Theorem mulgnn0dir 13222

Description: Sum of group multiples, generalized to NN0. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnndir.b	|- B = ( Base ` G )
mulgnndir.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgnndir.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0dir	|- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )

Proof of Theorem mulgnn0dir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndsgrp 13002	. . . . . 6 |- ( G e. Mnd -> G e. Smgrp )
2	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) -> G e. Smgrp )
3	2	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ N e. NN ) -> G e. Smgrp )
4		simplr 528	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ N e. NN ) -> M e. NN )
5		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ N e. NN ) -> N e. NN )
6		simpr3 1007	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) -> X e. B )
7	6	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ N e. NN ) -> X e. B )
8		mulgnndir.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` G )
9		mulgnndir.t	. . . . 5 |- .x. = (.g ` G )
10		mulgnndir.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` G )
11	8, 9, 10	mulgnndir 13221	. . . 4 |- ( ( G e. Smgrp /\ ( M e. NN /\ N e. NN /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
12	3, 4, 5, 7, 11	syl13anc 1251	. . 3 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ N e. NN ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
13		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ N = 0 ) -> G e. Mnd )
14		simpr1 1005	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) -> M e. NN0 )
15	14	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ N = 0 ) -> M e. NN0 )
16		simplr3 1043	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ N = 0 ) -> X e. B )
17	8, 9	mulgnn0cl 13208	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. NN0 /\ X e. B ) -> ( M .x. X ) e. B )
18	13, 15, 16, 17	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ N = 0 ) -> ( M .x. X ) e. B )
19		eqid 2193	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
20	8, 10, 19	mndrid 13017	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M .x. X ) e. B ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( M .x. X ) )
21	13, 18, 20	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ N = 0 ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( M .x. X ) )
22		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ N = 0 ) -> N = 0 )
23	22	oveq1d 5933	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ N = 0 ) -> ( N .x. X ) = ( 0 .x. X ) )
24	8, 19, 9	mulg0 13195	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
25	16, 24	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ N = 0 ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
26	23, 25	eqtrd 2226	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ N = 0 ) -> ( N .x. X ) = ( 0g ` G ) )
27	26	oveq2d 5934	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ N = 0 ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) = ( ( M .x. X ) .+ ( 0g ` G ) ) )
28	22	oveq2d 5934	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ N = 0 ) -> ( M + N ) = ( M + 0 ) )
29	15	nn0cnd 9295	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ N = 0 ) -> M e. CC )
30	29	addridd 8168	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ N = 0 ) -> ( M + 0 ) = M )
31	28, 30	eqtrd 2226	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ N = 0 ) -> ( M + N ) = M )
32	31	oveq1d 5933	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ N = 0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( M .x. X ) )
33	21, 27, 32	3eqtr4rd 2237	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ N = 0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
34	33	adantlr 477	. . 3 |- ( ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M e. NN ) /\ N = 0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
35		simpr2 1006	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) -> N e. NN0 )
36		elnn0 9242	. . . . 5 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
37	35, 36	sylib 122	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) -> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
38	37	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
39	12, 34, 38	mpjaodan 799	. 2 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M e. NN ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
40		simpll 527	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M = 0 ) -> G e. Mnd )
41		simplr2 1042	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M = 0 ) -> N e. NN0 )
42		simplr3 1043	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M = 0 ) -> X e. B )
43	8, 9	mulgnn0cl 13208	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) -> ( N .x. X ) e. B )
44	40, 41, 42, 43	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( N .x. X ) e. B )
45	8, 10, 19	mndlid 13016	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ ( N .x. X ) e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( N .x. X ) ) = ( N .x. X ) )
46	40, 44, 45	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( N .x. X ) ) = ( N .x. X ) )
47		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M = 0 ) -> M = 0 )
48	47	oveq1d 5933	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. X ) = ( 0 .x. X ) )
49	42, 24	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
50	48, 49	eqtrd 2226	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M .x. X ) = ( 0g ` G ) )
51	50	oveq1d 5933	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) = ( ( 0g ` G ) .+ ( N .x. X ) ) )
52	47	oveq1d 5933	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M + N ) = ( 0 + N ) )
53	41	nn0cnd 9295	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M = 0 ) -> N e. CC )
54	53	addlidd 8169	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( 0 + N ) = N )
55	52, 54	eqtrd 2226	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( M + N ) = N )
56	55	oveq1d 5933	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( N .x. X ) )
57	46, 51, 56	3eqtr4rd 2237	. 2 |- ( ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) /\ M = 0 ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )
58		elnn0 9242	. . 3 |- ( M e. NN0 <-> ( M e. NN \/ M = 0 ) )
59	14, 58	sylib 122	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) -> ( M e. NN \/ M = 0 ) )
60	39, 57, 59	mpjaodan 799	1 |- ( ( G e. Mnd /\ ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ X e. B ) ) -> ( ( M + N ) .x. X ) = ( ( M .x. X ) .+ ( N .x. X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   0cc0 7872   + caddc 7875   NNcn 8982   NN0cn0 9240   Basecbs 12618   +g cplusg 12695   0gc0g 12867  Smgrpcsgrp 12984   Mndcmnd 12997  ._gcmg 13189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-seqfrec 10519  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-minusg 13076  df-mulg 13190

This theorem is referenced by:  mulgdirlem  13223