Theorem gsumfzz 13057

Description: Value of a group sum over the zero element. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Aug-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsumz.z	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
gsumfzz	|- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = .0. )

Distinct variable groups:   .0. , k   k, G   k, M   k, N

Proof of Theorem gsumfzz

Dummy variables w u v y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . . . 5 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		gsumz.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` G )
3		eqid 2193	. . . . 5 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4		simp1 999	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> G e. Mnd )
5		simp2 1000	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. ZZ )
6		simp3 1001	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
7	1, 2	mndidcl 13001	. . . . . . . 8 |- ( G e. Mnd -> .0. e. ( Base ` G ) )
8	4, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> .0. e. ( Base ` G ) )
9	8	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> .0. e. ( Base ` G ) )
10	9	fmpttd 5705	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) : ( M ... N ) --> ( Base ` G ) )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	gsumfzval 12964	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = if ( N < M , .0. , ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) ) )
12	11	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = if ( N < M , .0. , ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) ) )
13		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> N < M )
14	13	iftrued 3564	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> if ( N < M , .0. , ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) ) = .0. )
15	12, 14	eqtrd 2226	. 2 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = .0. )
16	11	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = if ( N < M , .0. , ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) ) )
17		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> -. N < M )
18	17	iffalsed 3567	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> if ( N < M , .0. , ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) ) = ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) )
19	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> M e. ZZ )
20	6	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> N e. ZZ )
21	5	zred 9429	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. RR )
22	6	zred 9429	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
23	21, 22	lenltd 8127	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
24	23	biimpar 297	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> M <_ N )
25		eluz2 9588	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
26	19, 20, 24, 25	syl3anbrc 1183	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
27		eluzfz2 10088	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
28	26, 27	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> N e. ( M ... N ) )
29	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> G e. Mnd )
30		fveqeq2 5555	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. <-> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` M ) = .0. ) )
31	30	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( w = M -> ( ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. ) <-> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` M ) = .0. ) ) )
32		fveqeq2 5555	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. <-> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) )
33	32	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. ) <-> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) ) )
34		fveqeq2 5555	. . . . . 6 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. <-> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = .0. ) )
35	34	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. ) <-> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = .0. ) ) )
36		fveqeq2 5555	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. <-> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) = .0. ) )
37	36	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. ) <-> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) = .0. ) ) )
38		eluzel2 9587	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
39	38	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) -> M e. ZZ )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ u e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ZZ )
41		eluzelz 9591	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
42	41	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ u e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ZZ )
43	40, 42	fzfigd 10492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ u e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( M ... N ) e. Fin )
44	43	mptexd 5777	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ u e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) e. _V )
45		vex 2763	. . . . . . . . 9 |- u e. _V
46		fvexg 5565	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) e. _V /\ u e. _V ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` u ) e. _V )
47	44, 45, 46	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ u e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` u ) e. _V )
48		plusgslid 12720	. . . . . . . . . . 11 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
49	48	slotex 12635	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. Mnd -> ( +g ` G ) e. _V )
50	49	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> ( +g ` G ) e. _V )
51		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> v e. _V )
52		ovexg 5944	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. _V /\ ( +g ` G ) e. _V /\ v e. _V ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. _V )
53	45, 50, 51, 52	mp3an2i 1353	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. _V )
54	39, 47, 53	seq3-1 10523	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` M ) = ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` M ) )
55		eqid 2193	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) = ( k e. ( M ... N ) |-> .0. )
56		eqidd 2194	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> .0. = .0. )
57		eluzfz1 10087	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
58	57	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) -> M e. ( M ... N ) )
59	7	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) -> .0. e. ( Base ` G ) )
60	55, 56, 58, 59	fvmptd3 5643	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` M ) = .0. )
61	54, 60	eqtrd 2226	. . . . . 6 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` M ) = .0. )
62	61	ex 115	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` M ) = .0. ) )
63		elfzouz 10207	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( M..^ N ) -> y e. ( ZZ>= ` M ) )
64	63	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) -> y e. ( ZZ>= ` M ) )
65		elfzouz2 10218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( M..^ N ) -> N e. ( ZZ>= ` y ) )
66		uztrn 9599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` y ) /\ y e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
67	65, 63, 66	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( M..^ N ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
68	67, 47	sylanl1 402	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ u e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` u ) e. _V )
69	67, 53	sylanl1 402	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. _V )
70	64, 68, 69	seq3p1 10526	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` ( y + 1 ) ) ) )
71	70	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` ( y + 1 ) ) ) )
72		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. )
73		eqidd 2194	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( y + 1 ) -> .0. = .0. )
74		fzofzp1 10284	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( M..^ N ) -> ( y + 1 ) e. ( M ... N ) )
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) -> ( y + 1 ) e. ( M ... N ) )
76	7	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) -> .0. e. ( Base ` G ) )
77	55, 73, 75, 76	fvmptd3 5643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` ( y + 1 ) ) = .0. )
78	77	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` ( y + 1 ) ) = .0. )
79	72, 78	oveq12d 5928	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` ( y + 1 ) ) ) = ( .0. ( +g ` G ) .0. ) )
80	1, 3, 2	mndlid 13006	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Mnd /\ .0. e. ( Base ` G ) ) -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
81	7, 80	mpdan 421	. . . . . . . . 9 |- ( G e. Mnd -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
82	81	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
83	71, 79, 82	3eqtrd 2230	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = .0. )
84	83	exp31 364	. . . . . 6 |- ( y e. ( M..^ N ) -> ( G e. Mnd -> ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = .0. ) ) )
85	84	a2d 26	. . . . 5 |- ( y e. ( M..^ N ) -> ( ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = .0. ) ) )
86	31, 33, 35, 37, 62, 85	fzind2 10296	. . . 4 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) = .0. ) )
87	28, 29, 86	sylc 62	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) = .0. )
88	16, 18, 87	3eqtrd 2230	. 2 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = .0. )
89		zdclt 9384	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID N < M )
90	6, 5, 89	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N < M )
91		exmiddc 837	. . 3 |- (DECID N < M -> ( N < M \/ -. N < M ) )
92	90, 91	syl 14	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M \/ -. N < M ) )
93	15, 88, 92	mpjaodan 799	1 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = .0. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   ifcif 3557   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   ` cfv 5246  (class class class)co 5910   Fincfn 6785   1c1 7863   + caddc 7865   < clt 8044   <_ cle 8045   ZZcz 9307   ZZ>=cuz 9582   ...cfz 10064  ..^cfzo 10198   seqcseq 10508   Basecbs 12608   +g cplusg 12685   0gc0g 12857   gsum_g cgsu 12858   Mndcmnd 12987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-iinf 4616  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-addcom 7962  ax-addass 7964  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-apti 7977  ax-pre-ltadd 7978

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4322  df-iord 4395  df-on 4397  df-ilim 4398  df-suc 4400  df-iom 4619  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-fo 5252  df-f1o 5253  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-1st 6184  df-2nd 6185  df-recs 6349  df-frec 6435  df-1o 6460  df-er 6578  df-en 6786  df-fin 6788  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-inn 8973  df-2 9031  df-n0 9231  df-z 9308  df-uz 9583  df-fz 10065  df-fzo 10199  df-seqfrec 10509  df-ndx 12611  df-slot 12612  df-base 12614  df-plusg 12698  df-0g 12859  df-igsum 12860  df-mgm 12929  df-sgrp 12975  df-mnd 12988

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