Theorem prdsidlem 14301

Description: Characterization of identity in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsplusgcl.y	|- Y = ( S X_s R )
prdsplusgcl.b	|- B = ( Base ` Y )
prdsplusgcl.p	|- .+ = ( +g ` Y )
prdsplusgcl.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsplusgcl.i	|- ( ph -> I e. W )
prdsplusgcl.r	|- ( ph -> R : I --> Mnd )
prdsidlem.z	|- .0. = ( 0g o. R )

Assertion

Ref	Expression
prdsidlem	|- ( ph -> ( .0. e. B /\ A. x e. B ( ( .0. .+ x ) = x /\ ( x .+ .0. ) = x ) ) )

Distinct variable groups:   x, .+   x, B   x, I   x, R   ph, x   x, S   x, V   x, W   x, Y

Allowed substitution hint:   .0. ( x)

Proof of Theorem prdsidlem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsidlem.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g o. R )
2		prdsplusgcl.r	. . . . . . 7 |- ( ph -> R : I --> Mnd )
3	2	ffvelcdmda 5846	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( R ` y ) e. Mnd )
4	3	elexd 2835	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( R ` y ) e. _V )
5	2	feqmptd 5759	. . . . 5 |- ( ph -> R = ( y e. I |-> ( R ` y ) ) )
6		fn0g 13755	. . . . . 6 |- 0g Fn _V
7		dffn5im 5751	. . . . . 6 |- ( 0g Fn _V -> 0g = ( x e. _V |-> ( 0g ` x ) ) )
8	6, 7	mp1i 10	. . . . 5 |- ( ph -> 0g = ( x e. _V |-> ( 0g ` x ) ) )
9		fveq2 5698	. . . . 5 |- ( x = ( R ` y ) -> ( 0g ` x ) = ( 0g ` ( R ` y ) ) )
10	4, 5, 8, 9	fmptco 5877	. . . 4 |- ( ph -> ( 0g o. R ) = ( y e. I |-> ( 0g ` ( R ` y ) ) ) )
11	1, 10	eqtrid 2283	. . 3 |- ( ph -> .0. = ( y e. I |-> ( 0g ` ( R ` y ) ) ) )
12		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( Base ` ( R ` y ) ) = ( Base ` ( R ` y ) )
13		eqid 2238	. . . . . . 7 |- ( 0g ` ( R ` y ) ) = ( 0g ` ( R ` y ) )
14	12, 13	mndidcl 13803	. . . . . 6 |- ( ( R ` y ) e. Mnd -> ( 0g ` ( R ` y ) ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
15	3, 14	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( 0g ` ( R ` y ) ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
16	15	ralrimiva 2623	. . . 4 |- ( ph -> A. y e. I ( 0g ` ( R ` y ) ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
17		prdsplusgcl.y	. . . . 5 |- Y = ( S X_s R )
18		prdsplusgcl.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` Y )
19		prdsplusgcl.s	. . . . 5 |- ( ph -> S e. V )
20		prdsplusgcl.i	. . . . 5 |- ( ph -> I e. W )
21	2	ffnd 5537	. . . . 5 |- ( ph -> R Fn I )
22	17, 18, 19, 20, 21	prdsbasmpt 14288	. . . 4 |- ( ph -> ( ( y e. I |-> ( 0g ` ( R ` y ) ) ) e. B <-> A. y e. I ( 0g ` ( R ` y ) ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) ) )
23	16, 22	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> ( y e. I |-> ( 0g ` ( R ` y ) ) ) e. B )
24	11, 23	eqeltrd 2315	. 2 |- ( ph -> .0. e. B )
25	1	fveq1i 5699	. . . . . . . . . 10 |- ( .0. ` y ) = ( ( 0g o. R ) ` y )
26		fvco2 5777	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R Fn I /\ y e. I ) -> ( ( 0g o. R ) ` y ) = ( 0g ` ( R ` y ) ) )
27	21, 26	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( ( 0g o. R ) ` y ) = ( 0g ` ( R ` y ) ) )
28	25, 27	eqtrid 2283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( .0. ` y ) = ( 0g ` ( R ` y ) ) )
29	28	adantlr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( .0. ` y ) = ( 0g ` ( R ` y ) ) )
30	29	oveq1d 6103	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( ( .0. ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) = ( ( 0g ` ( R ` y ) ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) )
31	2	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> R : I --> Mnd )
32	31	ffvelcdmda 5846	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( R ` y ) e. Mnd )
33	19	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> S e. V )
34	20	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> I e. W )
35	21	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> R Fn I )
36		simplr 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> x e. B )
37		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> y e. I )
38	17, 18, 33, 34, 35, 36, 37	prdsbasprj 14290	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( x ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
