Theorem ltnnnq 7780

Description: Ordering of positive integers via <N or <Q is equivalent. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ltnnnq	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> [ <. A , 1o >. ] ~Q <Q [ <. B , 1o >. ] ~Q ) )

Proof of Theorem ltnnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> A e. N. )
2		1pi 7672	. . . 4 |- 1o e. N.
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> 1o e. N. )
4		simpr 110	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> B e. N. )
5		ordpipqqs 7731	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ 1o e. N. ) /\ ( B e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. A , 1o >. ] ~Q <Q [ <. B , 1o >. ] ~Q <-> ( A .N 1o ) <N ( 1o .N B ) ) )
6	1, 3, 4, 3, 5	syl22anc 1279	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( [ <. A , 1o >. ] ~Q <Q [ <. B , 1o >. ] ~Q <-> ( A .N 1o ) <N ( 1o .N B ) ) )
7		mulidpi 7675	. . . 4 |- ( A e. N. -> ( A .N 1o ) = A )
8	1, 7	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N 1o ) = A )
9		mulcompig 7688	. . . . 5 |- ( ( 1o e. N. /\ B e. N. ) -> ( 1o .N B ) = ( B .N 1o ) )
10	2, 4, 9	sylancr 418	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( 1o .N B ) = ( B .N 1o ) )
11		mulidpi 7675	. . . . 5 |- ( B e. N. -> ( B .N 1o ) = B )
12	4, 11	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( B .N 1o ) = B )
13	10, 12	eqtrd 2271	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( 1o .N B ) = B )
14	8, 13	breq12d 4138	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A .N 1o ) <N ( 1o .N B ) <-> A <N B ) )
15	6, 14	bitr2d 189	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> [ <. A , 1o >. ] ~Q <Q [ <. B , 1o >. ] ~Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3708   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   1oc1o 6670   [cec 6795   N.cnpi 7629   .N cmi 7631   <N clti 7632   ~Q ceq 7636   <Q cltq 7642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-eprel 4429  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-omul 6682  df-er 6797  df-ec 6799  df-qs 6803  df-ni 7661  df-mi 7663  df-lti 7664  df-enq 7704  df-nqqs 7705  df-ltnqqs 7710

This theorem is referenced by:  caucvgprlemk  8022  caucvgprprlemk  8040  ltrennb  8211