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Theorem gsumfzz 13067
Description: Value of a group sum over the zero element. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Aug-2025.)
Hypothesis
Ref Expression
gsumz.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
gsumfzz  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
Distinct variable groups:    .0. , k    k, G    k, M    k, N

Proof of Theorem gsumfzz
Dummy variables  w  u  v  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2193 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2 gsumz.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
3 eqid 2193 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4 simp1 999 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  G  e.  Mnd )
5 simp2 1000 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
6 simp3 1001 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
71, 2mndidcl 13011 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Mnd  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
84, 7syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
98adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  .0.  e.  ( Base `  G ) )
109fmpttd 5713 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  ) : ( M ... N ) --> (
Base `  G )
)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10gsumfzval 12974 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  .0.  ) )  =  if ( N  < 
M ,  .0.  , 
(  seq M ( ( +g  `  G ) ,  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  .0.  ) ) `  N ) ) )
1211adantr 276 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <  M )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  )
)  =  if ( N  <  M ,  .0.  ,  (  seq M
( ( +g  `  G
) ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  )
) `  N )
) )
13 simpr 110 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <  M )  ->  N  <  M
)
1413iftrued 3564 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <  M )  ->  if ( N  <  M ,  .0.  ,  (  seq M ( ( +g  `  G
) ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  )
) `  N )
)  =  .0.  )
1512, 14eqtrd 2226 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <  M )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  )
)  =  .0.  )
1611adantr 276 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  <  M
)  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  ) )  =  if ( N  <  M ,  .0.  ,  (  seq M ( ( +g  `  G ) ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  ) ) `  N
) ) )
17 simpr 110 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  <  M
)  ->  -.  N  <  M )
1817iffalsed 3567 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  <  M
)  ->  if ( N  <  M ,  .0.  ,  (  seq M ( ( +g  `  G
) ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  )
) `  N )
)  =  (  seq M ( ( +g  `  G ) ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  ) ) `  N
) )
195adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  <  M
)  ->  M  e.  ZZ )
206adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  <  M
)  ->  N  e.  ZZ )
215zred 9439 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
226zred 9439 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
2321, 22lenltd 8137 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  <->  -.  N  <  M ) )
2423biimpar 297 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  <  M
)  ->  M  <_  N )
25 eluz2 9598 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
2619, 20, 24, 25syl3anbrc 1183 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  <  M
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
27 eluzfz2 10098 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
2826, 27syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  <  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
294adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  <  M
)  ->  G  e.  Mnd )
30 fveqeq2 5563 . . . . . 6  |-  ( w  =  M  ->  (
(  seq M ( ( +g  `  G ) ,  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  .0.  ) ) `  w )  =  .0.  <->  (  seq M ( ( +g  `  G ) ,  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  .0.  ) ) `  M )  =  .0.  ) )
3130imbi2d 230 . . . . 5  |-  ( w  =  M  ->  (
( G  e.  Mnd  ->  (  seq M ( ( +g  `  G
) ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  )
) `  w )  =  .0.  )  <->  ( G  e.  Mnd  ->  (  seq M ( ( +g  `  G ) ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  ) ) `  M
)  =  .0.  )
) )
32 fveqeq2 5563 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
(  seq M ( ( +g  `  G ) ,  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  .0.  ) ) `  w )  =  .0.  <->  (  seq M ( ( +g  `  G ) ,  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  .0.  ) ) `  y )  =  .0.  ) )
3332imbi2d 230 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( G  e.  Mnd  ->  (  seq M ( ( +g  `  G
) ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  )
) `  w )  =  .0.  )  <->  ( G  e.  Mnd  ->  (  seq M ( ( +g  `  G ) ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  ) ) `  y
)  =  .0.  )
) )
34 fveqeq2 5563 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  (
(  seq M ( ( +g  `  G ) ,  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  .0.  ) ) `  w )  =  .0.  <->  (  seq M ( ( +g  `  G ) ,  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  .0.  ) ) `  ( y  +  1 ) )  =  .0.  ) )
3534imbi2d 230 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  +  1 )  ->  (
( G  e.  Mnd  ->  (  seq M ( ( +g  `  G
) ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  )
) `  w )  =  .0.  )  <->  ( G  e.  Mnd  ->  (  seq M ( ( +g  `  G ) ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  ) ) `  (
y  +  1 ) )  =  .0.  )
) )
36 fveqeq2 5563 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  (
(  seq M ( ( +g  `  G ) ,  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  .0.  ) ) `  w )  =  .0.  <->  (  seq M ( ( +g  `  G ) ,  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  .0.  ) ) `  N )  =  .0.  ) )
3736imbi2d 230 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (
( G  e.  Mnd  ->  (  seq M ( ( +g  `  G
) ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  )
) `  w )  =  .0.  )  <->  ( G  e.  Mnd  ->  (  seq M ( ( +g  `  G ) ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  ) ) `  N
)  =  .0.  )
) )
38 eluzel2 9597 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
3938adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  G  e.  Mnd )  ->  M  e.  ZZ )
4039adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  G  e.  Mnd )  /\  u  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  M  e.  ZZ )
41 eluzelz 9601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
4241ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  G  e.  Mnd )  /\  u  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  N  e.  ZZ )
4340, 42fzfigd 10502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  G  e.  Mnd )  /\  u  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  ( M ... N )  e.  Fin )
4443mptexd 5785 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  G  e.  Mnd )  /\  u  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  .0.  )  e.  _V )
45 vex 2763 . . . . . . . . 9  |-  u  e. 
