ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1lt2nq Unicode version

Theorem 1lt2nq 7226
Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Assertion
Ref Expression
1lt2nq  |-  1Q  <Q  ( 1Q  +Q  1Q )

Proof of Theorem 1lt2nq
StepHypRef Expression
1 1lt2pi 7160 . . . . 5  |-  1o  <N  ( 1o  +N  1o )
2 1pi 7135 . . . . . 6  |-  1o  e.  N.
3 mulidpi 7138 . . . . . 6  |-  ( 1o  e.  N.  ->  ( 1o  .N  1o )  =  1o )
42, 3ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( 1o 
.N  1o )  =  1o
54, 4oveq12i 5786 . . . . 5  |-  ( ( 1o  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) )  =  ( 1o  +N  1o )
61, 4, 53brtr4i 3958 . . . 4  |-  ( 1o 
.N  1o )  <N 
( ( 1o  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) )
7 mulclpi 7148 . . . . . 6  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( 1o  .N  1o )  e.  N. )
82, 2, 7mp2an 422 . . . . 5  |-  ( 1o 
.N  1o )  e. 
N.
9 addclpi 7147 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1o  .N  1o )  e.  N.  /\  ( 1o  .N  1o )  e. 
N. )  ->  (
( 1o  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) )  e.  N. )
108, 8, 9mp2an 422 . . . . 5  |-  ( ( 1o  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) )  e.  N.
11 ltmpig 7159 . . . . 5  |-  ( ( ( 1o  .N  1o )  e.  N.  /\  (
( 1o  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) )  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  ->  ( ( 1o  .N  1o )  <N  ( ( 1o  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) )  <->  ( 1o  .N  ( 1o  .N  1o ) )  <N  ( 1o  .N  ( ( 1o 
.N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ) ) )
128, 10, 2, 11mp3an 1315 . . . 4  |-  ( ( 1o  .N  1o ) 
<N  ( ( 1o  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) )  <-> 
( 1o  .N  ( 1o  .N  1o ) ) 
<N  ( 1o  .N  (
( 1o  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ) )
136, 12mpbi 144 . . 3  |-  ( 1o 
.N  ( 1o  .N  1o ) )  <N  ( 1o  .N  ( ( 1o 
.N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) )
14 ordpipqqs 7194 . . . 4  |-  ( ( ( 1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  /\  ( ( ( 1o 
.N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) )  e.  N.  /\  ( 1o  .N  1o )  e.  N. )
)  ->  ( [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. (
( 1o  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. ]  ~Q  <->  ( 1o  .N  ( 1o  .N  1o ) )  <N  ( 1o  .N  ( ( 1o 
.N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ) ) )
152, 2, 10, 8, 14mp4an 423 . . 3  |-  ( [
<. 1o ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. (
( 1o  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. ]  ~Q  <->  ( 1o  .N  ( 1o  .N  1o ) )  <N  ( 1o  .N  ( ( 1o 
.N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ) )
1613, 15mpbir 145 . 2  |-  [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. ( ( 1o 
.N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. ]  ~Q
17 df-1nqqs 7171 . 2  |-  1Q  =  [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q
1817, 17oveq12i 5786 . . 3  |-  ( 1Q 
+Q  1Q )  =  ( [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q  +Q  [
<. 1o ,  1o >. ]  ~Q  )
19 addpipqqs 7190 . . . 4  |-  ( ( ( 1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  /\  ( 1o  e.  N.  /\  1o  e.  N. )
)  ->  ( [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q  +Q  [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( 1o  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. ]  ~Q  )
202, 2, 2, 2, 19mp4an 423 . . 3  |-  ( [
<. 1o ,  1o >. ]  ~Q  +Q  [ <. 1o ,  1o >. ]  ~Q  )  =  [ <. (
( 1o  .N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. ]  ~Q
2118, 20eqtri 2160 . 2  |-  ( 1Q 
+Q  1Q )  =  [ <. ( ( 1o 
.N  1o )  +N  ( 1o  .N  1o ) ) ,  ( 1o  .N  1o )
>. ]  ~Q
2216, 17, 213brtr4i 3958 1  |-  1Q  <Q  ( 1Q  +Q  1Q )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   <.cop 3530   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   1oc1o 6306   [cec 6427   N.cnpi 7092    +N cpli 7093    .N cmi 7094    <N clti 7095    ~Q ceq 7099   1Qc1q 7101    +Q cplq 7102    <Q cltq 7105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7124  df-pli 7125  df-mi 7126  df-lti 7127  df-plpq 7164  df-enq 7167  df-nqqs 7168  df-plqqs 7169  df-1nqqs 7171  df-ltnqqs 7173
This theorem is referenced by:  ltaddnq  7227
  Copyright terms: Public domain W3C validator