Theorem prdsidlem 13652

Description: Characterization of identity in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsplusgcl.y	|- Y = ( S X_s R )
prdsplusgcl.b	|- B = ( Base ` Y )
prdsplusgcl.p	|- .+ = ( +g ` Y )
prdsplusgcl.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsplusgcl.i	|- ( ph -> I e. W )
prdsplusgcl.r	|- ( ph -> R : I --> Mnd )
prdsidlem.z	|- .0. = ( 0g o. R )

Assertion

Ref	Expression
prdsidlem	|- ( ph -> ( .0. e. B /\ A. x e. B ( ( .0. .+ x ) = x /\ ( x .+ .0. ) = x ) ) )

Distinct variable groups:   x, .+   x, B   x, I   x, R   ph, x   x, S   x, V   x, W   x, Y

Allowed substitution hint:   .0. ( x)

Proof of Theorem prdsidlem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsidlem.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g o. R )
2		prdsplusgcl.r	. . . . . . 7 |- ( ph -> R : I --> Mnd )
3	2	ffvelcdmda 5811	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( R ` y ) e. Mnd )
4	3	elexd 2826	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( R ` y ) e. _V )
5	2	feqmptd 5729	. . . . 5 |- ( ph -> R = ( y e. I |-> ( R ` y ) ) )
6		fn0g 13580	. . . . . 6 |- 0g Fn _V
7		dffn5im 5721	. . . . . 6 |- ( 0g Fn _V -> 0g = ( x e. _V |-> ( 0g ` x ) ) )
8	6, 7	mp1i 10	. . . . 5 |- ( ph -> 0g = ( x e. _V |-> ( 0g ` x ) ) )
9		fveq2 5669	. . . . 5 |- ( x = ( R ` y ) -> ( 0g ` x ) = ( 0g ` ( R ` y ) ) )
10	4, 5, 8, 9	fmptco 5842	. . . 4 |- ( ph -> ( 0g o. R ) = ( y e. I |-> ( 0g ` ( R ` y ) ) ) )
11	1, 10	eqtrid 2277	. . 3 |- ( ph -> .0. = ( y e. I |-> ( 0g ` ( R ` y ) ) ) )
12		eqid 2232	. . . . . . 7 |- ( Base ` ( R ` y ) ) = ( Base ` ( R ` y ) )
13		eqid 2232	. . . . . . 7 |- ( 0g ` ( R ` y ) ) = ( 0g ` ( R ` y ) )
14	12, 13	mndidcl 13635	. . . . . 6 |- ( ( R ` y ) e. Mnd -> ( 0g ` ( R ` y ) ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
15	3, 14	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( 0g ` ( R ` y ) ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
16	15	ralrimiva 2615	. . . 4 |- ( ph -> A. y e. I ( 0g ` ( R ` y ) ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
17		prdsplusgcl.y	. . . . 5 |- Y = ( S X_s R )
18		prdsplusgcl.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` Y )
19		prdsplusgcl.s	. . . . 5 |- ( ph -> S e. V )
20		prdsplusgcl.i	. . . . 5 |- ( ph -> I e. W )
21	2	ffnd 5508	. . . . 5 |- ( ph -> R Fn I )
22	17, 18, 19, 20, 21	prdsbasmpt 13485	. . . 4 |- ( ph -> ( ( y e. I |-> ( 0g ` ( R ` y ) ) ) e. B <-> A. y e. I ( 0g ` ( R ` y ) ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) ) )
23	16, 22	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> ( y e. I |-> ( 0g ` ( R ` y ) ) ) e. B )
24	11, 23	eqeltrd 2309	. 2 |- ( ph -> .0. e. B )
25	1	fveq1i 5670	. . . . . . . . . 10 |- ( .0. ` y ) = ( ( 0g o. R ) ` y )
26		fvco2 5745	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R Fn I /\ y e. I ) -> ( ( 0g o. R ) ` y ) = ( 0g ` ( R ` y ) ) )
27	21, 26	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( ( 0g o. R ) ` y ) = ( 0g ` ( R ` y ) ) )
28	25, 27	eqtrid 2277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( .0. ` y ) = ( 0g ` ( R ` y ) ) )
29	28	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( .0. ` y ) = ( 0g ` ( R ` y ) ) )
30	29	oveq1d 6064	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( ( .0. ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) = ( ( 0g ` ( R ` y ) ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) )
31	2	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> R : I --> Mnd )
32	31	ffvelcdmda 5811	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( R ` y ) e. Mnd )
33	19	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> S e. V )
34	20	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> I e. W )
35	21	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> R Fn I )
36		simplr 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> x e. B )
37		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> y e. I )
38	17, 18, 33, 34, 35, 36, 37	prdsbasprj 13487	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( x ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
