Theorem gsumfzz 13137

Description: Value of a group sum over the zero element. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 15-Aug-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsumz.z	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
gsumfzz	|- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = .0. )

Distinct variable groups:   .0. , k   k, G   k, M   k, N

Proof of Theorem gsumfzz

Dummy variables w u v y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . . . 5 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		gsumz.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` G )
3		eqid 2196	. . . . 5 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
4		simp1 999	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> G e. Mnd )
5		simp2 1000	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. ZZ )
6		simp3 1001	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
7	1, 2	mndidcl 13081	. . . . . . . 8 |- ( G e. Mnd -> .0. e. ( Base ` G ) )
8	4, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> .0. e. ( Base ` G ) )
9	8	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ k e. ( M ... N ) ) -> .0. e. ( Base ` G ) )
10	9	fmpttd 5718	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) : ( M ... N ) --> ( Base ` G ) )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	gsumfzval 13044	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = if ( N < M , .0. , ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) ) )
12	11	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = if ( N < M , .0. , ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) ) )
13		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> N < M )
14	13	iftrued 3569	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> if ( N < M , .0. , ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) ) = .0. )
15	12, 14	eqtrd 2229	. 2 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N < M ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = .0. )
16	11	adantr 276	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = if ( N < M , .0. , ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) ) )
17		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> -. N < M )
18	17	iffalsed 3572	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> if ( N < M , .0. , ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) ) = ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) )
19	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> M e. ZZ )
20	6	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> N e. ZZ )
21	5	zred 9450	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. RR )
22	6	zred 9450	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
23	21, 22	lenltd 8146	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> -. N < M ) )
24	23	biimpar 297	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> M <_ N )
25		eluz2 9609	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
26	19, 20, 24, 25	syl3anbrc 1183	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
27		eluzfz2 10109	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ( M ... N ) )
28	26, 27	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> N e. ( M ... N ) )
29	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> G e. Mnd )
30		fveqeq2 5568	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. <-> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` M ) = .0. ) )
31	30	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( w = M -> ( ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. ) <-> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` M ) = .0. ) ) )
32		fveqeq2 5568	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. <-> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) )
33	32	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. ) <-> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) ) )
34		fveqeq2 5568	. . . . . 6 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. <-> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = .0. ) )
35	34	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( w = ( y + 1 ) -> ( ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. ) <-> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = .0. ) ) )
36		fveqeq2 5568	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. <-> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) = .0. ) )
37	36	imbi2d 230	. . . . 5 |- ( w = N -> ( ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` w ) = .0. ) <-> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) = .0. ) ) )
38		eluzel2 9608	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
39	38	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) -> M e. ZZ )
40	39	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ u e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ZZ )
41		eluzelz 9612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )
42	41	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ u e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ZZ )
43	40, 42	fzfigd 10525	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ u e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( M ... N ) e. Fin )
44	43	mptexd 5790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ u e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) e. _V )
45		vex 2766	. . . . . . . . 9 |- u e. _V
46		fvexg 5578	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) e. _V /\ u e. _V ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` u ) e. _V )
47	44, 45, 46	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ u e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` u ) e. _V )
48		plusgslid 12800	. . . . . . . . . . 11 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
49	48	slotex 12715	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. Mnd -> ( +g ` G ) e. _V )
