ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ubmelfzo Unicode version

Theorem ubmelfzo 10197
Description: If an integer in a 1 based finite set of sequential integers is subtracted from the upper bound of this finite set of sequential integers, the result is contained in a half-open range of nonnegative integers with the same upper bound. (Contributed by AV, 18-Mar-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
ubmelfzo  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  ( 0..^ N ) )

Proof of Theorem ubmelfzo
StepHypRef Expression
1 simp3 999 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <_  N )  ->  K  <_  N )
2 nnnn0 9181 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  NN0 )
3 nnnn0 9181 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
42, 3anim12i 338 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)
543adant3 1017 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <_  N )  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) )
6 nn0sub 9317 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( K  <_  N  <->  ( N  -  K )  e.  NN0 ) )
75, 6syl 14 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <_  N )  ->  ( K  <_  N  <->  ( N  -  K )  e.  NN0 ) )
81, 7mpbid 147 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <_  N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
9 simp2 998 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <_  N )  ->  N  e.  NN )
10 nngt0 8942 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN  ->  0  <  K )
11103ad2ant1 1018 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <_  N )  ->  0  <  K )
12 nnre 8924 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  RR )
13 nnre 8924 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
1412, 13anim12i 338 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
15143adant3 1017 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <_  N )  ->  ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
16 ltsubpos 8409 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <  K  <->  ( N  -  K )  <  N ) )
1715, 16syl 14 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <_  N )  ->  (
0  <  K  <->  ( N  -  K )  <  N
) )
1811, 17mpbid 147 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <_  N )  ->  ( N  -  K )  <  N )
198, 9, 183jca 1177 . 2  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <_  N )  ->  (
( N  -  K
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  ( N  -  K )  <  N ) )
20 elfz1b 10087 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  <->  ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <_  N ) )
21 elfzo0 10179 . 2  |-  ( ( N  -  K )  e.  ( 0..^ N )  <->  ( ( N  -  K )  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  ( N  -  K )  <  N
) )
2219, 20, 213imtr4i 201 1  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  ( 0..^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    e. wcel 2148   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874   RRcr 7809   0cc0 7810   1c1 7811    < clt 7990    <_ cle 7991    - cmin 8126   NNcn 8917   NN0cn0 9174   ...cfz 10006  ..^cfzo 10139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-fz 10007  df-fzo 10140
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator