Theorem mulgnn0p1 12926

Description: Group multiple (exponentiation) operation at a successor, extended to NN0. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0p1.b	|- B = ( Base ` G )
mulgnn0p1.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgnn0p1.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0p1	|- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( N + 1 ) .x. X ) = ( ( N .x. X ) .+ X ) )

Proof of Theorem mulgnn0p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) /\ N e. NN ) -> N e. NN )
2		simpl3 1002	. . 3 |- ( ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) /\ N e. NN ) -> X e. B )
3		mulgnn0p1.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
4		mulgnn0p1.t	. . . 4 |- .x. = (.g ` G )
5		mulgnn0p1.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
6	3, 4, 5	mulgnnp1 12923	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ X e. B ) -> ( ( N + 1 ) .x. X ) = ( ( N .x. X ) .+ X ) )
7	1, 2, 6	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) /\ N e. NN ) -> ( ( N + 1 ) .x. X ) = ( ( N .x. X ) .+ X ) )
8		eqid 2177	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
9	3, 5, 8	mndlid 12768	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ X ) = X )
10	3, 8, 4	mulg0 12920	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
11	10	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` G ) )
12	11	oveq1d 5887	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( ( 0 .x. X ) .+ X ) = ( ( 0g ` G ) .+ X ) )
13	3, 4	mulg1 12922	. . . . . . 7 |- ( X e. B -> ( 1 .x. X ) = X )
14	13	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( 1 .x. X ) = X )
15	9, 12, 14	3eqtr4rd 2221	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ X e. B ) -> ( 1 .x. X ) = ( ( 0 .x. X ) .+ X ) )
16	15	3adant2 1016	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) -> ( 1 .x. X ) = ( ( 0 .x. X ) .+ X ) )
17		oveq1 5879	. . . . . . 7 |- ( N = 0 -> ( N + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
18		1e0p1 9421	. . . . . . 7 |- 1 = ( 0 + 1 )
19	17, 18	eqtr4di 2228	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( N + 1 ) = 1 )
20	19	oveq1d 5887	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( ( N + 1 ) .x. X ) = ( 1 .x. X ) )
21		oveq1 5879	. . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( N .x. X ) = ( 0 .x. X ) )
22	21	oveq1d 5887	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( ( N .x. X ) .+ X ) = ( ( 0 .x. X ) .+ X ) )
23	20, 22	eqeq12d 2192	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( ( ( N + 1 ) .x. X ) = ( ( N .x. X ) .+ X ) <-> ( 1 .x. X ) = ( ( 0 .x. X ) .+ X ) ) )
24	16, 23	syl5ibrcom 157	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) -> ( N = 0 -> ( ( N + 1 ) .x. X ) = ( ( N .x. X ) .+ X ) ) )
25	24	imp 124	. 2 |- ( ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) /\ N = 0 ) -> ( ( N + 1 ) .x. X ) = ( ( N .x. X ) .+ X ) )
26		simp2 998	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) -> N e. NN0 )
27		elnn0 9174	. . 3 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
28	26, 27	sylib 122	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) -> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
29	7, 25, 28	mpjaodan 798	1 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ X e. B ) -> ( ( N + 1 ) .x. X ) = ( ( N .x. X ) .+ X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5215  (class class class)co 5872   0cc0 7808   1c1 7809   + caddc 7811   NNcn 8915   NN0cn0 9172   Basecbs 12454   +g cplusg 12528   0gc0g 12693   Mndcmnd 12749  ._gcmg 12915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-ltadd 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-frec 6389  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-inn 8916  df-2 8974  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525  df-seqfrec 10441  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-plusg 12541  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-minusg 12813  df-mulg 12916

This theorem is referenced by:  mulgaddcom  12938  mulginvcom  12939  mulgneg2  12948  mhmmulg  12955  srgmulgass  13103  srgpcomp  13104  srgpcompp  13105  cnfldmulg  13339  cnfldexp  13340