Theorem gsumfzz 13397

Description: Value of a group sum over the zero element. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Aug-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsumz.z	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
gsumfzz	|- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = .0. )

Distinct variable groups:   .0. , k   k, G   k, M   k, N

Proof of Theorem gsumfzz

Dummy variables w u v y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2206	. . . . 5 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		gsumz.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` G )
3		eqid 2206	. . . . 5 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4		simp1 1000	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> G e. Mnd )
5		simp2 1001	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. ZZ )
6		simp3 1002	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
7	1, 2	mndidcl 13332	. . . . . . . 8 |- ( G e. Mnd -> .0. e. ( Base ` G ) )
8	4, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> .0. e. ( Base ` G ) )
9	8	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> .0. e. ( Base ` G ) )
10	9	fmpttd 5747	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) : ( M ... N ) --> ( Base ` G ) )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	gsumfzval 13293	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = if ( N < M , .0. , ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) ) )
12	11	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = if ( N < M , .0. , ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) ) )
13		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> N < M )
14	13	iftrued 3582	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> if ( N < M , .0. , ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) ) = .0. )
15	12, 14	eqtrd 2239	. 2 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = .0. )
16	11	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = if ( N < M , .0. , ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) ) )
17		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> -. N < M )
18	17	iffalsed 3585	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> if ( N < M , .0. , ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) ) = ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) )
19	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> M e. ZZ )
20	6	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> N e. ZZ )
21	5	zred 9510	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. RR )
22	6	zred 9510	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
23	21, 22	lenltd 8205	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
24	23	biimpar 297	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> M <_ N )
25		eluz2 9669	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
26	19, 20, 24, 25	syl3anbrc 1184	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
27		eluzfz2 10169	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
28	26, 27	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> N e. ( M ... N ) )
29	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> G e. Mnd )
30		fveqeq2 5597	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. <-> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` M ) = .0. ) )
31	30	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( w = M -> ( ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. ) <-> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` M ) = .0. ) ) )
32		fveqeq2 5597	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. <-> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) )
33	32	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. ) <-> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) ) )
34		fveqeq2 5597	. . . . . 6 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. <-> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = .0. ) )
35	34	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. ) <-> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = .0. ) ) )
36		fveqeq2 5597	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. <-> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) = .0. ) )
37	36	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. ) <-> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) = .0. ) ) )
38		eluzel2 9668	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
39	38	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) -> M e. ZZ )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ u e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ZZ )
41		eluzelz 9672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
42	41	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ u e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ZZ )
43	40, 42	fzfigd 10593	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ u e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( M ... N ) e. Fin )
44	43	mptexd 5823	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ u e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) e. _V )
45		vex 2776	. . . . . . . . 9 |- u e. _V
46		fvexg 5607	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) e. _V /\ u e. _V ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` u ) e. _V )
47	44, 45, 46	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ u e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` u ) e. _V )
48		plusgslid 13014	. . . . . . . . . . 11 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
49	48	slotex 12929	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. Mnd -> ( +g ` G ) e. _V )
50	49	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> ( +g ` G ) e. _V )
51		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> v e. _V )
52		ovexg 5990	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. _V /\ ( +g ` G ) e. _V /\ v e. _V ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. _V )
53	45, 50, 51, 52	mp3an2i 1355	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. _V )
54	39, 47, 53	seq3-1 10624	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` M ) = ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` M ) )
55		eqid 2206	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) = ( k e. ( M ... N ) |-> .0. )
56		eqidd 2207	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> .0. = .0. )
57		eluzfz1 10168	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
58	57	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) -> M e. ( M ... N ) )
59	7	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) -> .0. e. ( Base ` G ) )
60	55, 56, 58, 59	fvmptd3 5685	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` M ) = .0. )
61	54, 60	eqtrd 2239	. . . . . 6 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` M ) = .0. )
62	61	ex 115	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` M ) = .0. ) )
63		elfzouz 10288	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( M..^ N ) -> y e. ( ZZ>= ` M ) )
64	63	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) -> y e. ( ZZ>= ` M ) )
65		elfzouz2 10299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( M..^ N ) -> N e. ( ZZ>= ` y ) )
66		uztrn 9680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` y ) /\ y e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
67	65, 63, 66	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( M..^ N ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
68	67, 47	sylanl1 402	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ u e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` u ) e. _V )
69	67, 53	sylanl1 402	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. _V )
70	64, 68, 69	seq3p1 10627	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` ( y + 1 ) ) ) )
71	70	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` ( y + 1 ) ) ) )
72		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. )
73		eqidd 2207	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( y + 1 ) -> .0. = .0. )
74		fzofzp1 10373	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( M..^ N ) -> ( y + 1 ) e. ( M ... N ) )
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) -> ( y + 1 ) e. ( M ... N ) )
76	7	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) -> .0. e. ( Base ` G ) )
77	55, 73, 75, 76	fvmptd3 5685	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` ( y + 1 ) ) = .0. )
78	77	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` ( y + 1 ) ) = .0. )
79	72, 78	oveq12d 5974	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` ( y + 1 ) ) ) = ( .0. ( +g ` G ) .0. ) )
80	1, 3, 2	mndlid 13337	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Mnd /\ .0. e. ( Base ` G ) ) -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
81	7, 80	mpdan 421	. . . . . . . . 9 |- ( G e. Mnd -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
82	81	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
83	71, 79, 82	3eqtrd 2243	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = .0. )
84	83	exp31 364	. . . . . 6 |- ( y e. ( M..^ N ) -> ( G e. Mnd -> ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = .0. ) ) )
85	84	a2d 26	. . . . 5 |- ( y e. ( M..^ N ) -> ( ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = .0. ) ) )
86	31, 33, 35, 37, 62, 85	fzind2 10385	. . . 4 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) = .0. ) )
87	28, 29, 86	sylc 62	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) = .0. )
88	16, 18, 87	3eqtrd 2243	. 2 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = .0. )
89		zdclt 9465	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID N < M )
90	6, 5, 89	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N < M )
91		exmiddc 838	. . 3 |- (DECID N < M -> ( N < M \/ -. N < M ) )
92	90, 91	syl 14	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M \/ -. N < M ) )
93	15, 88, 92	mpjaodan 800	1 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = .0. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710  DECID wdc 836   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   _Vcvv 2773   ifcif 3575   class class class wbr 4050   |-> cmpt 4112   ` cfv 5279  (class class class)co 5956   Fincfn 6839   1c1 7941   + caddc 7943   < clt 8122   <_ cle 8123   ZZcz 9387   ZZ>=cuz 9663   ...cfz 10145  ..^cfzo 10279   seqcseq 10609   Basecbs 12902   +g cplusg 12979   0gc0g 13158   gsum_g cgsu 13159   Mndcmnd 13318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-iinf 4643  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-addcom 8040  ax-addass 8042  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-tr 4150  df-id 4347  df-iord 4420  df-on 4422  df-ilim 4423  df-suc 4425  df-iom 4646  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-recs 6403  df-frec 6489  df-1o 6514  df-er 6632  df-en 6840  df-fin 6842  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-inn 9052  df-2 9110  df-n0 9311  df-z 9388  df-uz 9664  df-fz 10146  df-fzo 10280  df-seqfrec 10610  df-ndx 12905  df-slot 12906  df-base 12908  df-plusg 12992  df-0g 13160  df-igsum 13161  df-mgm 13258  df-sgrp 13304  df-mnd 13319

This theorem is referenced by: (None)