Theorem ltnnnq 7424

Description: Ordering of positive integers via <N or <Q is equivalent. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ltnnnq	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> [ <. A , 1o >. ] ~Q <Q [ <. B , 1o >. ] ~Q ) )

Proof of Theorem ltnnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> A e. N. )
2		1pi 7316	. . . 4 |- 1o e. N.
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> 1o e. N. )
4		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> B e. N. )
5		ordpipqqs 7375	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) /\ ( B e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. A , 1o >. ] ~Q <Q [ <. B , 1o >. ] ~Q <-> ( A .N 1o ) <N ( 1o .N B ) ) )
6	1, 3, 4, 3, 5	syl22anc 1239	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( [ <. A , 1o >. ] ~Q <Q [ <. B , 1o >. ] ~Q <-> ( A .N 1o ) <N ( 1o .N B ) ) )
7		mulidpi 7319	. . . 4 |- ( A e. N. -> ( A .N 1o ) = A )
8	1, 7	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N 1o ) = A )
9		mulcompig 7332	. . . . 5 |- ( ( 1o e. N. /\ B e. N. ) -> ( 1o .N B ) = ( B .N 1o ) )
10	2, 4, 9	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( 1o .N B ) = ( B .N 1o ) )
11		mulidpi 7319	. . . . 5 |- ( B e. N. -> ( B .N 1o ) = B )
12	4, 11	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( B .N 1o ) = B )
13	10, 12	eqtrd 2210	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( 1o .N B ) = B )
14	8, 13	breq12d 4018	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A .N 1o ) <N ( 1o .N B ) <-> A <N B ) )
15	6, 14	bitr2d 189	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> [ <. A , 1o >. ] ~Q <Q [ <. B , 1o >. ] ~Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   <.cop 3597   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   1oc1o 6412   [cec 6535   N.cnpi 7273   .N cmi 7275   <N clti 7276   ~Q ceq 7280   <Q cltq 7286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-mi 7307  df-lti 7308  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-ltnqqs 7354

This theorem is referenced by:  caucvgprlemk  7666  caucvgprprlemk  7684  ltrennb  7855