Theorem sinmpi 12899

Description: Sine of a number less pi. (Contributed by Paul Chapman, 15-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sinmpi	|- ( A e. CC -> ( sin ` ( A - pi ) ) = -u ( sin ` A ) )

Proof of Theorem sinmpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		picn 12871	. . 3 |- pi e. CC
2		sinsub 11450	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ pi e. CC ) -> ( sin ` ( A - pi ) ) = ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` pi ) ) - ( ( cos ` A ) x. ( sin ` pi ) ) ) )
3	1, 2	mpan2 421	. 2 |- ( A e. CC -> ( sin ` ( A - pi ) ) = ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` pi ) ) - ( ( cos ` A ) x. ( sin ` pi ) ) ) )
4		cospi 12884	. . . . . 6 |- ( cos ` pi ) = -u 1
5	4	oveq2i 5785	. . . . 5 |- ( ( sin ` A ) x. ( cos ` pi ) ) = ( ( sin ` A ) x. -u 1 )
6		sincl 11416	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( sin ` A ) e. CC )
7		neg1cn 8828	. . . . . . . 8 |- -u 1 e. CC
8		mulcom 7752	. . . . . . . 8 |- ( ( ( sin ` A ) e. CC /\ -u 1 e. CC ) -> ( ( sin ` A ) x. -u 1 ) = ( -u 1 x. ( sin ` A ) ) )
9	7, 8	mpan2 421	. . . . . . 7 |- ( ( sin ` A ) e. CC -> ( ( sin ` A ) x. -u 1 ) = ( -u 1 x. ( sin ` A ) ) )
10		mulm1 8165	. . . . . . 7 |- ( ( sin ` A ) e. CC -> ( -u 1 x. ( sin ` A ) ) = -u ( sin ` A ) )
11	9, 10	eqtrd 2172	. . . . . 6 |- ( ( sin ` A ) e. CC -> ( ( sin ` A ) x. -u 1 ) = -u ( sin ` A ) )
12	6, 11	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( sin ` A ) x. -u 1 ) = -u ( sin ` A ) )
13	5, 12	syl5eq 2184	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( sin ` A ) x. ( cos ` pi ) ) = -u ( sin ` A ) )
14		sinpi 12869	. . . . . 6 |- ( sin ` pi ) = 0
15	14	oveq2i 5785	. . . . 5 |- ( ( cos ` A ) x. ( sin ` pi ) ) = ( ( cos ` A ) x. 0 )
16		coscl 11417	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( cos ` A ) e. CC )
17	16	mul01d 8158	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( ( cos ` A ) x. 0 ) = 0 )
18	15, 17	syl5eq 2184	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( cos ` A ) x. ( sin ` pi ) ) = 0 )
19	13, 18	oveq12d 5792	. . 3 |- ( A e. CC -> ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` pi ) ) - ( ( cos ` A ) x. ( sin ` pi ) ) ) = ( -u ( sin ` A ) - 0 ) )
20	6	negcld 8063	. . . 4 |- ( A e. CC -> -u ( sin ` A ) e. CC )
21	20	subid1d 8065	. . 3 |- ( A e. CC -> ( -u ( sin ` A ) - 0 ) = -u ( sin ` A ) )
22	19, 21	eqtrd 2172	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( ( sin ` A ) x. ( cos ` pi ) ) - ( ( cos ` A ) x. ( sin ` pi ) ) ) = -u ( sin ` A ) )
23	3, 22	eqtrd 2172	1 |- ( A e. CC -> ( sin ` ( A - pi ) ) = -u ( sin ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7621   0cc0 7623   1c1 7624   x. cmul 7628   - cmin 7936   -ucneg 7937   sincsin 11353   cosccos 11354   picpi 11356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-mulrcl 7722  ax-addcom 7723  ax-mulcom 7724  ax-addass 7725  ax-mulass 7726  ax-distr 7727  ax-i2m1 7728  ax-0lt1 7729  ax-1rid 7730  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-precex 7733  ax-cnre 7734  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-apti 7738  ax-pre-ltadd 7739  ax-pre-mulgt0 7740  ax-pre-mulext 7741  ax-arch 7742  ax-caucvg 7743  ax-pre-suploc 7744  ax-addf 7745  ax-mulf 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-of 5982  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-map 6544  df-pm 6545  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809  df-sub 7938  df-neg 7939  df-reap 8340  df-ap 8347  df-div 8436  df-inn 8724  df-2 8782  df-3 8783  df-4 8784  df-5 8785  df-6 8786  df-7 8787  df-8 8788  df-9 8789  df-n0 8981  df-z 9058  df-uz 9330  df-q 9415  df-rp 9445  df-xneg 9562  df-xadd 9563  df-ioo 9678  df-ioc 9679  df-ico 9680  df-icc 9681  df-fz 9794  df-fzo 9923  df-seqfrec 10222  df-exp 10296  df-fac 10475  df-bc 10497  df-ihash 10525  df-shft 10590  df-cj 10617  df-re 10618  df-im 10619  df-rsqrt 10773  df-abs 10774  df-clim 11051  df-sumdc 11126  df-ef 11357  df-sin 11359  df-cos 11360  df-pi 11362  df-rest 12125  df-topgen 12144  df-psmet 12159  df-xmet 12160  df-met 12161  df-bl 12162  df-mopn 12163  df-top 12168  df-topon 12181  df-bases 12213  df-ntr 12268  df-cn 12360  df-cnp 12361  df-tx 12425  df-cncf 12730  df-limced 12797  df-dvap 12798

This theorem is referenced by:  efimpi  12903  sinq34lt0t  12915  abssinper  12930