Theorem ubmelfzo 10156

Description: If an integer in a 1 based finite set of sequential integers is subtracted from the upper bound of this finite set of sequential integers, the result is contained in a half-open range of nonnegative integers with the same upper bound. (Contributed by AV, 18-Mar-2018.) (Revised by AV, 30-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ubmelfzo	|- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N - K ) e. ( 0..^ N ) )

Proof of Theorem ubmelfzo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 994	. . . 4 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> K <_ N )
2		nnnn0 9142	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> K e. NN0 )
3		nnnn0 9142	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
4	2, 3	anim12i 336	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) )
5	4	3adant3 1012	. . . . 5 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) )
6		nn0sub 9278	. . . . 5 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K <_ N <-> ( N - K ) e. NN0 ) )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> ( K <_ N <-> ( N - K ) e. NN0 ) )
8	1, 7	mpbid 146	. . 3 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> ( N - K ) e. NN0 )
9		simp2 993	. . 3 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> N e. NN )
10		nngt0 8903	. . . . 5 |- ( K e. NN -> 0 < K )
11	10	3ad2ant1 1013	. . . 4 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> 0 < K )
12		nnre 8885	. . . . . . 7 |- ( K e. NN -> K e. RR )
13		nnre 8885	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. RR )
14	12, 13	anim12i 336	. . . . . 6 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN ) -> ( K e. RR /\ N e. RR ) )
15	14	3adant3 1012	. . . . 5 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> ( K e. RR /\ N e. RR ) )
16		ltsubpos 8373	. . . . 5 |- ( ( K e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < K <-> ( N - K ) < N ) )
17	15, 16	syl 14	. . . 4 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> ( 0 < K <-> ( N - K ) < N ) )
18	11, 17	mpbid 146	. . 3 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> ( N - K ) < N )
19	8, 9, 18	3jca 1172	. 2 |- ( ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) -> ( ( N - K ) e. NN0 /\ N e. NN /\ ( N - K ) < N ) )
20		elfz1b 10046	. 2 |- ( K e. ( 1 ... N ) <-> ( K e. NN /\ N e. NN /\ K <_ N ) )
21		elfzo0 10138	. 2 |- ( ( N - K ) e. ( 0..^ N ) <-> ( ( N - K ) e. NN0 /\ N e. NN /\ ( N - K ) < N ) )
22	19, 20, 21	3imtr4i 200	1 |- ( K e. ( 1 ... N ) -> ( N - K ) e. ( 0..^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   e. wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   < clt 7954   <_ cle 7955   - cmin 8090   NNcn 8878   NN0cn0 9135   ...cfz 9965  ..^cfzo 10098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-fzo 10099

This theorem is referenced by: (None)