Theorem ubmelfzo 10549

Description: If an integer in a 1 based finite set of sequential integers is subtracted from the upper bound of this finite set of sequential integers, the result is contained in a half-open range of nonnegative integers with the same upper bound. (Contributed by AV, 18-Mar-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ubmelfzo	|- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N - K ) e. ( 0..^ N ) )

Proof of Theorem ubmelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1026	. . . 4 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> K <_ N )
2		nnnn0 9505	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> K e. NN0 )
3		nnnn0 9505	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
4	2, 3	anim12i 338	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) )
5	4	3adant3 1044	. . . . 5 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) )
6		nn0sub 9646	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K <_ N <-> ( N - K ) e. NN0 ) )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> ( K <_ N <-> ( N - K ) e. NN0 ) )
8	1, 7	mpbid 147	. . 3 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> ( N - K ) e. NN0 )
9		simp2 1025	. . 3 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> N e. NN )
10		nngt0 9264	. . . . 5 |- ( K e. NN -> 0 < K )
11	10	3ad2ant1 1045	. . . 4 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> 0 < K )
12		nnre 9246	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> K e. RR )
13		nnre 9246	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. RR )
14	12, 13	anim12i 338	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN ) -> ( K e. RR /\ N e. RR ) )
15	14	3adant3 1044	. . . . 5 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> ( K e. RR /\ N e. RR ) )
16		ltsubpos 8730	. . . . 5 |- ( ( K e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < K <-> ( N - K ) < N ) )
17	15, 16	syl 14	. . . 4 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> ( 0 < K <-> ( N - K ) < N ) )
18	11, 17	mpbid 147	. . 3 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> ( N - K ) < N )
19	8, 9, 18	3jca 1204	. 2 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> ( ( N - K ) e. NN0 /\ N e. NN /\ ( N - K ) < N ) )
20		elfz1b 10428	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) <-> ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) )
21		elfzo0 10524	. 2 |- ( ( N - K ) e. ( 0..^ N ) <-> ( ( N - K ) e. NN0 /\ N e. NN /\ ( N - K ) < N ) )
22	19, 20, 21	3imtr4i 201	1 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N - K ) e. ( 0..^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   e. wcel 2205   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052   RRcr 8128   0cc0 8129   1c1 8130   < clt 8310   <_ cle 8311   - cmin 8446   NNcn 9239   NN0cn0 9498   ...cfz 10345  ..^cfzo 10480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346  df-fzo 10481

This theorem is referenced by: (None)