Theorem prdsidlem 13744

Description: Characterization of identity in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsplusgcl.y	|- Y = ( S X_s R )
prdsplusgcl.b	|- B = ( Base ` Y )
prdsplusgcl.p	|- .+ = ( +g ` Y )
prdsplusgcl.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsplusgcl.i	|- ( ph -> I e. W )
prdsplusgcl.r	|- ( ph -> R : I --> Mnd )
prdsidlem.z	|- .0. = ( 0g o. R )

Assertion

Ref	Expression
prdsidlem	|- ( ph -> ( .0. e. B /\ A. x e. B ( ( .0. .+ x ) = x /\ ( x .+ .0. ) = x ) ) )

Distinct variable groups:   x, .+   x, B   x, I   x, R   ph, x   x, S   x, V   x, W   x, Y

Allowed substitution hint:   .0. ( x)

Proof of Theorem prdsidlem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsidlem.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g o. R )
2		prdsplusgcl.r	. . . . . . 7 |- ( ph -> R : I --> Mnd )
3	2	ffvelcdmda 5817	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( R ` y ) e. Mnd )
4	3	elexd 2829	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( R ` y ) e. _V )
5	2	feqmptd 5735	. . . . 5 |- ( ph -> R = ( y e. I |-> ( R ` y ) ) )
6		fn0g 13672	. . . . . 6 |- 0g Fn _V
7		dffn5im 5727	. . . . . 6 |- ( 0g Fn _V -> 0g = ( x e. _V |-> ( 0g ` x ) ) )
8	6, 7	mp1i 10	. . . . 5 |- ( ph -> 0g = ( x e. _V |-> ( 0g ` x ) ) )
9		fveq2 5675	. . . . 5 |- ( x = ( R ` y ) -> ( 0g ` x ) = ( 0g ` ( R ` y ) ) )
10	4, 5, 8, 9	fmptco 5848	. . . 4 |- ( ph -> ( 0g o. R ) = ( y e. I |-> ( 0g ` ( R ` y ) ) ) )
11	1, 10	eqtrid 2279	. . 3 |- ( ph -> .0. = ( y e. I |-> ( 0g ` ( R ` y ) ) ) )
12		eqid 2234	. . . . . . 7 |- ( Base ` ( R ` y ) ) = ( Base ` ( R ` y ) )
13		eqid 2234	. . . . . . 7 |- ( 0g ` ( R ` y ) ) = ( 0g ` ( R ` y ) )
14	12, 13	mndidcl 13727	. . . . . 6 |- ( ( R ` y ) e. Mnd -> ( 0g ` ( R ` y ) ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
15	3, 14	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( 0g ` ( R ` y ) ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
16	15	ralrimiva 2617	. . . 4 |- ( ph -> A. y e. I ( 0g ` ( R ` y ) ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
17		prdsplusgcl.y	. . . . 5 |- Y = ( S X_s R )
18		prdsplusgcl.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` Y )
19		prdsplusgcl.s	. . . . 5 |- ( ph -> S e. V )
20		prdsplusgcl.i	. . . . 5 |- ( ph -> I e. W )
21	2	ffnd 5514	. . . . 5 |- ( ph -> R Fn I )
22	17, 18, 19, 20, 21	prdsbasmpt 13577	. . . 4 |- ( ph -> ( ( y e. I |-> ( 0g ` ( R ` y ) ) ) e. B <-> A. y e. I ( 0g ` ( R ` y ) ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) ) )
23	16, 22	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> ( y e. I |-> ( 0g ` ( R ` y ) ) ) e. B )
24	11, 23	eqeltrd 2311	. 2 |- ( ph -> .0. e. B )
25	1	fveq1i 5676	. . . . . . . . . 10 |- ( .0. ` y ) = ( ( 0g o. R ) ` y )
26		fvco2 5751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R Fn I /\ y e. I ) -> ( ( 0g o. R ) ` y ) = ( 0g ` ( R ` y ) ) )
27	21, 26	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( ( 0g o. R ) ` y ) = ( 0g ` ( R ` y ) ) )
28	25, 27	eqtrid 2279	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( .0. ` y ) = ( 0g ` ( R ` y ) ) )
29	28	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( .0. ` y ) = ( 0g ` ( R ` y ) ) )
30	29	oveq1d 6073	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( ( .0. ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) = ( ( 0g ` ( R ` y ) ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) )
31	2	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> R : I --> Mnd )
32	31	ffvelcdmda 5817	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( R ` y ) e. Mnd )
33	19	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> S e. V )
34	20	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> I e. W )
35	21	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> R Fn I )
36		simplr 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> x e. B )
37		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> y e. I )
38	17, 18, 33, 34, 35, 36, 37	prdsbasprj 13579	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( x ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