_V
46 fvexg 5573 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  .0.  )  e.  _V  /\  u  e.  _V )  ->  ( ( k  e.  ( M ... N
)  |->  .0.  ) `  u )  e.  _V )
4744, 45, 46sylancl 413 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  G  e.  Mnd )  /\  u  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  ) `  u )  e.  _V )
48 plusgslid 12730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( +g  = Slot  ( +g  `  ndx )  /\  ( +g  `  ndx )  e.  NN )
4948slotex 12645 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Mnd  ->  ( +g  `  G )  e. 
_V )
5049ad2antlr 489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  G  e.  Mnd )  /\  ( u  e.  _V  /\  v  e.  _V )
)  ->  ( +g  `  G )  e.  _V )
51 simprr 531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  G  e.  Mnd )  /\  ( u  e.  _V  /\  v  e.  _V )
)  ->  v  e.  _V )
52 ovexg 5952 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  _V  /\  ( +g  `  G )  e.  _V  /\  v  e.  _V )  ->  (
u ( +g  `  G
) v )  e. 
_V )
5345, 50, 51, 52mp3an2i 1353 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  M )  /\  G  e.  Mnd )  /\  ( u  e.  _V  /\  v  e.  _V )
)  ->  ( u
( +g  `  G ) v )  e.  _V )
5439, 47, 53seq3-1 10533 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  G  e.  Mnd )  ->  (  seq M ( ( +g  `  G ) ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  ) ) `  M
)  =  ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  ) `  M ) )
55 eqid 2193 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  )  =  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  .0.  )
56 eqidd 2194 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  .0.  =  .0.  )
57 eluzfz1 10097 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
5857adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  G  e.  Mnd )  ->  M  e.  ( M ... N
) )
597adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  G  e.  Mnd )  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
6055, 56, 58, 59fvmptd3 5651 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  G  e.  Mnd )  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  .0.  ) `  M
)  =  .0.  )
6154, 60eqtrd 2226 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  G  e.  Mnd )  ->  (  seq M ( ( +g  `  G ) ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  ) ) `  M
)  =  .0.  )
6261ex 115 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( G  e.  Mnd  ->  (  seq M ( ( +g  `  G ) ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  ) ) `  M
)  =  .0.  )
)
63 elfzouz 10217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( M..^ N
)  ->  y  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6463adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  G  e.  Mnd )  ->  y  e.  ( ZZ>= `  M )
)
65 elfzouz2 10228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( M..^ N
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  y )
)
66 uztrn 9609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  y )  /\  y  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6765, 63, 66syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( M..^ N
)  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
6867, 47sylanl1 402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  G  e.  Mnd )  /\  u  e.  ( ZZ>=
`  M ) )  ->  ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  ) `  u )  e.  _V )
6967, 53sylanl1 402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  G  e.  Mnd )  /\  ( u  e.  _V  /\  v  e.  _V )
)  ->  ( u
( +g  `  G ) v )  e.  _V )
7064, 68, 69seq3p1 10536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  G  e.  Mnd )  ->  (  seq M ( ( +g  `  G ) ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  ) ) `  (
y  +  1 ) )  =  ( (  seq M ( ( +g  `  G ) ,  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  .0.  ) ) `  y ) ( +g  `  G ) ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  ) `  ( y  +  1 ) ) ) )
7170adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  G  e.  Mnd )  /\  (  seq M ( ( +g  `  G
) ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  )
) `  y )  =  .0.  )  ->  (  seq M ( ( +g  `  G ) ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  ) ) `  (
y  +  1 ) )  =  ( (  seq M ( ( +g  `  G ) ,  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  .0.  ) ) `  y ) ( +g  `  G ) ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  ) `  ( y  +  1 ) ) ) )
72 simpr 110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  G  e.  Mnd )  /\  (  seq M ( ( +g  `  G
) ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  )
) `  y )  =  .0.  )  ->  (  seq M ( ( +g  `  G ) ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  ) ) `  y
