Theorem mulgnn0p1 12999

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a successor, extended to NN0. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0p1.b	|- B = ( Base ` G )
mulgnn0p1.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgnn0p1.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0p1	|- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( N + 1 ) .x. X ) = ( ( N .x. X ) .+ X ) )

Proof of Theorem mulgnn0p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) /\ N e. NN ) -> N e. NN )
2		simpl3 1002	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) /\ N e. NN ) -> X e. B )
3		mulgnn0p1.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
4		mulgnn0p1.t	. . . 4 |- .x. = (.g ` G )
5		mulgnn0p1.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
6	3, 4, 5	mulgnnp1 12996	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ X e. B ) -> ( ( N + 1 ) .x. X ) = ( ( N .x. X ) .+ X ) )
7	1, 2, 6	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) /\ N e. NN ) -> ( ( N + 1 ) .x. X ) = ( ( N .x. X ) .+ X ) )
8		eqid 2177	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
9	3, 5, 8	mndlid 12841	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ X ) = X )
10	3, 8, 4	mulg0 12993	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
11	10	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
12	11	oveq1d 5892	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( ( 0 .x. X ) .+ X ) = ( ( 0g ` G ) .+ X ) )
13	3, 4	mulg1 12995	. . . . . . 7 |- ( X e. B -> ( 1 .x. X ) = X )
14	13	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( 1 .x. X ) = X )
15	9, 12, 14	3eqtr4rd 2221	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( 1 .x. X ) = ( ( 0 .x. X ) .+ X ) )
16	15	3adant2 1016	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) -> ( 1 .x. X ) = ( ( 0 .x. X ) .+ X ) )
17		oveq1 5884	. . . . . . 7 |- ( N = 0 -> ( N + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
18		1e0p1 9427	. . . . . . 7 |- 1 = ( 0 + 1 )
19	17, 18	eqtr4di 2228	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( N + 1 ) = 1 )
20	19	oveq1d 5892	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( ( N + 1 ) .x. X ) = ( 1 .x. X ) )
21		oveq1 5884	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( N .x. X ) = ( 0 .x. X ) )
22	21	oveq1d 5892	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( ( N .x. X ) .+ X ) = ( ( 0 .x. X ) .+ X ) )
23	20, 22	eqeq12d 2192	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( ( ( N + 1 ) .x. X ) = ( ( N .x. X ) .+ X ) <-> ( 1 .x. X ) = ( ( 0 .x. X ) .+ X ) ) )
24	16, 23	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) -> ( N = 0 -> ( ( N + 1 ) .x. X ) = ( ( N .x. X ) .+ X ) ) )
25	24	imp 124	. 2 |- ( ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) /\ N = 0 ) -> ( ( N + 1 ) .x. X ) = ( ( N .x. X ) .+ X ) )
26		simp2 998	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) -> N e. NN0 )
27		elnn0 9180	. . 3 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
28	26, 27	sylib 122	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) -> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
29	7, 25, 28	mpjaodan 798	1 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( N + 1 ) .x. X ) = ( ( N .x. X ) .+ X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   0cc0 7813   1c1 7814   + caddc 7816   NNcn 8921   NN0cn0 9178   Basecbs 12464   +g cplusg 12538   0gc0g 12710   Mndcmnd 12822  ._gcmg 12988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-2 8980  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-seqfrec 10448  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-minusg 12886  df-mulg 12989

This theorem is referenced by:  mulgaddcom  13012  mulginvcom  13013  mulgneg2  13022  mhmmulg  13029  srgmulgass  13177  srgpcomp  13178  srgpcompp  13179  lmodvsmmulgdi  13418  cnfldmulg  13555  cnfldexp  13556