ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulgnn0p1 Unicode version

Theorem mulgnn0p1 12926
Description: Group multiple (exponentiation) operation at a successor, extended to  NN0. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnn0p1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgnn0p1.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
mulgnn0p1.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
mulgnn0p1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  (
( N  +  1 )  .x.  X )  =  ( ( N 
.x.  X )  .+  X ) )

Proof of Theorem mulgnn0p1
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN )
2 simpl3 1002 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  /\  N  e.  NN )  ->  X  e.  B
)
3 mulgnn0p1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
4 mulgnn0p1.t . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  G )
5 mulgnn0p1.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
63, 4, 5mulgnnp1 12923 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  X  e.  B )  ->  ( ( N  + 
1 )  .x.  X
)  =  ( ( N  .x.  X ) 
.+  X ) )
71, 2, 6syl2anc 411 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( N  +  1 )  .x.  X )  =  ( ( N  .x.  X
)  .+  X )
)
8 eqid 2177 . . . . . . 7  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
93, 5, 8mndlid 12768 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  X
)  =  X )
103, 8, 4mulg0 12920 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  ->  (
0  .x.  X )  =  ( 0g `  G ) )
1110adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B )  ->  ( 0  .x.  X
)  =  ( 0g
`  G ) )
1211oveq1d 5887 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B )  ->  ( ( 0  .x. 
X )  .+  X
)  =  ( ( 0g `  G ) 
.+  X ) )
133, 4mulg1 12922 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  B  ->  (
1  .x.  X )  =  X )
1413adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B )  ->  ( 1  .x.  X
)  =  X )
159, 12, 143eqtr4rd 2221 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  X  e.  B )  ->  ( 1  .x.  X
)  =  ( ( 0  .x.  X ) 
.+  X ) )
16153adant2 1016 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  (
1  .x.  X )  =  ( ( 0 
.x.  X )  .+  X ) )
17 oveq1 5879 . . . . . . 7  |-  ( N  =  0  ->  ( N  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
18 1e0p1 9421 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 0  +  1 )
1917, 18eqtr4di 2228 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( N  +  1 )  =  1 )
2019oveq1d 5887 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  (
( N  +  1 )  .x.  X )  =  ( 1  .x. 
X ) )
21 oveq1 5879 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( N  .x.  X )  =  ( 0  .x.  X
) )
2221oveq1d 5887 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  (
( N  .x.  X
)  .+  X )  =  ( ( 0 
.x.  X )  .+  X ) )
2320, 22eqeq12d 2192 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
( ( N  + 
1 )  .x.  X
)  =  ( ( N  .x.  X ) 
.+  X )  <->  ( 1 
.x.  X )  =  ( ( 0  .x. 
X )  .+  X
) ) )
2416, 23syl5ibrcom 157 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  ( N  =  0  ->  ( ( N  +  1 )  .x.  X )  =  ( ( N 
.x.  X )  .+  X ) ) )
2524imp 124 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  /\  N  =  0
)  ->  ( ( N  +  1 ) 
.x.  X )  =  ( ( N  .x.  X )  .+  X
) )
26 simp2 998 . . 3  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  N  e.  NN0 )
27 elnn0 9174 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2826, 27sylib 122 . 2  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
297, 25, 28mpjaodan 798 1  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )  ->  (
( N  +  1 )  .x.  X )  =  ( ( N 
.x.  X )  .+  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 708    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   ` cfv 5215  (class class class)co 5872   0cc0 7808   1c1 7809    + caddc 7811   NNcn 8915   NN0cn0 9172   Basecbs 12454   +g cplusg 12528   0gc0g 12693   Mndcmnd 12749  .gcmg 12915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-ltadd 7924
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6303  df-frec 6389  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-inn 8916  df-2 8974  df-n0 9173  df-z 9250  df-uz 9525  df-seqfrec 10441  df-ndx 12457  df-slot 12458  df-base 12460  df-plusg 12541  df-0g 12695  df-mgm 12707  df-sgrp 12740  df-mnd 12750  df-minusg 12813  df-mulg 12916
This theorem is referenced by:  mulgaddcom  12938  mulginvcom  12939  mulgneg2  12948  mhmmulg  12955  srgmulgass  13103  srgpcomp  13104  srgpcompp  13105  cnfldmulg  13339  cnfldexp  13340
  Copyright terms: Public domain W3C validator