Theorem prdsidlem 13488

Description: Characterization of identity in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsplusgcl.y	|- Y = ( S X_s R )
prdsplusgcl.b	|- B = ( Base ` Y )
prdsplusgcl.p	|- .+ = ( +g ` Y )
prdsplusgcl.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsplusgcl.i	|- ( ph -> I e. W )
prdsplusgcl.r	|- ( ph -> R : I --> Mnd )
prdsidlem.z	|- .0. = ( 0g o. R )

Assertion

Ref	Expression
prdsidlem	|- ( ph -> ( .0. e. B /\ A. x e. B ( ( .0. .+ x ) = x /\ ( x .+ .0. ) = x ) ) )

Distinct variable groups:   x, .+   x, B   x, I   x, R   ph, x   x, S   x, V   x, W   x, Y

Allowed substitution hint:   .0. ( x)

Proof of Theorem prdsidlem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsidlem.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g o. R )
2		prdsplusgcl.r	. . . . . . 7 |- ( ph -> R : I --> Mnd )
3	2	ffvelcdmda 5772	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( R ` y ) e. Mnd )
4	3	elexd 2813	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( R ` y ) e. _V )
5	2	feqmptd 5689	. . . . 5 |- ( ph -> R = ( y e. I |-> ( R ` y ) ) )
6		fn0g 13416	. . . . . 6 |- 0g Fn _V
7		dffn5im 5681	. . . . . 6 |- ( 0g Fn _V -> 0g = ( x e. _V |-> ( 0g ` x ) ) )
8	6, 7	mp1i 10	. . . . 5 |- ( ph -> 0g = ( x e. _V |-> ( 0g ` x ) ) )
9		fveq2 5629	. . . . 5 |- ( x = ( R ` y ) -> ( 0g ` x ) = ( 0g ` ( R ` y ) ) )
10	4, 5, 8, 9	fmptco 5803	. . . 4 |- ( ph -> ( 0g o. R ) = ( y e. I |-> ( 0g ` ( R ` y ) ) ) )
11	1, 10	eqtrid 2274	. . 3 |- ( ph -> .0. = ( y e. I |-> ( 0g ` ( R ` y ) ) ) )
12		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( Base ` ( R ` y ) ) = ( Base ` ( R ` y ) )
13		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( 0g ` ( R ` y ) ) = ( 0g ` ( R ` y ) )
14	12, 13	mndidcl 13471	. . . . . 6 |- ( ( R ` y ) e. Mnd -> ( 0g ` ( R ` y ) ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
15	3, 14	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( 0g ` ( R ` y ) ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
16	15	ralrimiva 2603	. . . 4 |- ( ph -> A. y e. I ( 0g ` ( R ` y ) ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
17		prdsplusgcl.y	. . . . 5 |- Y = ( S X_s R )
18		prdsplusgcl.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` Y )
19		prdsplusgcl.s	. . . . 5 |- ( ph -> S e. V )
20		prdsplusgcl.i	. . . . 5 |- ( ph -> I e. W )
21	2	ffnd 5474	. . . . 5 |- ( ph -> R Fn I )
22	17, 18, 19, 20, 21	prdsbasmpt 13321	. . . 4 |- ( ph -> ( ( y e. I |-> ( 0g ` ( R ` y ) ) ) e. B <-> A. y e. I ( 0g ` ( R ` y ) ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) ) )
23	16, 22	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> ( y e. I |-> ( 0g ` ( R ` y ) ) ) e. B )
24	11, 23	eqeltrd 2306	. 2 |- ( ph -> .0. e. B )
25	1	fveq1i 5630	. . . . . . . . . 10 |- ( .0. ` y ) = ( ( 0g o. R ) ` y )
26		fvco2 5705	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R Fn I /\ y e. I ) -> ( ( 0g o. R ) ` y ) = ( 0g ` ( R ` y ) ) )
27	21, 26	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( ( 0g o. R ) ` y ) = ( 0g ` ( R ` y ) ) )
28	25, 27	eqtrid 2274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( .0. ` y ) = ( 0g ` ( R ` y ) ) )
29	28	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( .0. ` y ) = ( 0g ` ( R ` y ) ) )
30	29	oveq1d 6022	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( ( .0. ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) = ( ( 0g ` ( R ` y ) ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) )
31	2	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> R : I --> Mnd )
32	31	ffvelcdmda 5772	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( R ` y ) e. Mnd )
33	19	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> S e. V )
34	20	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> I e. W )
35	21	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> R Fn I )
36		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> x e. B )
37		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> y e. I )
38	17, 18, 33, 34, 35, 36, 37	prdsbasprj 13323	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( x ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
