Theorem 1lt2nq 7589

Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
1lt2nq	|- 1Q <Q ( 1Q +Q 1Q )

Proof of Theorem 1lt2nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2pi 7523	. . . . 5 |- 1o <N ( 1o +N 1o )
2		1pi 7498	. . . . . 6 |- 1o e. N.
3		mulidpi 7501	. . . . . 6 |- ( 1o e. N. -> ( 1o .N 1o ) = 1o )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 1o .N 1o ) = 1o
5	4, 4	oveq12i 6012	. . . . 5 |- ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) = ( 1o +N 1o )
6	1, 4, 5	3brtr4i 4112	. . . 4 |- ( 1o .N 1o ) <N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) )
7		mulclpi 7511	. . . . . 6 |- ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( 1o .N 1o ) e. N. )
8	2, 2, 7	mp2an 426	. . . . 5 |- ( 1o .N 1o ) e. N.
9		addclpi 7510	. . . . . 6 |- ( ( ( 1o .N 1o ) e. N. /\ ( 1o .N 1o ) e. N. ) -> ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) e. N. )
10	8, 8, 9	mp2an 426	. . . . 5 |- ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) e. N.
11		ltmpig 7522	. . . . 5 |- ( ( ( 1o .N 1o ) e. N. /\ ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( ( 1o .N 1o ) <N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) <-> ( 1o .N ( 1o .N 1o ) ) <N ( 1o .N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) ) ) )
12	8, 10, 2, 11	mp3an 1371	. . . 4 |- ( ( 1o .N 1o ) <N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) <-> ( 1o .N ( 1o .N 1o ) ) <N ( 1o .N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) ) )
13	6, 12	mpbi 145	. . 3 |- ( 1o .N ( 1o .N 1o ) ) <N ( 1o .N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) )
14		ordpipqqs 7557	. . . 4 |- ( ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) /\ ( ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) e. N. /\ ( 1o .N 1o ) e. N. ) ) -> ( [ <. 1o , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q <-> ( 1o .N ( 1o .N 1o ) ) <N ( 1o .N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) ) ) )
15	2, 2, 10, 8, 14	mp4an 427	. . 3 |- ( [ <. 1o , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q <-> ( 1o .N ( 1o .N 1o ) ) <N ( 1o .N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) ) )
16	13, 15	mpbir 146	. 2 |- [ <. 1o , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q
17		df-1nqqs 7534	. 2 |- 1Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q
18	17, 17	oveq12i 6012	. . 3 |- ( 1Q +Q 1Q ) = ( [ <. 1o , 1o >. ] ~Q +Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q )
19		addpipqqs 7553	. . . 4 |- ( ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) /\ ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. 1o , 1o >. ] ~Q +Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q ) = [ <. ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q )
20	2, 2, 2, 2, 19	mp4an 427	. . 3 |- ( [ <. 1o , 1o >. ] ~Q +Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q ) = [ <. ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q
21	18, 20	eqtri 2250	. 2 |- ( 1Q +Q 1Q ) = [ <. ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q
22	16, 17, 21	3brtr4i 4112	1 |- 1Q <Q ( 1Q +Q 1Q )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   <.cop 3669   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000   1oc1o 6553   [cec 6676   N.cnpi 7455   +N cpli 7456   .N cmi 7457   <N clti 7458   ~Q ceq 7462   1Qc1q 7464   +Q cplq 7465   <Q cltq 7468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-eprel 4379  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-1o 6560  df-oadd 6564  df-omul 6565  df-er 6678  df-ec 6680  df-qs 6684  df-ni 7487  df-pli 7488  df-mi 7489  df-lti 7490  df-plpq 7527  df-enq 7530  df-nqqs 7531  df-plqqs 7532  df-1nqqs 7534  df-ltnqqs 7536

This theorem is referenced by:  ltaddnq  7590