Theorem prdsidlem 13149

Description: Characterization of identity in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsplusgcl.y	|- Y = ( S X_s R )
prdsplusgcl.b	|- B = ( Base ` Y )
prdsplusgcl.p	|- .+ = ( +g ` Y )
prdsplusgcl.s	|- ( ph -> S e. V )
prdsplusgcl.i	|- ( ph -> I e. W )
prdsplusgcl.r	|- ( ph -> R : I --> Mnd )
prdsidlem.z	|- .0. = ( 0g o. R )

Assertion

Ref	Expression
prdsidlem	|- ( ph -> ( .0. e. B /\ A. x e. B ( ( .0. .+ x ) = x /\ ( x .+ .0. ) = x ) ) )

Distinct variable groups:   x, .+   x, B   x, I   x, R   ph, x   x, S   x, V   x, W   x, Y

Allowed substitution hint:   .0. ( x)

Proof of Theorem prdsidlem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsidlem.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g o. R )
2		prdsplusgcl.r	. . . . . . 7 |- ( ph -> R : I --> Mnd )
3	2	ffvelcdmda 5700	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( R ` y ) e. Mnd )
4	3	elexd 2776	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( R ` y ) e. _V )
5	2	feqmptd 5617	. . . . 5 |- ( ph -> R = ( y e. I |-> ( R ` y ) ) )
6		fn0g 13077	. . . . . 6 |- 0g Fn _V
7		dffn5im 5609	. . . . . 6 |- ( 0g Fn _V -> 0g = ( x e. _V |-> ( 0g ` x ) ) )
8	6, 7	mp1i 10	. . . . 5 |- ( ph -> 0g = ( x e. _V |-> ( 0g ` x ) ) )
9		fveq2 5561	. . . . 5 |- ( x = ( R ` y ) -> ( 0g ` x ) = ( 0g ` ( R ` y ) ) )
10	4, 5, 8, 9	fmptco 5731	. . . 4 |- ( ph -> ( 0g o. R ) = ( y e. I |-> ( 0g ` ( R ` y ) ) ) )
11	1, 10	eqtrid 2241	. . 3 |- ( ph -> .0. = ( y e. I |-> ( 0g ` ( R ` y ) ) ) )
12		eqid 2196	. . . . . . 7 |- ( Base ` ( R ` y ) ) = ( Base ` ( R ` y ) )
13		eqid 2196	. . . . . . 7 |- ( 0g ` ( R ` y ) ) = ( 0g ` ( R ` y ) )
14	12, 13	mndidcl 13132	. . . . . 6 |- ( ( R ` y ) e. Mnd -> ( 0g ` ( R ` y ) ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
15	3, 14	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( 0g ` ( R ` y ) ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
16	15	ralrimiva 2570	. . . 4 |- ( ph -> A. y e. I ( 0g ` ( R ` y ) ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
17		prdsplusgcl.y	. . . . 5 |- Y = ( S X_s R )
18		prdsplusgcl.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` Y )
19		prdsplusgcl.s	. . . . 5 |- ( ph -> S e. V )
20		prdsplusgcl.i	. . . . 5 |- ( ph -> I e. W )
21	2	ffnd 5411	. . . . 5 |- ( ph -> R Fn I )
22	17, 18, 19, 20, 21	prdsbasmpt 12982	. . . 4 |- ( ph -> ( ( y e. I |-> ( 0g ` ( R ` y ) ) ) e. B <-> A. y e. I ( 0g ` ( R ` y ) ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) ) )
23	16, 22	mpbird 167	. . 3 |- ( ph -> ( y e. I |-> ( 0g ` ( R ` y ) ) ) e. B )
24	11, 23	eqeltrd 2273	. 2 |- ( ph -> .0. e. B )
25	1	fveq1i 5562	. . . . . . . . . 10 |- ( .0. ` y ) = ( ( 0g o. R ) ` y )
26		fvco2 5633	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R Fn I /\ y e. I ) -> ( ( 0g o. R ) ` y ) = ( 0g ` ( R ` y ) ) )
27	21, 26	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( ( 0g o. R ) ` y ) = ( 0g ` ( R ` y ) ) )
28	25, 27	eqtrid 2241	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( .0. ` y ) = ( 0g ` ( R ` y ) ) )
29	28	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( .0. ` y ) = ( 0g ` ( R ` y ) ) )
30	29	oveq1d 5940	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( ( .0. ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) = ( ( 0g ` ( R ` y ) ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) )
31	2	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> R : I --> Mnd )
32	31	ffvelcdmda 5700	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( R ` y ) e. Mnd )
33	19	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> S e. V )
34	20	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> I e. W )
35	21	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> R Fn I )
36		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> x e. B )
37		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> y e. I )
38	17, 18, 33, 34, 35, 36, 37	prdsbasprj 12984	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( x ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
39		eqid 2196	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` ( R ` y ) ) = ( +g ` ( R ` y ) )
