Theorem mulgnn0z 13222

Description: A group multiple of the identity, for nonnegative multiple. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgnn0z.b	|- B = ( Base ` G )
mulgnn0z.t	|- .x. = (.g ` G )
mulgnn0z.o	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
mulgnn0z	|- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 ) -> ( N .x. .0. ) = .0. )

Proof of Theorem mulgnn0z

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9245	. 2 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
2		id 19	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. NN )
3		mulgnn0z.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` G )
4		mulgnn0z.o	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` G )
5	3, 4	mndidcl 13014	. . . . 5 |- ( G e. Mnd -> .0. e. B )
6		eqid 2193	. . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
7		mulgnn0z.t	. . . . . 6 |- .x. = (.g ` G )
8		eqid 2193	. . . . . 6 |- seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { .0. } ) ) = seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { .0. } ) )
9	3, 6, 7, 8	mulgnn 13199	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ .0. e. B ) -> ( N .x. .0. ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { .0. } ) ) ` N ) )
10	2, 5, 9	syl2anr 290	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> ( N .x. .0. ) = ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { .0. } ) ) ` N ) )
11	3, 6, 4	mndlid 13019	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ .0. e. B ) -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
12	5, 11	mpdan 421	. . . . . 6 |- ( G e. Mnd -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
13	12	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> ( .0. ( +g ` G ) .0. ) = .0. )
14		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> N e. NN )
15		nnuz 9631	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
16	14, 15	eleqtrdi 2286	. . . . 5 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
17	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> .0. e. B )
18		elfznn 10123	. . . . . 6 |- ( x e. ( 1 ... N ) -> x e. NN )
19		fvconst2g 5773	. . . . . 6 |- ( ( .0. e. B /\ x e. NN ) -> ( ( NN X. { .0. } ) ` x ) = .0. )
20	17, 18, 19	syl2an 289	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) /\ x e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( NN X. { .0. } ) ` x ) = .0. )
21	15, 17	ialgrlemconst 12184	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) /\ x e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( NN X. { .0. } ) ` x ) e. B )
22	3, 6	mndcl 13007	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Mnd /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. B )
23	22	3expb 1206	. . . . . 6 |- ( ( G e. Mnd /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. B )
24	23	adantlr 477	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. B )
25	13, 16, 20, 17, 21, 24	seq3id3 10598	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { .0. } ) ) ` N ) = .0. )
26	10, 25	eqtrd 2226	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN ) -> ( N .x. .0. ) = .0. )
27		oveq1 5926	. . . 4 |- ( N = 0 -> ( N .x. .0. ) = ( 0 .x. .0. ) )
28	3, 4, 7	mulg0 13198	. . . . 5 |- ( .0. e. B -> ( 0 .x. .0. ) = .0. )
29	5, 28	syl 14	. . . 4 |- ( G e. Mnd -> ( 0 .x. .0. ) = .0. )
30	27, 29	sylan9eqr 2248	. . 3 |- ( ( G e. Mnd /\ N = 0 ) -> ( N .x. .0. ) = .0. )
31	26, 30	jaodan 798	. 2 |- ( ( G e. Mnd /\ ( N e. NN \/ N = 0 ) ) -> ( N .x. .0. ) = .0. )
32	1, 31	sylan2b 287	1 |- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 ) -> ( N .x. .0. ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2164   {csn 3619   X. cxp 4658   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   0cc0 7874   1c1 7875   NNcn 8984   NN0cn0 9243   ZZ>=cuz 9595   ...cfz 10077   seqcseq 10521   Basecbs 12621   +g cplusg 12698   0gc0g 12870   Mndcmnd 13000  ._gcmg 13192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-2 9043  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-minusg 13079  df-mulg 13193

This theorem is referenced by:  mulgz  13223  mulgnn0ass  13231  srg1expzeq1  13494