Theorem ubmelfzo 10406

Description: If an integer in a 1 based finite set of sequential integers is subtracted from the upper bound of this finite set of sequential integers, the result is contained in a half-open range of nonnegative integers with the same upper bound. (Contributed by AV, 18-Mar-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ubmelfzo	|- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N - K ) e. ( 0..^ N ) )

Proof of Theorem ubmelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1023	. . . 4 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> K <_ N )
2		nnnn0 9376	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> K e. NN0 )
3		nnnn0 9376	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
4	2, 3	anim12i 338	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) )
5	4	3adant3 1041	. . . . 5 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) )
6		nn0sub 9513	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K <_ N <-> ( N - K ) e. NN0 ) )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> ( K <_ N <-> ( N - K ) e. NN0 ) )
8	1, 7	mpbid 147	. . 3 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> ( N - K ) e. NN0 )
9		simp2 1022	. . 3 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> N e. NN )
10		nngt0 9135	. . . . 5 |- ( K e. NN -> 0 < K )
11	10	3ad2ant1 1042	. . . 4 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> 0 < K )
12		nnre 9117	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> K e. RR )
13		nnre 9117	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. RR )
14	12, 13	anim12i 338	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN ) -> ( K e. RR /\ N e. RR ) )
15	14	3adant3 1041	. . . . 5 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> ( K e. RR /\ N e. RR ) )
16		ltsubpos 8601	. . . . 5 |- ( ( K e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < K <-> ( N - K ) < N ) )
17	15, 16	syl 14	. . . 4 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> ( 0 < K <-> ( N - K ) < N ) )
18	11, 17	mpbid 147	. . 3 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> ( N - K ) < N )
19	8, 9, 18	3jca 1201	. 2 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> ( ( N - K ) e. NN0 /\ N e. NN /\ ( N - K ) < N ) )
20		elfz1b 10286	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) <-> ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) )
21		elfzo0 10382	. 2 |- ( ( N - K ) e. ( 0..^ N ) <-> ( ( N - K ) e. NN0 /\ N e. NN /\ ( N - K ) < N ) )
22	19, 20, 21	3imtr4i 201	1 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N - K ) e. ( 0..^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   e. wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001   RRcr 7998   0cc0 7999   1c1 8000   < clt 8181   <_ cle 8182   - cmin 8317   NNcn 9110   NN0cn0 9369   ...cfz 10204  ..^cfzo 10338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-fz 10205  df-fzo 10339

This theorem is referenced by: (None)