e. NN -> D e. RR )
3 posdif 8241 . . . . . . . . 9 |- ( ( K e. RR /\ D e. RR ) -> ( K < D <-> 0 < ( D - K ) ) )
41, 2, 3syl2anr 288 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. NN /\ K e. NN ) -> ( K < D <-> 0 < ( D - K ) ) )
54pm5.32i 450 . . . . . . 7 |- ( ( ( D e. NN /\ K e. NN ) /\ K < D ) <-> ( ( D e. NN /\ K e. NN ) /\ 0 < ( D - K ) ) )
6 nnz 9097 . . . . . . . . 9 |- ( D e. NN -> D e. ZZ )
7 nnz 9097 . . . . . . . . 9 |- ( K e. NN -> K e. ZZ )
8 zsubcl 9119 . . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( D - K ) e. ZZ )
96, 7, 8syl2an 287 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. NN /\ K e. NN ) -> ( D - K ) e. ZZ )
10 elnnz 9088 . . . . . . . . 9 |- ( ( D - K ) e. NN <-> ( ( D - K ) e. ZZ /\ 0 < ( D - K ) ) )
1110biimpri 132 . . . . . . . 8 |- ( ( ( D - K ) e. ZZ /\ 0 < ( D - K ) ) -> ( D - K ) e. NN )
129, 11sylan 281 . . . . . . 7 |- ( ( ( D e. NN /\ K e. NN ) /\ 0 < ( D - K ) ) -> ( D - K ) e. NN )
135, 12sylbi 120 . . . . . 6 |- ( ( ( D e. NN /\ K e. NN ) /\ K < D ) -> ( D - K ) e. NN )
1413anasss 397 . . . . 5 |- ( ( D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( D - K ) e. NN )
15 nngt0 8769 . . . . . . . 8 |- ( K e. NN -> 0 < K )
16 ltsubpos 8240 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. RR /\ D e. RR ) -> ( 0 < K <-> ( D - K ) < D ) )
171, 2, 16syl2an 287 . . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. NN /\ D e. NN ) -> ( 0 < K <-> ( D - K ) < D ) )
1817biimpd 143 . . . . . . . . 9 |- ( ( K e. NN /\ D e. NN ) -> ( 0 < K -> ( D - K ) < D ) )
1918expcom 115 . . . . . . . 8 |- ( D e. NN -> ( K e. NN -> ( 0 < K -> ( D - K ) < D ) ) )
2015, 19mpdi 43 . . . . . . 7 |- ( D e. NN -> ( K e. NN -> ( D - K ) < D ) )
2120imp 123 . . . . . 6 |- ( ( D e. NN /\ K e. NN ) -> ( D - K ) < D )
2221adantrr 471 . . . . 5 |- ( ( D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( D - K ) < D )
2314, 22jca 304 . . . 4 |- ( ( D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( ( D - K ) e. NN /\ ( D - K ) < D ) )
24233adant1 1000 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( ( D - K ) e. NN /\ ( D - K ) < D ) )
25 ndvdssub 11663 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( ( D - K ) e. NN /\ ( D - K ) < D ) ) -> ( D || N -> -. D || ( N - ( D - K ) ) ) )
2624, 25syld3an3 1262 . 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( D || N -> -. D || ( N - ( D - K ) ) ) )
27 zaddcl 9118 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N + K ) e. ZZ )
287, 27sylan2 284 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. NN ) -> ( N + K ) e. ZZ )
29 dvdssubr 11575 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. ZZ /\ ( N + K ) e. ZZ ) -> ( D || ( N + K ) <-> D || ( ( N + K ) - D ) ) )
306, 28, 29syl2an 287 . . . . . . 7 |- ( ( D e. NN /\ ( N e. ZZ /\ K e. NN ) ) -> ( D || ( N + K ) <-> D || ( ( N + K ) - D ) ) )
3130an12s 555 . . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ ( D e. NN /\ K e. NN ) ) -> ( D || ( N + K ) <-> D || ( ( N + K ) - D ) ) )
32313impb 1178 . . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ K e. NN ) -> ( D || ( N + K ) <-> D || ( ( N + K ) - D ) ) )
33 zcn 9083 . . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
34 nncn 8752 . . . . . . 7 |- ( D e. NN -> D e. CC )
35 nncn 8752 . . . . . . 7 |- ( K e. NN -> K e. CC )
36 subsub3 8018 . . . . . . 7 |- ( ( N e. CC /\ D e. CC /\ K e. CC ) -> ( N - ( D - K ) ) = ( ( N + K ) - D ) )
3733, 34, 35, 36syl3an 1259 . . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ K e. NN ) -> ( N - ( D - K ) ) = ( ( N + K ) - D ) )
3837breq2d 3949 . . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ K e. NN ) -> ( D || ( N - ( D - K ) ) <-> D || ( ( N + K ) - D ) ) )
3932, 38bitr4d 190 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ K e. NN ) -> ( D || ( N + K ) <-> D || ( N - ( D - K ) ) ) )
4039notbid 657 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ K e. NN ) -> ( -. D || ( N + K ) <-> -. D || ( N - ( D - K ) ) ) )
41403adant3r 1214 . 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( -. D || ( N + K ) <-> -. D || ( N - ( D - K ) ) ) )
4226, 41sylibrd 168 1 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN /\ ( K e. NN /\ K < D ) ) -> ( D || N -> -. D || ( N + K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   CCcc 7642   RRcr 7643   0cc0 7644   + caddc 7647   < clt 7824   - cmin 7957   NNcn 8744   ZZcz 9078   || cdvds 11529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-fl 10074  df-mod 10127  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-dvds 11530
This theorem is referenced by:  ndvdsp1  11665  ndvdsi  11666
  Copyright terms: Public domain W3C validator