40	12, 39, 13	mndlid 13137	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R ` y ) e. Mnd /\ ( x ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) ) -> ( ( 0g ` ( R ` y ) ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) = ( x ` y ) )
41	32, 38, 40	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( ( 0g ` ( R ` y ) ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) = ( x ` y ) )
42	30, 41	eqtrd 2229	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( ( .0. ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) = ( x ` y ) )
43	42	mpteq2dva 4124	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( y e. I |-> ( ( .0. ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) ) = ( y e. I |-> ( x ` y ) ) )
44	19	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> S e. V )
45	20	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> I e. W )
46	21	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> R Fn I )
47	24	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> .0. e. B )
48		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x e. B )
49		prdsplusgcl.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` Y )
50	17, 18, 44, 45, 46, 47, 48, 49	prdsplusgval 12985	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( .0. .+ x ) = ( y e. I |-> ( ( .0. ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( x ` y ) ) ) )
51	17, 18, 44, 45, 46, 48	prdsbasfn 12983	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x Fn I )
52		dffn5im 5609	. . . . . 6 |- ( x Fn I -> x = ( y e. I |-> ( x ` y ) ) )
53	51, 52	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> x = ( y e. I |-> ( x ` y ) ) )
54	43, 50, 53	3eqtr4d 2239	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( .0. .+ x ) = x )
55	29	oveq2d 5941	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( .0. ` y ) ) = ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( 0g ` ( R ` y ) ) ) )
56	12, 39, 13	mndrid 13138	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R ` y ) e. Mnd /\ ( x ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) ) -> ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( 0g ` ( R ` y ) ) ) = ( x ` y ) )
57	32, 38, 56	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( 0g ` ( R ` y ) ) ) = ( x ` y ) )
58	55, 57	eqtrd 2229	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ y e. I ) -> ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( .0. ` y ) ) = ( x ` y ) )
59	58	mpteq2dva 4124	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( y e. I |-> ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( .0. ` y ) ) ) = ( y e. I |-> ( x ` y ) ) )
60	17, 18, 44, 45, 46, 48, 47, 49	prdsplusgval 12985	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x .+ .0. ) = ( y e. I |-> ( ( x ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( .0. ` y ) ) ) )
61	59, 60, 53	3eqtr4d 2239	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( x .+ .0. ) = x )
62	54, 61	jca 306	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( .0. .+ x ) = x /\ ( x .+ .0. ) = x ) )
63	62	ralrimiva 2570	. 2 |- ( ph -> A. x e. B ( ( .0. .+ x ) = x /\ ( x .+ .0. ) = x ) )
64	24, 63	jca 306	1 |- ( ph -> ( .0. e. B /\ A. x e. B ( ( .0. .+ x ) = x /\ ( x .+ .0. ) = x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   _Vcvv 2763   |-> cmpt 4095   o. ccom 4668   Fn wfn 5254   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12703   +g cplusg 12780   0gc0g 12958   X__scprds 12967   Mndcmnd 13118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-map 6718  df-ixp 6767  df-sup 7059  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073  df-n0 9267  df-z 9344  df-dec 9475  df-uz 9619  df-fz 10101  df-struct 12705  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-sca 12796  df-vsca 12797  df-ip 12798  df-tset 12799  df-ple 12800  df-ds 12802  df-hom 12804  df-cco 12805  df-rest 12943  df-topn 12944  df-0g 12960  df-topgen 12962  df-pt 12963  df-prds 12969  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119

This theorem is referenced by:  prdsmndd  13150  prds0g  13151