Theorem ubmelfzo 9977

Description: If an integer in a 1 based finite set of sequential integers is subtracted from the upper bound of this finite set of sequential integers, the result is contained in a half-open range of nonnegative integers with the same upper bound. (Contributed by AV, 18-Mar-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ubmelfzo	|- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N - K ) e. ( 0..^ N ) )

Proof of Theorem ubmelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 983	. . . 4 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> K <_ N )
2		nnnn0 8984	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> K e. NN0 )
3		nnnn0 8984	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
4	2, 3	anim12i 336	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) )
5	4	3adant3 1001	. . . . 5 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) )
6		nn0sub 9120	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K <_ N <-> ( N - K ) e. NN0 ) )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> ( K <_ N <-> ( N - K ) e. NN0 ) )
8	1, 7	mpbid 146	. . 3 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> ( N - K ) e. NN0 )
9		simp2 982	. . 3 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> N e. NN )
10		nngt0 8745	. . . . 5 |- ( K e. NN -> 0 < K )
11	10	3ad2ant1 1002	. . . 4 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> 0 < K )
12		nnre 8727	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> K e. RR )
13		nnre 8727	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. RR )
14	12, 13	anim12i 336	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN ) -> ( K e. RR /\ N e. RR ) )
15	14	3adant3 1001	. . . . 5 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> ( K e. RR /\ N e. RR ) )
16		ltsubpos 8216	. . . . 5 |- ( ( K e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < K <-> ( N - K ) < N ) )
17	15, 16	syl 14	. . . 4 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> ( 0 < K <-> ( N - K ) < N ) )
18	11, 17	mpbid 146	. . 3 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> ( N - K ) < N )
19	8, 9, 18	3jca 1161	. 2 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> ( ( N - K ) e. NN0 /\ N e. NN /\ ( N - K ) < N ) )
20		elfz1b 9870	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) <-> ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) )
21		elfzo0 9959	. 2 |- ( ( N - K ) e. ( 0..^ N ) <-> ( ( N - K ) e. NN0 /\ N e. NN /\ ( N - K ) < N ) )
22	19, 20, 21	3imtr4i 200	1 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N - K ) e. ( 0..^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7619   0cc0 7620   1c1 7621   < clt 7800   <_ cle 7801   - cmin 7933   NNcn 8720   NN0cn0 8977   ...cfz 9790  ..^cfzo 9919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791  df-fzo 9920

This theorem is referenced by: (None)