ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ubmelfzo Unicode version

Theorem ubmelfzo 9928
Description: If an integer in a 1 based finite set of sequential integers is subtracted from the upper bound of this finite set of sequential integers, the result is contained in a half-open range of nonnegative integers with the same upper bound. (Contributed by AV, 18-Mar-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
ubmelfzo  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  ( 0..^ N ) )

Proof of Theorem ubmelfzo
StepHypRef Expression
1 simp3 966 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <_  N )  ->  K  <_  N )
2 nnnn0 8938 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  NN0 )
3 nnnn0 8938 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
42, 3anim12i 334 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )
)
543adant3 984 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <_  N )  ->  ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) )
6 nn0sub 9074 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( K  <_  N  <->  ( N  -  K )  e.  NN0 ) )
75, 6syl 14 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <_  N )  ->  ( K  <_  N  <->  ( N  -  K )  e.  NN0 ) )
81, 7mpbid 146 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <_  N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
9 simp2 965 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <_  N )  ->  N  e.  NN )
10 nngt0 8705 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN  ->  0  <  K )
11103ad2ant1 985 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <_  N )  ->  0  <  K )
12 nnre 8687 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN  ->  K  e.  RR )
13 nnre 8687 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
1412, 13anim12i 334 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
15143adant3 984 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <_  N )  ->  ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR ) )
16 ltsubpos 8180 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <  K  <->  ( N  -  K )  <  N ) )
1715, 16syl 14 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <_  N )  ->  (
0  <  K  <->  ( N  -  K )  <  N
) )
1811, 17mpbid 146 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <_  N )  ->  ( N  -  K )  <  N )
198, 9, 183jca 1144 . 2  |-  ( ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <_  N )  ->  (
( N  -  K
)  e.  NN0  /\  N  e.  NN  /\  ( N  -  K )  <  N ) )
20 elfz1b 9821 . 2  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  <->  ( K  e.  NN  /\  N  e.  NN  /\  K  <_  N ) )
21 elfzo0 9910 . 2  |-  ( ( N  -  K )  e.  ( 0..^ N )  <->  ( ( N  -  K )  e. 
NN0  /\  N  e.  NN  /\  ( N  -  K )  <  N
) )
2219, 20, 213imtr4i 200 1  |-  ( K  e.  ( 1 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  ( 0..^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 945    e. wcel 1463   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740   RRcr 7583   0cc0 7584   1c1 7585    < clt 7764    <_ cle 7765    - cmin 7897   NNcn 8680   NN0cn0 8931   ...cfz 9741  ..^cfzo 9870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8681  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-fz 9742  df-fzo 9871
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator