Theorem 1lt2nq 7779

Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
1lt2nq	|- 1Q <Q ( 1Q +Q 1Q )

Proof of Theorem 1lt2nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2pi 7713	. . . . 5 |- 1o <N ( 1o +N 1o )
2		1pi 7688	. . . . . 6 |- 1o e. N.
3		mulidpi 7691	. . . . . 6 |- ( 1o e. N. -> ( 1o .N 1o ) = 1o )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 1o .N 1o ) = 1o
5	4, 4	oveq12i 6100	. . . . 5 |- ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) = ( 1o +N 1o )
6	1, 4, 5	3brtr4i 4161	. . . 4 |- ( 1o .N 1o ) <N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) )
7		mulclpi 7701	. . . . . 6 |- ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( 1o .N 1o ) e. N. )
8	2, 2, 7	mp2an 430	. . . . 5 |- ( 1o .N 1o ) e. N.
9		addclpi 7700	. . . . . 6 |- ( ( ( 1o .N 1o ) e. N. /\ ( 1o .N 1o ) e. N. ) -> ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) e. N. )
10	8, 8, 9	mp2an 430	. . . . 5 |- ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) e. N.
11		ltmpig 7712	. . . . 5 |- ( ( ( 1o .N 1o ) e. N. /\ ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( ( 1o .N 1o ) <N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) <-> ( 1o .N ( 1o .N 1o ) ) <N ( 1o .N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) ) ) )
12	8, 10, 2, 11	mp3an 1378	. . . 4 |- ( ( 1o .N 1o ) <N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) <-> ( 1o .N ( 1o .N 1o ) ) <N ( 1o .N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) ) )
13	6, 12	mpbi 145	. . 3 |- ( 1o .N ( 1o .N 1o ) ) <N ( 1o .N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) )
14		ordpipqqs 7747	. . . 4 |- ( ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) /\ ( ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) e. N. /\ ( 1o .N 1o ) e. N. ) ) -> ( [ <. 1o , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q <-> ( 1o .N ( 1o .N 1o ) ) <N ( 1o .N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) ) ) )
15	2, 2, 10, 8, 14	mp4an 431	. . 3 |- ( [ <. 1o , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q <-> ( 1o .N ( 1o .N 1o ) ) <N ( 1o .N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) ) )
16	13, 15	mpbir 146	. 2 |- [ <. 1o , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q
17		df-1nqqs 7724	. 2 |- 1Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q
18	17, 17	oveq12i 6100	. . 3 |- ( 1Q +Q 1Q ) = ( [ <. 1o , 1o >. ] ~Q +Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q )
19		addpipqqs 7743	. . . 4 |- ( ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) /\ ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. 1o , 1o >. ] ~Q +Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q ) = [ <. ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q )
20	2, 2, 2, 2, 19	mp4an 431	. . 3 |- ( [ <. 1o , 1o >. ] ~Q +Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q ) = [ <. ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q
21	18, 20	eqtri 2259	. 2 |- ( 1Q +Q 1Q ) = [ <. ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q
22	16, 17, 21	3brtr4i 4161	1 |- 1Q <Q ( 1Q +Q 1Q )

This proof depends on syntax axioms:   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3712   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   1oc1o 6684   [cec 6809   N.cnpi 7645   +N cpli 7646   .N cmi 7647   <N clti 7648   ~Q ceq 7652   1Qc1q 7654   +Q cplq 7655   <Q cltq 7658

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-eprel 4436  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6811  df-ec 6813  df-qs 6817  df-ni 7677  df-pli 7678  df-mi 7679  df-lti 7680  df-plpq 7717  df-enq 7720  df-nqqs 7721  df-plqqs 7722  df-1nqqs 7724  df-ltnqqs 7726

This theorem is used by:  ltaddnq  7780