Theorem mulm1d 8682

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1d.1	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
mulm1d	|- ( ph -> ( -u 1 x. A ) = -u A )

Proof of Theorem mulm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		mulm1 8672	. 2 |- ( A e. CC -> ( -u 1 x. A ) = -u A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( -u 1 x. A ) = -u A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203  (class class class)co 6049   CCcc 8124   1c1 8127   x. cmul 8131   -ucneg 8444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-setind 4658  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-sub 8445  df-neg 8446

This theorem is referenced by:  mulreim  8877  recextlem1  8924  ofnegsub  9235  modqnegd  10740  modsumfzodifsn  10757  m1expcl2  10922  remullem  11552  fsumneg  12133  efi4p  12399  cosadd  12419  absefib  12453  efieq1re  12454  bitsinv1lem  12643  pythagtriplem4  12962  dvmptnegcn  15579  sin0pilem1  15638  cosq34lt1  15707  lgsdir2lem4  15896  gausslemma2dlem5a  15930  lgseisenlem1  15935  lgseisenlem2  15936