39		eqid 2238	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` ( R ` y ) ) = ( +g ` ( R ` y ) )
40	12, 39, 13	mndlid 13808	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R ` y ) e. Mnd /\ ( x ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) ) -> ( ( 0g ` ( R ` y ) ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) = ( x ` y ) )
41	32, 38, 40	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( ( 0g ` ( R ` y ) ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) = ( x ` y ) )
42	30, 41	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( ( .0. ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) = ( x ` y ) )
43	42	mpteq2dva 4223	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( y e. I |-> ( ( .0. ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) ) = ( y e. I |-> ( x ` y ) ) )
44	19	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> S e. V )
45	20	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> I e. W )
46	21	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> R Fn I )
47	24	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> .0. e. B )
48		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x e. B )
49		prdsplusgcl.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` Y )
50	17, 18, 44, 45, 46, 47, 48, 49	prdsplusgval 14291	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( .0. .+ x ) = ( y e. I |-> ( ( .0. ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) ) )
51	17, 18, 44, 45, 46, 48	prdsbasfn 14289	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x Fn I )
52		dffn5im 5751	. . . . . 6 |- ( x Fn I -> x = ( y e. I |-> ( x ` y ) ) )
53	51, 52	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x = ( y e. I |-> ( x ` y ) ) )
54	43, 50, 53	3eqtr4d 2281	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( .0. .+ x ) = x )
55	29	oveq2d 6104	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( .0. ` y ) ) = ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( 0g ` ( R ` y ) ) ) )
56	12, 39, 13	mndrid 13809	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R ` y ) e. Mnd /\ ( x ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) ) -> ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( 0g ` ( R ` y ) ) ) = ( x ` y ) )
57	32, 38, 56	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( 0g ` ( R ` y ) ) ) = ( x ` y ) )
58	55, 57	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( .0. ` y ) ) = ( x ` y ) )
59	58	mpteq2dva 4223	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( y e. I |-> ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( .0. ` y ) ) ) = ( y e. I |-> ( x ` y ) ) )
60	17, 18, 44, 45, 46, 48, 47, 49	prdsplusgval 14291	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x .+ .0. ) = ( y e. I |-> ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( .0. ` y ) ) ) )
61	59, 60, 53	3eqtr4d 2281	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x .+ .0. ) = x )
62	54, 61	jca 306	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( .0. .+ x ) = x /\ ( x .+ .0. ) = x ) )
63	62	ralrimiva 2623	. 2 |- ( ph -> A. x e. B ( ( .0. .+ x ) = x /\ ( x .+ .0. ) = x ) )
64	24, 63	jca 306	1 |- ( ph -> ( .0. e. B /\ A. x e. B ( ( .0. .+ x ) = x /\ ( x .+ .0. ) = x ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   |-> cmpt 4193   o. ccom 4780   Fn wfn 5375   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13411   +g cplusg 13491   0gc0g 13670   Mndcmnd 13789   X__scprds 14277

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-map 6928  df-ixp 6986  df-sup 7331  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9657  df-dec 9790  df-uz 9939  df-fz 10430  df-struct 13413  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-plusg 13504  df-mulr 13505  df-sca 13507  df-vsca 13508  df-ip 13509  df-tset 13510  df-ple 13511  df-ds 13513  df-hom 13515  df-cco 13516  df-rest 13655  df-topn 13656  df-0g 13672  df-topgen 13674  df-pt 13675  df-mgm 13736  df-sgrp 13777  df-mnd 13790  df-prds 14278

This theorem is used by:  prdsmndd  14302  prds0g  14303