Theorem gsumfzz 13639

Description: Value of a group sum over the zero element. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Aug-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsumz.z	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
gsumfzz	|- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = .0. )

Distinct variable groups:   .0. , k   k, G   k, M   k, N

Proof of Theorem gsumfzz

Dummy variables w u v y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . . . 5 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		gsumz.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` G )
3		eqid 2231	. . . . 5 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4		simp1 1024	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> G e. Mnd )
5		simp2 1025	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. ZZ )
6		simp3 1026	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
7	1, 2	mndidcl 13574	. . . . . . . 8 |- ( G e. Mnd -> .0. e. ( Base ` G ) )
8	4, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> .0. e. ( Base ` G ) )
9	8	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> .0. e. ( Base ` G ) )
10	9	fmpttd 5810	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) : ( M ... N ) --> ( Base ` G ) )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	gsumfzval 13535	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = if ( N < M , .0. , ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) ) )
12	11	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = if ( N < M , .0. , ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) ) )
13		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> N < M )
14	13	iftrued 3616	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> if ( N < M , .0. , ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) ) = .0. )
15	12, 14	eqtrd 2264	. 2 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = .0. )
16	11	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = if ( N < M , .0. , ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) ) )
17		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> -. N < M )
18	17	iffalsed 3619	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> if ( N < M , .0. , ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) ) = ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) )
19	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> M e. ZZ )
20	6	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> N e. ZZ )
21	5	zred 9645	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. RR )
22	6	zred 9645	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
23	21, 22	lenltd 8340	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
24	23	biimpar 297	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> M <_ N )
25		eluz2 9804	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
26	19, 20, 24, 25	syl3anbrc 1208	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
27		eluzfz2 10310	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
28	26, 27	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> N e. ( M ... N ) )
29	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> G e. Mnd )
30		fveqeq2 5657	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. <-> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` M ) = .0. ) )
31	30	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( w = M -> ( ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. ) <-> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` M ) = .0. ) ) )
32		fveqeq2 5657	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. <-> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) )
33	32	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. ) <-> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) ) )
34		fveqeq2 5657	. . . . . 6 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. <-> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = .0. ) )
35	34	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. ) <-> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = .0. ) ) )
36		fveqeq2 5657	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. <-> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) = .0. ) )
37	36	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. ) <-> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) = .0. ) ) )
38		eluzel2 9803	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
39	38	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) -> M e. ZZ )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ u e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ZZ )
41		eluzelz 9808	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
42	41	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ u e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ZZ )
43	40, 42	fzfigd 10737	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ u e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( M ... N ) e. Fin )
44	43	mptexd 5891	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ u e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) e. _V )
45		vex 2806	. . . . . . . . 9 |- u e. _V
46		fvexg 5667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) e. _V /\ u e. _V ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` u ) e. _V )
47	44, 45, 46	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ u e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` u ) e. _V )
48		plusgslid 13256	. . . . . . . . . . 11 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
49	48	slotex 13170	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. Mnd -> ( +g ` G ) e. _V )
50	49	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> ( +g ` G ) e. _V )
51		simprr 533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> v e. _V )
52		ovexg 6062	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. _V /\ ( +g ` G ) e. _V /\ v e. _V ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. _V )
53	45, 50, 51, 52	mp3an2i 1379	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. _V )
54	39, 47, 53	seq3-1 10768	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` M ) = ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` M ) )
55		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) = ( k e. ( M ... N ) |-> .0. )
56		eqidd 2232	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> .0. = .0. )
57		eluzfz1 10309	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
58	57	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) -> M e. ( M ... N ) )
59	7	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) -> .0. e. ( Base ` G ) )
60	55, 56, 58, 59	fvmptd3 5749	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` M ) = .0. )
61	54, 60	eqtrd 2264	. . . . . 6 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` M ) = .0. )
62	61	ex 115	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` M ) = .0. ) )
63		elfzouz 10429	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( M..^ N ) -> y e. ( ZZ>= ` M ) )
64	63	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) -> y e. ( ZZ>= ` M ) )
65		elfzouz2 10440	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( M..^ N ) -> N e. ( ZZ>= ` y ) )
66		uztrn 9816	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` y ) /\ y e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
67	65, 63, 66	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( M..^ N ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
68	67, 47	sylanl1 402	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ u e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` u ) e. _V )
69	67, 53	sylanl1 402	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. _V )
70	64, 68, 69	seq3p1 10771	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` ( y + 1 ) ) ) )
71	70	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` ( y + 1 ) ) ) )
72		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. )
73		eqidd 2232	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( y + 1 ) -> .0. = .0. )
74		fzofzp1 10516	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( M..^ N ) -> ( y + 1 ) e. ( M ... N ) )
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) -> ( y + 1 ) e. ( M ... N ) )
76	7	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) -> .0. e. ( Base ` G ) )
77	55, 73, 75, 76	fvmptd3 5749	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` ( y + 1 ) ) = .0. )
78	77	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` ( y + 1 ) ) = .0. )
79	72, 78	oveq12d 6046	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` ( y + 1 ) ) ) = ( .0. ( +g ` G ) .0. ) )
80	1, 3, 2	mndlid 13579	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Mnd /\ .0. e. ( Base ` G ) ) -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
81	7, 80	mpdan 421	. . . . . . . . 9 |- ( G e. Mnd -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
82	81	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
83	71, 79, 82	3eqtrd 2268	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = .0. )
84	83	exp31 364	. . . . . 6 |- ( y e. ( M..^ N ) -> ( G e. Mnd -> ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = .0. ) ) )
85	84	a2d 26	. . . . 5 |- ( y e. ( M..^ N ) -> ( ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = .0. ) ) )
86	31, 33, 35, 37, 62, 85	fzind2 10529	. . . 4 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) = .0. ) )
87	28, 29, 86	sylc 62	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) = .0. )
88	16, 18, 87	3eqtrd 2268	. 2 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = .0. )
89		zdclt 9600	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID N < M )
90	6, 5, 89	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N < M )
91		exmiddc 844	. . 3 |- (DECID N < M -> ( N < M \/ -. N < M ) )
92	90, 91	syl 14	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M \/ -. N < M ) )
93	15, 88, 92	mpjaodan 806	1 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = .0. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   ifcif 3607   class class class wbr 4093   |-> cmpt 4155   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Fincfn 6952   1c1 8076   + caddc 8078   < clt 8257   <_ cle 8258   ZZcz 9522   ZZ>=cuz 9798   ...cfz 10286  ..^cfzo 10420   seqcseq 10753   Basecbs 13143   +g cplusg 13221   0gc0g 13400   gsum_g cgsu 13401   Mndcmnd 13560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-2 9245  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-seqfrec 10754  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-plusg 13234  df-0g 13402  df-igsum 13403  df-mgm 13500  df-sgrp 13546  df-mnd 13561

This theorem is referenced by: (None)