ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ubmelfzo Unicode version

Theorem ubmelfzo 10202
Description: If an integer in a 1 based finite set of sequential integers is subtracted from the upper bound of this finite set of sequential integers, the result is contained in a half-open range of nonnegative integers with the same upper bound. (Contributed by AV, 18-Mar-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
ubmelfzo  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  ( 0..^ N ) )

Proof of Theorem ubmelfzo
StepHypRef Expression
1 simp3 999 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <_  N )  ->  K  <_  N )
2 nnnn0 9185 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  NN0 )
3 nnnn0 9185 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
42, 3anim12i 338 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)
543adant3 1017 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <_  N )  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) )
6 nn0sub 9321 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( K  <_  N  <->  ( N  -  K )  e.  NN0 ) )
75, 6syl 14 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <_  N )  ->  ( K  <_  N  <->  ( N  -  K )  e.  NN0 ) )
81, 7mpbid 147 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <_  N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
9 simp2 998 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <_  N )  ->  N  e.  NN )
10 nngt0 8946 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN  ->  0  <  K )
11103ad2ant1 1018 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <_  N )  ->  0  <  K )
12 nnre 8928 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  RR )
13 nnre 8928 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
1412, 13anim12i 338 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
15143adant3 1017 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <_  N )  ->  ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
16 ltsubpos 8413 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <  K  <->  ( N  -  K )  <  N ) )
1715, 16syl 14 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <_  N )  ->  (
0  <  K  <->  ( N  -  K )  <  N
) )
1811, 17mpbid 147 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <_  N )  ->  ( N  -  K )  <  N )
198, 9, 183jca 1177 . 2  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <_  N )  ->  (
( N  -  K
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  ( N  -  K )  <  N ) )
20 elfz1b 10092 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  <->  ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <_  N ) )
21 elfzo0 10184 . 2  |-  ( ( N  -  K )  e.  ( 0..^ N )  <->  ( ( N  -  K )  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  ( N  -  K )  <  N
) )
2219, 20, 213imtr4i 201 1  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  ( 0..^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    e. wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   RRcr 7812   0cc0 7813   1c1 7814    < clt 7994    <_ cle 7995    - cmin 8130   NNcn 8921   NN0cn0 9178   ...cfz 10010  ..^cfzo 10144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011  df-fzo 10145
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator