ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltnnnq Unicode version

Theorem ltnnnq 7439
Description: Ordering of positive integers via  <N or  <Q is equivalent. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
ltnnnq  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. B ,  1o >. ]  ~Q  ) )

Proof of Theorem ltnnnq
StepHypRef Expression
1 simpl 109 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  A  e.  N. )
2 1pi 7331 . . . 4  |-  1o  e.  N.
32a1i 9 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  1o  e.  N. )
4 simpr 110 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  B  e.  N. )
5 ordpipqqs 7390 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  /\  ( B  e.  N.  /\  1o  e.  N. )
)  ->  ( [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. B ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( A  .N  1o )  <N  ( 1o  .N  B ) ) )
61, 3, 4, 3, 5syl22anc 1249 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. B ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( A  .N  1o )  <N  ( 1o 
.N  B ) ) )
7 mulidpi 7334 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  .N  1o )  =  A )
81, 7syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  1o )  =  A )
9 mulcompig 7347 . . . . 5  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( 1o  .N  B
)  =  ( B  .N  1o ) )
102, 4, 9sylancr 414 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( 1o  .N  B
)  =  ( B  .N  1o ) )
11 mulidpi 7334 . . . . 5  |-  ( B  e.  N.  ->  ( B  .N  1o )  =  B )
124, 11syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( B  .N  1o )  =  B )
1310, 12eqtrd 2221 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( 1o  .N  B
)  =  B )
148, 13breq12d 4030 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  1o )  <N  ( 1o 
.N  B )  <->  A  <N  B ) )
156, 14bitr2d 189 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  [ <. A ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. B ,  1o >. ]  ~Q  ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1363    e. wcel 2159   <.cop 3609   class class class wbr 4017  (class class class)co 5890   1oc1o 6427   [cec 6550   N.cnpi 7288    .N cmi 7290    <N clti 7291    ~Q ceq 7295    <Q cltq 7301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-iinf 4601
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4116  df-eprel 4303  df-id 4307  df-iord 4380  df-on 4382  df-suc 4385  df-iom 4604  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-recs 6323  df-irdg 6388  df-1o 6434  df-oadd 6438  df-omul 6439  df-er 6552  df-ec 6554  df-qs 6558  df-ni 7320  df-mi 7322  df-lti 7323  df-enq 7363  df-nqqs 7364  df-ltnqqs 7369
This theorem is referenced by:  caucvgprlemk  7681  caucvgprprlemk  7699  ltrennb  7870
  Copyright terms: Public domain W3C validator