ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltnnnq Unicode version

Theorem ltnnnq 7036
Description: Ordering of positive integers via  <N or  <Q is equivalent. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
ltnnnq  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. B ,  1o >. ]  ~Q  ) )

Proof of Theorem ltnnnq
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  A  e.  N. )
2 1pi 6928 . . . 4  |-  1o  e.  N.
32a1i 9 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  1o  e.  N. )
4 simpr 109 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  B  e.  N. )
5 ordpipqqs 6987 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  /\  ( B  e.  N.  /\  1o  e.  N. )
)  ->  ( [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. B ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( A  .N  1o )  <N  ( 1o  .N  B ) ) )
61, 3, 4, 3, 5syl22anc 1176 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. B ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( A  .N  1o )  <N  ( 1o 
.N  B ) ) )
7 mulidpi 6931 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  .N  1o )  =  A )
81, 7syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  1o )  =  A )
9 mulcompig 6944 . . . . 5  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( 1o  .N  B
)  =  ( B  .N  1o ) )
102, 4, 9sylancr 406 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( 1o  .N  B
)  =  ( B  .N  1o ) )
11 mulidpi 6931 . . . . 5  |-  ( B  e.  N.  ->  ( B  .N  1o )  =  B )
124, 11syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( B  .N  1o )  =  B )
1310, 12eqtrd 2121 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( 1o  .N  B
)  =  B )
148, 13breq12d 3864 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  1o )  <N  ( 1o 
.N  B )  <->  A  <N  B ) )
156, 14bitr2d 188 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. B ,  1o >. ]  ~Q  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1290    e. wcel 1439   <.cop 3453   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666   1oc1o 6188   [cec 6304   N.cnpi 6885    .N cmi 6887    <N clti 6888    ~Q ceq 6892    <Q cltq 6898
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-eprel 4125  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-1o 6195  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ec 6308  df-qs 6312  df-ni 6917  df-mi 6919  df-lti 6920  df-enq 6960  df-nqqs 6961  df-ltnqqs 6966
This theorem is referenced by:  caucvgprlemk  7278  caucvgprprlemk  7296  ltrennb  7445
  Copyright terms: Public domain W3C validator