Theorem mulm1d 8304

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulm1d.1	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
mulm1d	|- ( ph -> ( -u 1 x. A ) = -u A )

Proof of Theorem mulm1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulm1d.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		mulm1 8294	. 2 |- ( A e. CC -> ( -u 1 x. A ) = -u A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( -u 1 x. A ) = -u A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1343   e. wcel 2136  (class class class)co 5841   CCcc 7747   1c1 7750   x. cmul 7754   -ucneg 8066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-setind 4513  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-br 3982  df-opab 4043  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-sub 8067  df-neg 8068

This theorem is referenced by:  mulreim  8498  recextlem1  8544  modqnegd  10310  modsumfzodifsn  10327  m1expcl2  10473  remullem  10809  fsumneg  11388  efi4p  11654  cosadd  11674  absefib  11707  efieq1re  11708  pythagtriplem4  12196  dvmptnegcn  13284  sin0pilem1  13302  cosq34lt1  13371  lgsdir2lem4  13532