Theorem mulap0bd 8608

Description: The product of two numbers apart from zero is apart from zero. Exercise 11.11 of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulap0d.1	|- ( ph -> A e. CC )
mulap0d.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
mulap0bd	|- ( ph -> ( ( A # 0 /\ B # 0 ) <-> ( A x. B ) # 0 ) )

Proof of Theorem mulap0bd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulap0d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		mulap0d.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		mulap0b 8606	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A # 0 /\ B # 0 ) <-> ( A x. B ) # 0 ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( ( A # 0 /\ B # 0 ) <-> ( A x. B ) # 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   class class class wbr 4001  (class class class)co 5870   CCcc 7804   0cc0 7806   x. cmul 7811   # cap 8532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431  ax-setind 4534  ax-cnex 7897  ax-resscn 7898  ax-1cn 7899  ax-1re 7900  ax-icn 7901  ax-addcl 7902  ax-addrcl 7903  ax-mulcl 7904  ax-mulrcl 7905  ax-addcom 7906  ax-mulcom 7907  ax-addass 7908  ax-mulass 7909  ax-distr 7910  ax-i2m1 7911  ax-0lt1 7912  ax-1rid 7913  ax-0id 7914  ax-rnegex 7915  ax-precex 7916  ax-cnre 7917  ax-pre-ltirr 7918  ax-pre-ltwlin 7919  ax-pre-lttrn 7920  ax-pre-apti 7921  ax-pre-ltadd 7922  ax-pre-mulgt0 7923  ax-pre-mulext 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-br 4002  df-opab 4063  df-id 4291  df-po 4294  df-iso 4295  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fv 5221  df-riota 5826  df-ov 5873  df-oprab 5874  df-mpo 5875  df-pnf 7988  df-mnf 7989  df-xr 7990  df-ltxr 7991  df-le 7992  df-sub 8124  df-neg 8125  df-reap 8526  df-ap 8533

This theorem is referenced by:  mulap0bad  8610  mulap0bbd  8611  mul0eqap  8621  divap0b  8634  expap0  10543  lgsne0  14281