39		eqid 2234	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` ( R ` y ) ) = ( +g ` ( R ` y ) )
40	12, 39, 13	mndlid 13732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R ` y ) e. Mnd /\ ( x ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) ) -> ( ( 0g ` ( R ` y ) ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) = ( x ` y ) )
41	32, 38, 40	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( ( 0g ` ( R ` y ) ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) = ( x ` y ) )
42	30, 41	eqtrd 2267	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( ( .0. ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) = ( x ` y ) )
43	42	mpteq2dva 4205	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( y e. I |-> ( ( .0. ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) ) = ( y e. I |-> ( x ` y ) ) )
44	19	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> S e. V )
45	20	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> I e. W )
46	21	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> R Fn I )
47	24	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> .0. e. B )
48		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x e. B )
49		prdsplusgcl.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` Y )
50	17, 18, 44, 45, 46, 47, 48, 49	prdsplusgval 13580	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( .0. .+ x ) = ( y e. I |-> ( ( .0. ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) ) )
51	17, 18, 44, 45, 46, 48	prdsbasfn 13578	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x Fn I )
52		dffn5im 5727	. . . . . 6 |- ( x Fn I -> x = ( y e. I |-> ( x ` y ) ) )
53	51, 52	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x = ( y e. I |-> ( x ` y ) ) )
54	43, 50, 53	3eqtr4d 2277	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( .0. .+ x ) = x )
55	29	oveq2d 6074	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( .0. ` y ) ) = ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( 0g ` ( R ` y ) ) ) )
56	12, 39, 13	mndrid 13733	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R ` y ) e. Mnd /\ ( x ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) ) -> ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( 0g ` ( R ` y ) ) ) = ( x ` y ) )
57	32, 38, 56	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( 0g ` ( R ` y ) ) ) = ( x ` y ) )
58	55, 57	eqtrd 2267	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( .0. ` y ) ) = ( x ` y ) )
59	58	mpteq2dva 4205	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( y e. I |-> ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( .0. ` y ) ) ) = ( y e. I |-> ( x ` y ) ) )
60	17, 18, 44, 45, 46, 48, 47, 49	prdsplusgval 13580	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x .+ .0. ) = ( y e. I |-> ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( .0. ` y ) ) ) )
61	59, 60, 53	3eqtr4d 2277	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x .+ .0. ) = x )
62	54, 61	jca 306	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( .0. .+ x ) = x /\ ( x .+ .0. ) = x ) )
63	62	ralrimiva 2617	. 2 |- ( ph -> A. x e. B ( ( .0. .+ x ) = x /\ ( x .+ .0. ) = x ) )
64	24, 63	jca 306	1 |- ( ph -> ( .0. e. B /\ A. x e. B ( ( .0. .+ x ) = x /\ ( x .+ .0. ) = x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   _Vcvv 2815   |-> cmpt 4176   o. ccom 4758   Fn wfn 5352   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Basecbs 13296   +g cplusg 13374   0gc0g 13553   X__scprds 13562   Mndcmnd 13713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-map 6897  df-ixp 6947  df-sup 7288  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-dec 9728  df-uz 9872  df-fz 10362  df-struct 13298  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-sca 13390  df-vsca 13391  df-ip 13392  df-tset 13393  df-ple 13394  df-ds 13396  df-hom 13398  df-cco 13399  df-rest 13538  df-topn 13539  df-0g 13555  df-topgen 13557  df-pt 13558  df-prds 13564  df-mgm 13653  df-sgrp 13699  df-mnd 13714

This theorem is referenced by:  prdsmndd  13745  prds0g  13746