50	49	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> ( +g ` G ) e. _V )
51		simprr 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> v e. _V )
52		ovexg 5957	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. _V /\ ( +g ` G ) e. _V /\ v e. _V ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. _V )
53	45, 50, 51, 52	mp3an2i 1353	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. _V )
54	39, 47, 53	seq3-1 10556	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` M ) = ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` M ) )
55		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) = ( k e. ( M ... N ) |-> .0. )
56		eqidd 2197	. . . . . . . 8 |- ( k = M -> .0. = .0. )
57		eluzfz1 10108	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
58	57	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) -> M e. ( M ... N ) )
59	7	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) -> .0. e. ( Base ` G ) )
60	55, 56, 58, 59	fvmptd3 5656	. . . . . . 7 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` M ) = .0. )
61	54, 60	eqtrd 2229	. . . . . 6 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ G e. Mnd ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` M ) = .0. )
62	61	ex 115	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` M ) = .0. ) )
63		elfzouz 10228	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( M..^ N ) -> y e. ( ZZ>= ` M ) )
64	63	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) -> y e. ( ZZ>= ` M ) )
65		elfzouz2 10239	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( M..^ N ) -> N e. ( ZZ>= ` y ) )
66		uztrn 9620	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` y ) /\ y e. ( ZZ>= ` M ) ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
67	65, 63, 66	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( M..^ N ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
68	67, 47	sylanl1 402	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ u e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` u ) e. _V )
69	67, 53	sylanl1 402	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. _V )
70	64, 68, 69	seq3p1 10559	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` ( y + 1 ) ) ) )
71	70	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` ( y + 1 ) ) ) )
72		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. )
73		eqidd 2197	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( y + 1 ) -> .0. = .0. )
74		fzofzp1 10305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( M..^ N ) -> ( y + 1 ) e. ( M ... N ) )
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) -> ( y + 1 ) e. ( M ... N ) )
76	7	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) -> .0. e. ( Base ` G ) )
77	55, 73, 75, 76	fvmptd3 5656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` ( y + 1 ) ) = .0. )
78	77	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` ( y + 1 ) ) = .0. )
79	72, 78	oveq12d 5941	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) ( +g ` G ) ( ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ` ( y + 1 ) ) ) = ( .0. ( +g ` G ) .0. ) )
80	1, 3, 2	mndlid 13086	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Mnd /\ .0. e. ( Base ` G ) ) -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
81	7, 80	mpdan 421	. . . . . . . . 9 |- ( G e. Mnd -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
82	81	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
83	71, 79, 82	3eqtrd 2233	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. ( M..^ N ) /\ G e. Mnd ) /\ ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = .0. )
84	83	exp31 364	. . . . . 6 |- ( y e. ( M..^ N ) -> ( G e. Mnd -> ( ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = .0. ) ) )
85	84	a2d 26	. . . . 5 |- ( y e. ( M..^ N ) -> ( ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` y ) = .0. ) -> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` ( y + 1 ) ) = .0. ) ) )
86	31, 33, 35, 37, 62, 85	fzind2 10317	. . . 4 |- ( N e. ( M ... N ) -> ( G e. Mnd -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) = .0. ) )
87	28, 29, 86	sylc 62	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> ( seq M ( ( +g ` G ) , ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) ` N ) = .0. )
88	16, 18, 87	3eqtrd 2233	. 2 |- ( ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. N < M ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = .0. )
89		zdclt 9405	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> DECID N < M )
90	6, 5, 89	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N < M )
91		exmiddc 837	. . 3 |- (DECID N < M -> ( N < M \/ -. N < M ) )
92	90, 91	syl 14	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N < M \/ -. N < M ) )
93	15, 88, 92	mpjaodan 799	1 |- ( ( G e. Mnd /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( G gsumg ( k e. ( M ... N ) |-> .0. ) ) = .0. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   ifcif 3562   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   Fincfn 6800   1c1 7882   + caddc 7884   < clt 8063   <_ cle 8064   ZZcz 9328   ZZ>=cuz 9603   ...cfz 10085  ..^cfzo 10219   seqcseq 10541   Basecbs 12688   +g cplusg 12765   0gc0g 12937   gsum_g cgsu 12938   Mndcmnd 13067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-addcom 7981  ax-addass 7983  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-frec 6450  df-1o 6475  df-er 6593  df-en 6801  df-fin 6803  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-inn 8993  df-2 9051  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-fz 10086  df-fzo 10220  df-seqfrec 10542  df-ndx 12691  df-slot 12692  df-base 12694  df-plusg 12778  df-0g 12939  df-igsum 12940  df-mgm 13009  df-sgrp 13055  df-mnd 13068

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