39		eqid 2229	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` ( R ` y ) ) = ( +g ` ( R ` y ) )
40	12, 39, 13	mndlid 13476	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R ` y ) e. Mnd /\ ( x ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) ) -> ( ( 0g ` ( R ` y ) ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) = ( x ` y ) )
41	32, 38, 40	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( ( 0g ` ( R ` y ) ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) = ( x ` y ) )
42	30, 41	eqtrd 2262	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( ( .0. ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) = ( x ` y ) )
43	42	mpteq2dva 4174	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( y e. I |-> ( ( .0. ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) ) = ( y e. I |-> ( x ` y ) ) )
44	19	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> S e. V )
45	20	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> I e. W )
46	21	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> R Fn I )
47	24	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> .0. e. B )
48		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x e. B )
49		prdsplusgcl.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` Y )
50	17, 18, 44, 45, 46, 47, 48, 49	prdsplusgval 13324	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( .0. .+ x ) = ( y e. I |-> ( ( .0. ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) ) )
51	17, 18, 44, 45, 46, 48	prdsbasfn 13322	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x Fn I )
52		dffn5im 5681	. . . . . 6 |- ( x Fn I -> x = ( y e. I |-> ( x ` y ) ) )
53	51, 52	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x = ( y e. I |-> ( x ` y ) ) )
54	43, 50, 53	3eqtr4d 2272	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( .0. .+ x ) = x )
55	29	oveq2d 6023	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( .0. ` y ) ) = ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( 0g ` ( R ` y ) ) ) )
56	12, 39, 13	mndrid 13477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R ` y ) e. Mnd /\ ( x ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) ) -> ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( 0g ` ( R ` y ) ) ) = ( x ` y ) )
57	32, 38, 56	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( 0g ` ( R ` y ) ) ) = ( x ` y ) )
58	55, 57	eqtrd 2262	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( .0. ` y ) ) = ( x ` y ) )
59	58	mpteq2dva 4174	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( y e. I |-> ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( .0. ` y ) ) ) = ( y e. I |-> ( x ` y ) ) )
60	17, 18, 44, 45, 46, 48, 47, 49	prdsplusgval 13324	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x .+ .0. ) = ( y e. I |-> ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( .0. ` y ) ) ) )
61	59, 60, 53	3eqtr4d 2272	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x .+ .0. ) = x )
62	54, 61	jca 306	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( .0. .+ x ) = x /\ ( x .+ .0. ) = x ) )
63	62	ralrimiva 2603	. 2 |- ( ph -> A. x e. B ( ( .0. .+ x ) = x /\ ( x .+ .0. ) = x ) )
64	24, 63	jca 306	1 |- ( ph -> ( .0. e. B /\ A. x e. B ( ( .0. .+ x ) = x /\ ( x .+ .0. ) = x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   |-> cmpt 4145   o. ccom 4723   Fn wfn 5313   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   Basecbs 13040   +g cplusg 13118   0gc0g 13297   X__scprds 13306   Mndcmnd 13457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-map 6805  df-ixp 6854  df-sup 7159  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-z 9455  df-dec 9587  df-uz 9731  df-fz 10213  df-struct 13042  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-sca 13134  df-vsca 13135  df-ip 13136  df-tset 13137  df-ple 13138  df-ds 13140  df-hom 13142  df-cco 13143  df-rest 13282  df-topn 13283  df-0g 13299  df-topgen 13301  df-pt 13302  df-prds 13308  df-mgm 13397  df-sgrp 13443  df-mnd 13458

This theorem is referenced by:  prdsmndd  13489  prds0g  13490