Theorem mulap0d 8617

Description: The product of two numbers apart from zero is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulap0d.1	|- ( ph -> A e. CC )
mulap0d.2	|- ( ph -> B e. CC )
mulap0d.3	|- ( ph -> A # 0 )
mulap0d.4	|- ( ph -> B # 0 )

Assertion

Ref	Expression
mulap0d	|- ( ph -> ( A x. B ) # 0 )

Proof of Theorem mulap0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulap0d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		mulap0d.3	. 2 |- ( ph -> A # 0 )
3		mulap0d.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
4		mulap0d.4	. 2 |- ( ph -> B # 0 )
5		mulap0 8613	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ A # 0 ) /\ ( B e. CC /\ B # 0 ) ) -> ( A x. B ) # 0 )
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 1239	1 |- ( ph -> ( A x. B ) # 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   CCcc 7811   0cc0 7813   x. cmul 7818   # cap 8540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541

This theorem is referenced by:  divdivdivap  8672  modqmulnn  10344  exp3vallem  10523  mulexpzap  10562  absrpclap  11072  reccn2ap  11323  trireciplem  11510  prodfap0  11555  fprodap0  11631  fprodap0f  11646  efaddlem  11684  tanval3ap  11724  tanaddaplem  11748  tanaddap  11749  lcmcllem  12069  lcmgcdlem  12079  pcpremul  12295  pcmul  12303  pcqmul  12305  pcaddlem  12340  lgsdilem2  14522  lgsdi  14523  apdiff  14881