ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulap0d Unicode version

Theorem mulap0d 8181
Description: The product of two numbers apart from zero is apart from zero. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mulap0d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
mulap0d.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
mulap0d.3  |-  ( ph  ->  A #  0 )
mulap0d.4  |-  ( ph  ->  B #  0 )
Assertion
Ref Expression
mulap0d  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
) #  0 )

Proof of Theorem mulap0d
StepHypRef Expression
1 mulap0d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mulap0d.3 . 2  |-  ( ph  ->  A #  0 )
3 mulap0d.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4 mulap0d.4 . 2  |-  ( ph  ->  B #  0 )
5 mulap0 8177 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  /\  ( B  e.  CC  /\  B #  0 ) )  ->  ( A  x.  B ) #  0 )
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 1176 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
) #  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1439   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666   CCcc 7402   0cc0 7404    x. cmul 7409   # cap 8112
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-mulrcl 7498  ax-addcom 7499  ax-mulcom 7500  ax-addass 7501  ax-mulass 7502  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-1rid 7506  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-precex 7509  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-apti 7514  ax-pre-ltadd 7515  ax-pre-mulgt0 7516  ax-pre-mulext 7517
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-reap 8106  df-ap 8113
This theorem is referenced by:  divdivdivap  8234  modqmulnn  9803  exp3vallem  10010  mulexpzap  10049  absrpclap  10548  trireciplem  10948  efaddlem  11018  tanval3ap  11059  tanaddaplem  11083  tanaddap  11084  lcmcllem  11381  lcmgcdlem  11391
  Copyright terms: Public domain W3C validator