Theorem 1lt2nq 7539

Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
1lt2nq	|- 1Q <Q ( 1Q +Q 1Q )

Proof of Theorem 1lt2nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2pi 7473	. . . . 5 |- 1o <N ( 1o +N 1o )
2		1pi 7448	. . . . . 6 |- 1o e. N.
3		mulidpi 7451	. . . . . 6 |- ( 1o e. N. -> ( 1o .N 1o ) = 1o )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( 1o .N 1o ) = 1o
5	4, 4	oveq12i 5969	. . . . 5 |- ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) = ( 1o +N 1o )
6	1, 4, 5	3brtr4i 4081	. . . 4 |- ( 1o .N 1o ) <N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) )
7		mulclpi 7461	. . . . . 6 |- ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( 1o .N 1o ) e. N. )
8	2, 2, 7	mp2an 426	. . . . 5 |- ( 1o .N 1o ) e. N.
9		addclpi 7460	. . . . . 6 |- ( ( ( 1o .N 1o ) e. N. /\ ( 1o .N 1o ) e. N. ) -> ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) e. N. )
10	8, 8, 9	mp2an 426	. . . . 5 |- ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) e. N.
11		ltmpig 7472	. . . . 5 |- ( ( ( 1o .N 1o ) e. N. /\ ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( ( 1o .N 1o ) <N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) <-> ( 1o .N ( 1o .N 1o ) ) <N ( 1o .N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) ) ) )
12	8, 10, 2, 11	mp3an 1350	. . . 4 |- ( ( 1o .N 1o ) <N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) <-> ( 1o .N ( 1o .N 1o ) ) <N ( 1o .N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) ) )
13	6, 12	mpbi 145	. . 3 |- ( 1o .N ( 1o .N 1o ) ) <N ( 1o .N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) )
14		ordpipqqs 7507	. . . 4 |- ( ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) /\ ( ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) e. N. /\ ( 1o .N 1o ) e. N. ) ) -> ( [ <. 1o , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q <-> ( 1o .N ( 1o .N 1o ) ) <N ( 1o .N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) ) ) )
15	2, 2, 10, 8, 14	mp4an 427	. . 3 |- ( [ <. 1o , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q <-> ( 1o .N ( 1o .N 1o ) ) <N ( 1o .N ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) ) )
16	13, 15	mpbir 146	. 2 |- [ <. 1o , 1o >. ] ~Q <Q [ <. ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q
17		df-1nqqs 7484	. 2 |- 1Q = [ <. 1o , 1o >. ] ~Q
18	17, 17	oveq12i 5969	. . 3 |- ( 1Q +Q 1Q ) = ( [ <. 1o , 1o >. ] ~Q +Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q )
19		addpipqqs 7503	. . . 4 |- ( ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) /\ ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) ) -> ( [ <. 1o , 1o >. ] ~Q +Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q ) = [ <. ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q )
20	2, 2, 2, 2, 19	mp4an 427	. . 3 |- ( [ <. 1o , 1o >. ] ~Q +Q [ <. 1o , 1o >. ] ~Q ) = [ <. ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q
21	18, 20	eqtri 2227	. 2 |- ( 1Q +Q 1Q ) = [ <. ( ( 1o .N 1o ) +N ( 1o .N 1o ) ) , ( 1o .N 1o ) >. ] ~Q
22	16, 17, 21	3brtr4i 4081	1 |- 1Q <Q ( 1Q +Q 1Q )

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   <.cop 3641   class class class wbr 4051  (class class class)co 5957   1oc1o 6508   [cec 6631   N.cnpi 7405   +N cpli 7406   .N cmi 7407   <N clti 7408   ~Q ceq 7412   1Qc1q 7414   +Q cplq 7415   <Q cltq 7418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-eprel 4344  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-irdg 6469  df-1o 6515  df-oadd 6519  df-omul 6520  df-er 6633  df-ec 6635  df-qs 6639  df-ni 7437  df-pli 7438  df-mi 7439  df-lti 7440  df-plpq 7477  df-enq 7480  df-nqqs 7481  df-plqqs 7482  df-1nqqs 7484  df-ltnqqs 7486

This theorem is referenced by:  ltaddnq  7540