Theorem 1lt2nq 7737

Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
1lt2nq	|- 1Q <Q ( 1Q +Q 1Q )

Proof of Theorem 1lt2nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2pi 7671	. . . . 5 |- 1o <N ( 1o +N 1o )
2		1pi 7646	. . . . . 6 |- 1o e. N.
3		mulidpi 7649	. . . . . 6 |- ( 1o e. N. -> ( 1o .N 1o ) = 1o )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 1o .N 1o ) = 1o
5	4, 4	oveq12i 6070	. . . . 5 |- ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) = ( 1o +N 1o )
6	1, 4, 5	3brtr4i 4144	. . . 4 |- ( 1o .N 1o ) <N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) )
7		mulclpi 7659	. . . . . 6 |- ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( 1o .N 1o ) e. N. )
8	2, 2, 7	mp2an 426	. . . . 5 |- ( 1o .N 1o ) e. N.
9		addclpi 7658	. . . . . 6 |- ( ( ( 1o .N 1o ) e. N. /\ ( 1o .N 1o ) e. N. ) -> ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) e. N. )
10	8, 8, 9	mp2an 426	. . . . 5 |- ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) e. N.
11		ltmpig 7670	. . . . 5 |- ( ( ( 1o .N 1o ) e. N. /\ ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( ( 1o .N 1o ) <N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) <-> ( 1o .N ( 1o .N 1o ) ) <N ( 1o .N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) ) ) )
12	8, 10, 2, 11	mp3an 1374	. . . 4 |- ( ( 1o .N 1o ) <N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) <-> ( 1o .N ( 1o .N 1o ) ) <N ( 1o .N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) ) )
13	6, 12	mpbi 145	. . 3 |- ( 1o .N ( 1o .N 1o ) ) <N ( 1o .N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) )
14		ordpipqqs 7705	. . . 4 |- ( ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) /\ ( ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) e. N. /\ ( 1o .N 1o ) e. N. ) ) -> ( [ <. 1o , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q <-> ( 1o .N ( 1o .N 1o ) ) <N ( 1o .N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) ) ) )
15	2, 2, 10, 8, 14	mp4an 427	. . 3 |- ( [ <. 1o , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q <-> ( 1o .N ( 1o .N 1o ) ) <N ( 1o .N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) ) )
16	13, 15	mpbir 146	. 2 |- [ <. 1o , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q
17		df-1nqqs 7682	. 2 |- 1Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q
18	17, 17	oveq12i 6070	. . 3 |- ( 1Q +Q 1Q ) = ( [ <. 1o , 1o >. ] ~Q +Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q )
19		addpipqqs 7701	. . . 4 |- ( ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) /\ ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. 1o , 1o >. ] ~Q +Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q ) = [ <. ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q )
20	2, 2, 2, 2, 19	mp4an 427	. . 3 |- ( [ <. 1o , 1o >. ] ~Q +Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q ) = [ <. ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q
21	18, 20	eqtri 2255	. 2 |- ( 1Q +Q 1Q ) = [ <. ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q
22	16, 17, 21	3brtr4i 4144	1 |- 1Q <Q ( 1Q +Q 1Q )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   <.cop 3697   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   1oc1o 6653   [cec 6778   N.cnpi 7603   +N cpli 7604   .N cmi 7605   <N clti 7606   ~Q ceq 7610   1Qc1q 7612   +Q cplq 7613   <Q cltq 7616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-eprel 4415  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6780  df-ec 6782  df-qs 6786  df-ni 7635  df-pli 7636  df-mi 7637  df-lti 7638  df-plpq 7675  df-enq 7678  df-nqqs 7679  df-plqqs 7680  df-1nqqs 7682  df-ltnqqs 7684

This theorem is referenced by:  ltaddnq  7738