Theorem ltnnnq 7485

Description: Ordering of positive integers via <N or <Q is equivalent. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ltnnnq	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> [ <. A , 1o >. ] ~Q <Q [ <. B , 1o >. ] ~Q ) )

Proof of Theorem ltnnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> A e. N. )
2		1pi 7377	. . . 4 |- 1o e. N.
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> 1o e. N. )
4		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> B e. N. )
5		ordpipqqs 7436	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) /\ ( B e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. A , 1o >. ] ~Q <Q [ <. B , 1o >. ] ~Q <-> ( A .N 1o ) <N ( 1o .N B ) ) )
6	1, 3, 4, 3, 5	syl22anc 1250	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( [ <. A , 1o >. ] ~Q <Q [ <. B , 1o >. ] ~Q <-> ( A .N 1o ) <N ( 1o .N B ) ) )
7		mulidpi 7380	. . . 4 |- ( A e. N. -> ( A .N 1o ) = A )
8	1, 7	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N 1o ) = A )
9		mulcompig 7393	. . . . 5 |- ( ( 1o e. N. /\ B e. N. ) -> ( 1o .N B ) = ( B .N 1o ) )
10	2, 4, 9	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( 1o .N B ) = ( B .N 1o ) )
11		mulidpi 7380	. . . . 5 |- ( B e. N. -> ( B .N 1o ) = B )
12	4, 11	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( B .N 1o ) = B )
13	10, 12	eqtrd 2226	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( 1o .N B ) = B )
14	8, 13	breq12d 4043	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A .N 1o ) <N ( 1o .N B ) <-> A <N B ) )
15	6, 14	bitr2d 189	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> [ <. A , 1o >. ] ~Q <Q [ <. B , 1o >. ] ~Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   <.cop 3622   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919   1oc1o 6464   [cec 6587   N.cnpi 7334   .N cmi 7336   <N clti 7337   ~Q ceq 7341   <Q cltq 7347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-eprel 4321  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-omul 6476  df-er 6589  df-ec 6591  df-qs 6595  df-ni 7366  df-mi 7368  df-lti 7369  df-enq 7409  df-nqqs 7410  df-ltnqqs 7415

This theorem is referenced by:  caucvgprlemk  7727  caucvgprprlemk  7745  ltrennb  7916