Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expap0 Unicode version

Theorem expap0 10381
 Description: Positive integer exponentiation is apart from zero iff its mantissa is apart from zero. That it is easier to prove this first, and then prove expeq0 10382 in terms of it, rather than the other way around, is perhaps an illustration of the maxim "In constructive analysis, the apartness is more basic [ than ] equality." (Remark of [Geuvers], p. 1). (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
expap0 # #

Proof of Theorem expap0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5793 . . . . . 6
21breq1d 3948 . . . . 5 # #
32bibi1d 232 . . . 4 # # # #
43imbi2d 229 . . 3 # # # #
5 oveq2 5793 . . . . . 6
65breq1d 3948 . . . . 5 # #
76bibi1d 232 . . . 4 # # # #
87imbi2d 229 . . 3 # # # #
9 oveq2 5793 . . . . . 6
109breq1d 3948 . . . . 5 # #
1110bibi1d 232 . . . 4 # # # #
1211imbi2d 229 . . 3 # # # #
13 oveq2 5793 . . . . . 6
1413breq1d 3948 . . . . 5 # #
1514bibi1d 232 . . . 4 # # # #
1615imbi2d 229 . . 3 # # # #
17 exp1 10357 . . . 4
1817breq1d 3948 . . 3 # #
19 nnnn0 9035 . . . . . . . . 9
20 expp1 10358 . . . . . . . . . . 11
2120breq1d 3948 . . . . . . . . . 10 # #
2221ancoms 266 . . . . . . . . 9 # #
2319, 22sylan 281 . . . . . . . 8 # #
2423adantr 274 . . . . . . 7 # # # #
25 simplr 520 . . . . . . . . 9 # #
2619ad2antrr 480 . . . . . . . . 9 # #
27 expcl 10369 . . . . . . . . 9
2825, 26, 27syl2anc 409 . . . . . . . 8 # #
2928, 25mulap0bd 8469 . . . . . . 7 # # # # #
30 anbi1 462 . . . . . . . 8 # # # # # #
3130adantl 275 . . . . . . 7 # # # # # #
3224, 29, 313bitr2d 215 . . . . . 6 # # # # #
33 anidm 394 . . . . . 6 # # #
3432, 33syl6bb 195 . . . . 5 # # # #
3534exp31 362 . . . 4 # # # #
3635a2d 26 . . 3 # # # #
374, 8, 12, 16, 18, 36nnind 8787 . 2 # #
3837impcom 124 1 # #
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1332   wcel 1481   class class class wbr 3938  (class class class)co 5785  cc 7669  cc0 7671  c1 7672   caddc 7674   cmul 7676   # cap 8394  cn 8771  cn0 9028  cexp 10350 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-nul 4063  ax-pow 4107  ax-pr 4141  ax-un 4365  ax-setind 4462  ax-iinf 4512  ax-cnex 7762  ax-resscn 7763  ax-1cn 7764  ax-1re 7765  ax-icn 7766  ax-addcl 7767  ax-addrcl 7768  ax-mulcl 7769  ax-mulrcl 7770  ax-addcom 7771  ax-mulcom 7772  ax-addass 7773  ax-mulass 7774  ax-distr 7775  ax-i2m1 7776  ax-0lt1 7777  ax-1rid 7778  ax-0id 7779  ax-rnegex 7780  ax-precex 7781  ax-cnre 7782  ax-pre-ltirr 7783  ax-pre-ltwlin 7784  ax-pre-lttrn 7785  ax-pre-apti 7786  ax-pre-ltadd 7787  ax-pre-mulgt0 7788  ax-pre-mulext 7789 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-nul 3370  df-if 3481  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-tr 4036  df-id 4225  df-po 4228  df-iso 4229  df-iord 4298  df-on 4300  df-ilim 4301  df-suc 4303  df-iom 4515  df-xp 4556  df-rel 4557  df-cnv 4558  df-co 4559  df-dm 4560  df-rn 4561  df-res 4562  df-ima 4563  df-iota 5099  df-fun 5136  df-fn 5137  df-f 5138  df-f1 5139  df-fo 5140  df-f1o 5141  df-fv 5142  df-riota 5741  df-ov 5788  df-oprab 5789  df-mpo 5790  df-1st 6049  df-2nd 6050  df-recs 6213  df-frec 6299  df-pnf 7853  df-mnf 7854  df-xr 7855  df-ltxr 7856  df-le 7857  df-sub 7986  df-neg 7987  df-reap 8388  df-ap 8395  df-div 8484  df-inn 8772  df-n0 9029  df-z 9106  df-uz 9378  df-seqfrec 10277  df-exp 10351 This theorem is referenced by:  expeq0  10382  abs00ap  10893
 Copyright terms: Public domain W3C validator