39		eqid 2232	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` ( R ` y ) ) = ( +g ` ( R ` y ) )
40	12, 39, 13	mndlid 13640	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R ` y ) e. Mnd /\ ( x ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) ) -> ( ( 0g ` ( R ` y ) ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) = ( x ` y ) )
41	32, 38, 40	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( ( 0g ` ( R ` y ) ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) = ( x ` y ) )
42	30, 41	eqtrd 2265	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( ( .0. ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) = ( x ` y ) )
43	42	mpteq2dva 4199	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( y e. I |-> ( ( .0. ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) ) = ( y e. I |-> ( x ` y ) ) )
44	19	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> S e. V )
45	20	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> I e. W )
46	21	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> R Fn I )
47	24	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> .0. e. B )
48		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x e. B )
49		prdsplusgcl.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` Y )
50	17, 18, 44, 45, 46, 47, 48, 49	prdsplusgval 13488	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( .0. .+ x ) = ( y e. I |-> ( ( .0. ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) ) )
51	17, 18, 44, 45, 46, 48	prdsbasfn 13486	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x Fn I )
52		dffn5im 5721	. . . . . 6 |- ( x Fn I -> x = ( y e. I |-> ( x ` y ) ) )
53	51, 52	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x = ( y e. I |-> ( x ` y ) ) )
54	43, 50, 53	3eqtr4d 2275	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( .0. .+ x ) = x )
55	29	oveq2d 6065	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( .0. ` y ) ) = ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( 0g ` ( R ` y ) ) ) )
56	12, 39, 13	mndrid 13641	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R ` y ) e. Mnd /\ ( x ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) ) -> ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( 0g ` ( R ` y ) ) ) = ( x ` y ) )
57	32, 38, 56	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( 0g ` ( R ` y ) ) ) = ( x ` y ) )
58	55, 57	eqtrd 2265	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( .0. ` y ) ) = ( x ` y ) )
59	58	mpteq2dva 4199	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( y e. I |-> ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( .0. ` y ) ) ) = ( y e. I |-> ( x ` y ) ) )
60	17, 18, 44, 45, 46, 48, 47, 49	prdsplusgval 13488	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x .+ .0. ) = ( y e. I |-> ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( .0. ` y ) ) ) )
61	59, 60, 53	3eqtr4d 2275	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x .+ .0. ) = x )
62	54, 61	jca 306	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( .0. .+ x ) = x /\ ( x .+ .0. ) = x ) )
63	62	ralrimiva 2615	. 2 |- ( ph -> A. x e. B ( ( .0. .+ x ) = x /\ ( x .+ .0. ) = x ) )
64	24, 63	jca 306	1 |- ( ph -> ( .0. e. B /\ A. x e. B ( ( .0. .+ x ) = x /\ ( x .+ .0. ) = x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   _Vcvv 2812   |-> cmpt 4170   o. ccom 4752   Fn wfn 5346   -->wf 5347   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   Basecbs 13204   +g cplusg 13282   0gc0g 13461   X__scprds 13470   Mndcmnd 13621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-map 6883  df-ixp 6933  df-sup 7274  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-7 9300  df-8 9301  df-9 9302  df-n0 9496  df-z 9577  df-dec 9709  df-uz 9853  df-fz 10342  df-struct 13206  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-plusg 13295  df-mulr 13296  df-sca 13298  df-vsca 13299  df-ip 13300  df-tset 13301  df-ple 13302  df-ds 13304  df-hom 13306  df-cco 13307  df-rest 13446  df-topn 13447  df-0g 13463  df-topgen 13465  df-pt 13466  df-prds 13472  df-mgm 13561  df-sgrp 13607  df-mnd 13622

This theorem is referenced by:  prdsmndd  13653  prds0g  13654