Theorem mulgnn0p1 12850

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a successor, extended to NN0. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0p1.b	|- B = ( Base ` G )
mulgnn0p1.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgnn0p1.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0p1	|- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( N + 1 ) .x. X ) = ( ( N .x. X ) .+ X ) )

Proof of Theorem mulgnn0p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) /\ N e. NN ) -> N e. NN )
2		simpl3 1000	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) /\ N e. NN ) -> X e. B )
3		mulgnn0p1.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
4		mulgnn0p1.t	. . . 4 |- .x. = (.g ` G )
5		mulgnn0p1.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
6	3, 4, 5	mulgnnp1 12847	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ X e. B ) -> ( ( N + 1 ) .x. X ) = ( ( N .x. X ) .+ X ) )
7	1, 2, 6	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) /\ N e. NN ) -> ( ( N + 1 ) .x. X ) = ( ( N .x. X ) .+ X ) )
8		eqid 2173	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
9	3, 5, 8	mndlid 12698	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ X ) = X )
10	3, 8, 4	mulg0 12844	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
11	10	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
12	11	oveq1d 5877	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( ( 0 .x. X ) .+ X ) = ( ( 0g ` G ) .+ X ) )
13	3, 4	mulg1 12846	. . . . . . 7 |- ( X e. B -> ( 1 .x. X ) = X )
14	13	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( 1 .x. X ) = X )
15	9, 12, 14	3eqtr4rd 2217	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( 1 .x. X ) = ( ( 0 .x. X ) .+ X ) )
16	15	3adant2 1014	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) -> ( 1 .x. X ) = ( ( 0 .x. X ) .+ X ) )
17		oveq1 5869	. . . . . . 7 |- ( N = 0 -> ( N + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
18		1e0p1 9393	. . . . . . 7 |- 1 = ( 0 + 1 )
19	17, 18	eqtr4di 2224	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( N + 1 ) = 1 )
20	19	oveq1d 5877	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( ( N + 1 ) .x. X ) = ( 1 .x. X ) )
21		oveq1 5869	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( N .x. X ) = ( 0 .x. X ) )
22	21	oveq1d 5877	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( ( N .x. X ) .+ X ) = ( ( 0 .x. X ) .+ X ) )
23	20, 22	eqeq12d 2188	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( ( ( N + 1 ) .x. X ) = ( ( N .x. X ) .+ X ) <-> ( 1 .x. X ) = ( ( 0 .x. X ) .+ X ) ) )
24	16, 23	syl5ibrcom 158	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) -> ( N = 0 -> ( ( N + 1 ) .x. X ) = ( ( N .x. X ) .+ X ) ) )
25	24	imp 124	. 2 |- ( ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) /\ N = 0 ) -> ( ( N + 1 ) .x. X ) = ( ( N .x. X ) .+ X ) )
26		simp2 996	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) -> N e. NN0 )
27		elnn0 9146	. . 3 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
28	26, 27	sylib 122	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) -> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
29	7, 25, 28	mpjaodan 796	1 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( N + 1 ) .x. X ) = ( ( N .x. X ) .+ X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 706   /\ w3a 976   = wceq 1351   e. wcel 2144   ` cfv 5205  (class class class)co 5862   0cc0 7783   1c1 7784   + caddc 7786   NNcn 8887   NN0cn0 9144   Basecbs 12425   +g cplusg 12489   0gc0g 12623   Mndcmnd 12679  ._gcmg 12839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 612  ax-in2 613  ax-io 707  ax-5 1443  ax-7 1444  ax-gen 1445  ax-ie1 1489  ax-ie2 1490  ax-8 1500  ax-10 1501  ax-11 1502  ax-i12 1503  ax-bndl 1505  ax-4 1506  ax-17 1522  ax-i9 1526  ax-ial 1530  ax-i5r 1531  ax-13 2146  ax-14 2147  ax-ext 2155  ax-coll 4110  ax-sep 4113  ax-nul 4121  ax-pow 4166  ax-pr 4200  ax-un 4424  ax-setind 4527  ax-iinf 4578  ax-cnex 7874  ax-resscn 7875  ax-1cn 7876  ax-1re 7877  ax-icn 7878  ax-addcl 7879  ax-addrcl 7880  ax-mulcl 7881  ax-addcom 7883  ax-addass 7885  ax-distr 7887  ax-i2m1 7888  ax-0lt1 7889  ax-0id 7891  ax-rnegex 7892  ax-cnre 7894  ax-pre-ltirr 7895  ax-pre-ltwlin 7896  ax-pre-lttrn 7897  ax-pre-ltadd 7899

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 833  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1354  df-fal 1357  df-nf 1457  df-sb 1759  df-eu 2025  df-mo 2026  df-clab 2160  df-cleq 2166  df-clel 2169  df-nfc 2304  df-ne 2344  df-nel 2439  df-ral 2456  df-rex 2457  df-reu 2458  df-rmo 2459  df-rab 2460  df-v 2735  df-sbc 2959  df-csb 3053  df-dif 3126  df-un 3128  df-in 3130  df-ss 3137  df-nul 3418  df-if 3530  df-pw 3571  df-sn 3592  df-pr 3593  df-op 3595  df-uni 3803  df-int 3838  df-iun 3881  df-br 3996  df-opab 4057  df-mpt 4058  df-tr 4094  df-id 4284  df-iord 4357  df-on 4359  df-ilim 4360  df-suc 4362  df-iom 4581  df-xp 4623  df-rel 4624  df-cnv 4625  df-co 4626  df-dm 4627  df-rn 4628  df-res 4629  df-ima 4630  df-iota 5167  df-fun 5207  df-fn 5208  df-f 5209  df-f1 5210  df-fo 5211  df-f1o 5212  df-fv 5213  df-riota 5818  df-ov 5865  df-oprab 5866  df-mpo 5867  df-1st 6128  df-2nd 6129  df-recs 6293  df-frec 6379  df-pnf 7965  df-mnf 7966  df-xr 7967  df-ltxr 7968  df-le 7969  df-sub 8101  df-neg 8102  df-inn 8888  df-2 8946  df-n0 9145  df-z 9222  df-uz 9497  df-seqfrec 10411  df-ndx 12428  df-slot 12429  df-base 12431  df-plusg 12502  df-0g 12625  df-mgm 12637  df-sgrp 12670  df-mnd 12680  df-minusg 12739  df-mulg 12840

This theorem is referenced by:  mulgaddcom  12862  mulginvcom  12863  mulgneg2  12872  mhmmulg  12879