Theorem gsumfzz 13571

Description: Value of a group sum over the zero element. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Aug-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsumz.z	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
gsumfzz	|- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = .0. )

Distinct variable groups:   .0. , k   k, G   k, M   k, N

Proof of Theorem gsumfzz

Dummy variables w u v y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . . . 5 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		gsumz.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` G )
3		eqid 2229	. . . . 5 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4		simp1 1021	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> G e. Mnd )
5		simp2 1022	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. ZZ )
6		simp3 1023	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
7	1, 2	mndidcl 13506	. . . . . . . 8 |- ( G e. Mnd -> .0. e. ( Base ` G ) )
8	4, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> .0. e. ( Base ` G ) )
9	8	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> .0. e. ( Base ` G ) )
10	9	fmpttd 5798	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) : ( M ... N ) --> ( Base ` G ) )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	gsumfzval 13467	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = if ( N < M , .0. , ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) ) )
12	11	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = if ( N < M , .0. , ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) ) )
13		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> N < M )
14	13	iftrued 3610	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> if ( N < M , .0. , ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) ) = .0. )
15	12, 14	eqtrd 2262	. 2 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = .0. )
16	11	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = if ( N < M , .0. , ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) ) )
17		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> -. N < M )
18	17	iffalsed 3613	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> if ( N < M , .0. , ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) ) = ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) )
19	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> M e. ZZ )
20	6	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> N e. ZZ )
21	5	zred 9595	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. RR )
22	6	zred 9595	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
23	21, 22	lenltd 8290	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
24	23	biimpar 297	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> M <_ N )
25		eluz2 9754	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
26	19, 20, 24, 25	syl3anbrc 1205	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
27		eluzfz2 10260	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
28	26, 27	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> N e. ( M ... N ) )
29	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> G e. Mnd )
30		fveqeq2 5644	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. <-> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` M ) = .0. ) )
31	30	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( w = M -> ( ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. ) <-> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` M ) = .0. ) ) )
32		fveqeq2 5644	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. <-> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) )
33	32	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. ) <-> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) ) )
34		fveqeq2 5644	. . . . . 6 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. <-> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = .0. ) )
35	34	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. ) <-> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = .0. ) ) )
36		fveqeq2 5644	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. <-> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) = .0. ) )
37	36	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. ) <-> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) = .0. ) ) )
38		eluzel2 9753	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
39	38	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) -> M e. ZZ )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ u e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ZZ )
41		eluzelz 9758	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
42	41	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ u e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ZZ )
43	40, 42	fzfigd 10686	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ u e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( M ... N ) e. Fin )
44	43	mptexd 5876	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ u e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) e. _V )
45		vex 2803	. . . . . . . . 9 |- u e. _V
46		fvexg 5654	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) e. _V /\ u e. _V ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` u ) e. _V )
47	44, 45, 46	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ u e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` u ) e. _V )
48		plusgslid 13188	. . . . . . . . . . 11 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
49	48	slotex 13102	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. Mnd -> ( +g ` G ) e. _V )
50	49	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> ( +g ` G ) e. _V )
51		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> v e. _V )
52		ovexg 6047	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. _V /\ ( +g ` G ) e. _V /\ v e. _V ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. _V )
53	45, 50, 51, 52	mp3an2i 1376	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. _V )
54	39, 47, 53	seq3-1 10717	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` M ) = ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` M ) )
55		eqid 2229	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) = ( k e. ( M ... N ) |-> .0. )
56		eqidd 2230	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> .0. = .0. )
57		eluzfz1 10259	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
58	57	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) -> M e. ( M ... N ) )
59	7	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) -> .0. e. ( Base ` G ) )
60	55, 56, 58, 59	fvmptd3 5736	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` M ) = .0. )
61	54, 60	eqtrd 2262	. . . . . 6 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` M ) = .0. )
62	61	ex 115	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` M ) = .0. ) )
63		elfzouz 10379	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( M..^ N ) -> y e. ( ZZ>= ` M ) )
64	63	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) -> y e. ( ZZ>= ` M ) )
65		elfzouz2 10390	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( M..^ N ) -> N e. ( ZZ>= ` y ) )
66		uztrn 9766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` y ) /\ y e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
67	65, 63, 66	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( M..^ N ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
68	67, 47	sylanl1 402	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ u e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` u ) e. _V )
69	67, 53	sylanl1 402	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. _V )
70	64, 68, 69	seq3p1 10720	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` ( y + 1 ) ) ) )
71	70	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` ( y + 1 ) ) ) )
72		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. )
73		eqidd 2230	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( y + 1 ) -> .0. = .0. )
74		fzofzp1 10465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( M..^ N ) -> ( y + 1 ) e. ( M ... N ) )
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) -> ( y + 1 ) e. ( M ... N ) )
76	7	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) -> .0. e. ( Base ` G ) )
77	55, 73, 75, 76	fvmptd3 5736	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` ( y + 1 ) ) = .0. )
78	77	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` ( y + 1 ) ) = .0. )
79	72, 78	oveq12d 6031	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` ( y + 1 ) ) ) = ( .0. ( +g ` G ) .0. ) )
80	1, 3, 2	mndlid 13511	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Mnd /\ .0. e. ( Base ` G ) ) -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
81	7, 80	mpdan 421	. . . . . . . . 9 |- ( G e. Mnd -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
82	81	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
83	71, 79, 82	3eqtrd 2266	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = .0. )
84	83	exp31 364	. . . . . 6 |- ( y e. ( M..^ N ) -> ( G e. Mnd -> ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = .0. ) ) )
85	84	a2d 26	. . . . 5 |- ( y e. ( M..^ N ) -> ( ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = .0. ) ) )
86	31, 33, 35, 37, 62, 85	fzind2 10478	. . . 4 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) = .0. ) )
87	28, 29, 86	sylc 62	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) = .0. )
88	16, 18, 87	3eqtrd 2266	. 2 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = .0. )
89		zdclt 9550	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID N < M )
90	6, 5, 89	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N < M )
91		exmiddc 841	. . 3 |- (DECID N < M -> ( N < M \/ -. N < M ) )
92	90, 91	syl 14	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M \/ -. N < M ) )
93	15, 88, 92	mpjaodan 803	1 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = .0. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713  DECID wdc 839   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2800   ifcif 3603   class class class wbr 4086   |-> cmpt 4148   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   Fincfn 6904   1c1 8026   + caddc 8028   < clt 8207   <_ cle 8208   ZZcz 9472   ZZ>=cuz 9748   ...cfz 10236  ..^cfzo 10370   seqcseq 10702   Basecbs 13075   +g cplusg 13153   0gc0g 13332   gsum_g cgsu 13333   Mndcmnd 13492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-addass 8127  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-er 6697  df-en 6905  df-fin 6907  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-inn 9137  df-2 9195  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-fz 10237  df-fzo 10371  df-seqfrec 10703  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-plusg 13166  df-0g 13334  df-igsum 13335  df-mgm 13432  df-sgrp 13478  df-mnd 13493

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