Theorem 1lt2nq 7355

Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
1lt2nq	|- 1Q <Q ( 1Q +Q 1Q )

Proof of Theorem 1lt2nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2pi 7289	. . . . 5 |- 1o <N ( 1o +N 1o )
2		1pi 7264	. . . . . 6 |- 1o e. N.
3		mulidpi 7267	. . . . . 6 |- ( 1o e. N. -> ( 1o .N 1o ) = 1o )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 1o .N 1o ) = 1o
5	4, 4	oveq12i 5862	. . . . 5 |- ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) = ( 1o +N 1o )
6	1, 4, 5	3brtr4i 4017	. . . 4 |- ( 1o .N 1o ) <N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) )
7		mulclpi 7277	. . . . . 6 |- ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( 1o .N 1o ) e. N. )
8	2, 2, 7	mp2an 424	. . . . 5 |- ( 1o .N 1o ) e. N.
9		addclpi 7276	. . . . . 6 |- ( ( ( 1o .N 1o ) e. N. /\ ( 1o .N 1o ) e. N. ) -> ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) e. N. )
10	8, 8, 9	mp2an 424	. . . . 5 |- ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) e. N.
11		ltmpig 7288	. . . . 5 |- ( ( ( 1o .N 1o ) e. N. /\ ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( ( 1o .N 1o ) <N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) <-> ( 1o .N ( 1o .N 1o ) ) <N ( 1o .N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) ) ) )
12	8, 10, 2, 11	mp3an 1332	. . . 4 |- ( ( 1o .N 1o ) <N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) <-> ( 1o .N ( 1o .N 1o ) ) <N ( 1o .N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) ) )
13	6, 12	mpbi 144	. . 3 |- ( 1o .N ( 1o .N 1o ) ) <N ( 1o .N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) )
14		ordpipqqs 7323	. . . 4 |- ( ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) /\ ( ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) e. N. /\ ( 1o .N 1o ) e. N. ) ) -> ( [ <. 1o , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q <-> ( 1o .N ( 1o .N 1o ) ) <N ( 1o .N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) ) ) )
15	2, 2, 10, 8, 14	mp4an 425	. . 3 |- ( [ <. 1o , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q <-> ( 1o .N ( 1o .N 1o ) ) <N ( 1o .N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) ) )
16	13, 15	mpbir 145	. 2 |- [ <. 1o , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q
17		df-1nqqs 7300	. 2 |- 1Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q
18	17, 17	oveq12i 5862	. . 3 |- ( 1Q +Q 1Q ) = ( [ <. 1o , 1o >. ] ~Q +Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q )
19		addpipqqs 7319	. . . 4 |- ( ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) /\ ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. 1o , 1o >. ] ~Q +Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q ) = [ <. ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q )
20	2, 2, 2, 2, 19	mp4an 425	. . 3 |- ( [ <. 1o , 1o >. ] ~Q +Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q ) = [ <. ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q
21	18, 20	eqtri 2191	. 2 |- ( 1Q +Q 1Q ) = [ <. ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q
22	16, 17, 21	3brtr4i 4017	1 |- 1Q <Q ( 1Q +Q 1Q )

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   <.cop 3584   class class class wbr 3987  (class class class)co 5850   1oc1o 6385   [cec 6507   N.cnpi 7221   +N cpli 7222   .N cmi 7223   <N clti 7224   ~Q ceq 7228   1Qc1q 7230   +Q cplq 7231   <Q cltq 7234

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-eprel 4272  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-1o 6392  df-oadd 6396  df-omul 6397  df-er 6509  df-ec 6511  df-qs 6515  df-ni 7253  df-pli 7254  df-mi 7255  df-lti 7256  df-plpq 7293  df-enq 7296  df-nqqs 7297  df-plqqs 7298  df-1nqqs 7300  df-ltnqqs 7302

This theorem is referenced by:  ltaddnq  7356