)  =  .0.  )
73 eqidd 2194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( y  +  1 )  ->  .0.  =  .0.  )
74 fzofzp1 10294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( M..^ N
)  ->  ( y  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
7574adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  G  e.  Mnd )  ->  (
y  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
767adantl 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  G  e.  Mnd )  ->  .0.  e.  ( Base `  G
) )
7755, 73, 75, 76fvmptd3 5651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  G  e.  Mnd )  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  .0.  ) `  (
y  +  1 ) )  =  .0.  )
7877adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  G  e.  Mnd )  /\  (  seq M ( ( +g  `  G
) ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  )
) `  y )  =  .0.  )  ->  (
( k  e.  ( M ... N ) 
|->  .0.  ) `  (
y  +  1 ) )  =  .0.  )
7972, 78oveq12d 5936 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  G  e.  Mnd )  /\  (  seq M ( ( +g  `  G
) ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  )
) `  y )  =  .0.  )  ->  (
(  seq M ( ( +g  `  G ) ,  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  .0.  ) ) `  y ) ( +g  `  G ) ( ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  ) `  ( y  +  1 ) ) )  =  (  .0.  ( +g  `  G
)  .0.  ) )
801, 3, 2mndlid 13016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  .0.  e.  ( Base `  G
) )  ->  (  .0.  ( +g  `  G
)  .0.  )  =  .0.  )
817, 80mpdan 421 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (  .0.  ( +g  `  G
)  .0.  )  =  .0.  )
8281ad2antlr 489 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  G  e.  Mnd )  /\  (  seq M ( ( +g  `  G
) ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  )
) `  y )  =  .0.  )  ->  (  .0.  ( +g  `  G
)  .0.  )  =  .0.  )
8371, 79, 823eqtrd 2230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  ( M..^ N )  /\  G  e.  Mnd )  /\  (  seq M ( ( +g  `  G
) ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  )
) `  y )  =  .0.  )  ->  (  seq M ( ( +g  `  G ) ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  ) ) `  (
y  +  1 ) )  =  .0.  )
8483exp31 364 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( M..^ N
)  ->  ( G  e.  Mnd  ->  ( (  seq M ( ( +g  `  G ) ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  ) ) `  y
)  =  .0.  ->  (  seq M ( ( +g  `  G ) ,  ( k  e.  ( M ... N
)  |->  .0.  ) ) `  ( y  +  1 ) )  =  .0.  ) ) )
8584a2d 26 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( M..^ N
)  ->  ( ( G  e.  Mnd  ->  (  seq M ( ( +g  `  G ) ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  ) ) `  y
)  =  .0.  )  ->  ( G  e.  Mnd  ->  (  seq M ( ( +g  `  G
) ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  )
) `  ( y  +  1 ) )  =  .0.  ) ) )
8631, 33, 35, 37, 62, 85fzind2 10306 . . . 4  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( G  e.  Mnd  ->  (  seq M ( ( +g  `  G ) ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  ) ) `  N
)  =  .0.  )
)
8728, 29, 86sylc 62 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  <  M
)  ->  (  seq M ( ( +g  `  G ) ,  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  ) ) `  N
)  =  .0.  )
8816, 18, 873eqtrd 2230 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  N  <  M
)  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( M ... N )  |->  .0.  ) )  =  .0.  )
89 zdclt 9394 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  -> DECID  N  <  M )
906, 5, 89syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  N  <  M )
91 exmiddc 837 . . 3  |-  (DECID  N  < 
M  ->  ( N  <  M  \/  -.  N  <  M ) )
9290, 91syl 14 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <  M  \/  -.  N  <  M ) )
9315, 88, 92mpjaodan 799 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( G  gsumg  ( k  e.  ( M ... N ) 
|->  .0.  ) )  =  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 709  DECID wdc 835    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2164   _Vcvv 2760   ifcif 3557   class class class wbr 4029    |-> cmpt 4090   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Fincfn 6794   1c1 7873    + caddc 7875    < clt 8054    <_ cle 8055   ZZcz 9317   ZZ>=cuz 9592   ...cfz 10074  ..^cfzo 10208    seqcseq 10518   Basecbs 12618   +g cplusg 12695   0gc0g 12867    gsumg cgsu 12868   Mndcmnd 12997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-1o 6469  df-er 6587  df-en 6795  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-0g 12869  df-igsum 12870  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998
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