Theorem ltnnnq 7571

Description: Ordering of positive integers via <N or <Q is equivalent. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ltnnnq	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> [ <. A , 1o >. ] ~Q <Q [ <. B , 1o >. ] ~Q ) )

Proof of Theorem ltnnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> A e. N. )
2		1pi 7463	. . . 4 |- 1o e. N.
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> 1o e. N. )
4		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> B e. N. )
5		ordpipqqs 7522	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) /\ ( B e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. A , 1o >. ] ~Q <Q [ <. B , 1o >. ] ~Q <-> ( A .N 1o ) <N ( 1o .N B ) ) )
6	1, 3, 4, 3, 5	syl22anc 1251	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( [ <. A , 1o >. ] ~Q <Q [ <. B , 1o >. ] ~Q <-> ( A .N 1o ) <N ( 1o .N B ) ) )
7		mulidpi 7466	. . . 4 |- ( A e. N. -> ( A .N 1o ) = A )
8	1, 7	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N 1o ) = A )
9		mulcompig 7479	. . . . 5 |- ( ( 1o e. N. /\ B e. N. ) -> ( 1o .N B ) = ( B .N 1o ) )
10	2, 4, 9	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( 1o .N B ) = ( B .N 1o ) )
11		mulidpi 7466	. . . . 5 |- ( B e. N. -> ( B .N 1o ) = B )
12	4, 11	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( B .N 1o ) = B )
13	10, 12	eqtrd 2240	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( 1o .N B ) = B )
14	8, 13	breq12d 4072	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A .N 1o ) <N ( 1o .N B ) <-> A <N B ) )
15	6, 14	bitr2d 189	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> [ <. A , 1o >. ] ~Q <Q [ <. B , 1o >. ] ~Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   <.cop 3646   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   1oc1o 6518   [cec 6641   N.cnpi 7420   .N cmi 7422   <N clti 7423   ~Q ceq 7427   <Q cltq 7433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-eprel 4354  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-1o 6525  df-oadd 6529  df-omul 6530  df-er 6643  df-ec 6645  df-qs 6649  df-ni 7452  df-mi 7454  df-lti 7455  df-enq 7495  df-nqqs 7496  df-ltnqqs 7501

This theorem is referenced by:  caucvgprlemk  7813  caucvgprprlemk  7831  ltrennb  8002