Theorem mulgnn0dir 13886

Description: Sum of group multiples, generalized to NN0. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnndir.b	|- B = ( Base ` G )
mulgnndir.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgnndir.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0dir	|- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )

Proof of Theorem mulgnn0dir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndsgrp 13651	. . . . . 6 |- ( G e. Mnd -> G e. Smgrp )
2	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) -> G e. Smgrp )
3	2	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ N e. NN ) -> G e. Smgrp )
4		simplr 529	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ N e. NN ) -> M e. NN )
5		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ N e. NN ) -> N e. NN )
6		simpr3 1032	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) -> X e. B )
7	6	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ N e. NN ) -> X e. B )
8		mulgnndir.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
9		mulgnndir.t	. . . . 5 |- .x. = (.g ` G )
10		mulgnndir.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` G )
11	8, 9, 10	mulgnndir 13885	. . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
12	3, 4, 5, 7, 11	syl13anc 1276	. . 3 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ N e. NN ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
13		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ N = 0 ) -> G e. Mnd )
14		simpr1 1030	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) -> M e. NN0 )
15	14	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ N = 0 ) -> M e. NN0 )
16		simplr3 1068	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ N = 0 ) -> X e. B )
17	8, 9	mulgnn0cl 13872	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. NN0 /\ X e. B ) -> ( M .x. X ) e. B )
18	13, 15, 16, 17	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ N = 0 ) -> ( M .x. X ) e. B )
19		eqid 2234	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
20	8, 10, 19	mndrid 13666	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M .x. X ) e. B ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( M .x. X ) )
21	13, 18, 20	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ N = 0 ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( M .x. X ) )
22		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ N = 0 ) -> N = 0 )
23	22	oveq1d 6067	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ N = 0 ) -> ( N .x. X ) = ( 0 .x. X ) )
24	8, 19, 9	mulg0 13859	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
25	16, 24	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ N = 0 ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
26	23, 25	eqtrd 2267	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ N = 0 ) -> ( N .x. X ) = ( 0g ` G ) )
27	26	oveq2d 6068	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ N = 0 ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( 0g ` G ) ) )
28	22	oveq2d 6068	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ N = 0 ) -> ( M + N ) = ( M + 0 ) )
29	15	nn0cnd 9557	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ N = 0 ) -> M e. CC )
30	29	addridd 8424	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ N = 0 ) -> ( M + 0 ) = M )
31	28, 30	eqtrd 2267	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ N = 0 ) -> ( M + N ) = M )
32	31	oveq1d 6067	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ N = 0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( M .x. X ) )
33	21, 27, 32	3eqtr4rd 2278	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ N = 0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
34	33	adantlr 477	. . 3 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ N = 0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
35		simpr2 1031	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) -> N e. NN0 )
36		elnn0 9500	. . . . 5 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
37	35, 36	sylib 122	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) -> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
38	37	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
39	12, 34, 38	mpjaodan 806	. 2 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
40		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M = 0 ) -> G e. Mnd )
41		simplr2 1067	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M = 0 ) -> N e. NN0 )
42		simplr3 1068	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M = 0 ) -> X e. B )
43	8, 9	mulgnn0cl 13872	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) e. B )
44	40, 41, 42, 43	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( N .x. X ) e. B )
45	8, 10, 19	mndlid 13665	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ ( N .x. X ) e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( N .x. X ) ) = ( N .x. X ) )
46	40, 44, 45	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( N .x. X ) ) = ( N .x. X ) )
47		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M = 0 ) -> M = 0 )
48	47	oveq1d 6067	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. X ) = ( 0 .x. X ) )
49	42, 24	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
50	48, 49	eqtrd 2267	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. X ) = ( 0g ` G ) )
51	50	oveq1d 6067	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) = ( ( 0g ` G ) .+ ( N .x. X ) ) )
52	47	oveq1d 6067	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M + N ) = ( 0 + N ) )
53	41	nn0cnd 9557	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M = 0 ) -> N e. CC )
54	53	addlidd 8425	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( 0 + N ) = N )
55	52, 54	eqtrd 2267	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M + N ) = N )
56	55	oveq1d 6067	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( N .x. X ) )
57	46, 51, 56	3eqtr4rd 2278	. 2 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
58		elnn0 9500	. . 3 |- ( M e. NN0 <-> ( M e. NN \/ M = 0 ) )
59	14, 58	sylib 122	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) -> ( M e. NN \/ M = 0 ) )
60	39, 57, 59	mpjaodan 806	1 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   0cc0 8129   + caddc 8132   NNcn 9239   NN0cn0 9498   Basecbs 13229   +g cplusg 13307   0gc0g 13486  Smgrpcsgrp 13631   Mndcmnd 13646  ._gcmg 13853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-2 9298  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-fz 10346  df-seqfrec 10814  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-plusg 13320  df-0g 13488  df-mgm 13586  df-sgrp 13632  df-mnd 13647  df-minusg 13734  df-mulg 13854

This theorem is referenced by:  mulgdirlem  13887