Theorem lgsdir2lem4 15833

Description: Lemma for lgsdir2 15835. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem4	|- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )

Proof of Theorem lgsdir2lem4

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> A e. ZZ )
2		8nn 9353	. . . . . . 7 |- 8 e. NN
3	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> 8 e. NN )
4	1, 3	zmodcld 10653	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> ( A mod 8 ) e. NN0 )
5		elprg 3693	. . . . 5 |- ( ( A mod 8 ) e. NN0 -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
7	6	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
8	7	pm5.32i 454	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) <-> ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
9		zq 9904	. . . . . . 7 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
10	9	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> A e. QQ )
11		1nn 9196	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
12		nnq 9911	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. NN -> 1 e. QQ )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- 1 e. QQ
14	13	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> 1 e. QQ )
15		simplr 529	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> B e. ZZ )
16		nnq 9911	. . . . . . . 8 |- ( 8 e. NN -> 8 e. QQ )
17	2, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- 8 e. QQ
18	17	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> 8 e. QQ )
19		8pos 9288	. . . . . . 7 |- 0 < 8
20	19	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> 0 < 8 )
21		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> ( A mod 8 ) = 1 )
22		lgsdir2lem1 15830	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 mod 8 ) = 1 /\ ( -u 1 mod 8 ) = 7 ) /\ ( ( 3 mod 8 ) = 3 /\ ( -u 3 mod 8 ) = 5 ) )
23	22	simpli 111	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 mod 8 ) = 1 /\ ( -u 1 mod 8 ) = 7 )
24	23	simpli 111	. . . . . . 7 |- ( 1 mod 8 ) = 1
25	21, 24	eqtr4di 2282	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> ( A mod 8 ) = ( 1 mod 8 ) )
26	10, 14, 15, 18, 20, 25	modqmul1 10685	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> ( ( A x. B ) mod 8 ) = ( ( 1 x. B ) mod 8 ) )
27		zcn 9528	. . . . . . . 8 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
28	27	ad2antlr 489	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> B e. CC )
29	28	mullidd 8240	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> ( 1 x. B ) = B )
30	29	oveq1d 6043	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> ( ( 1 x. B ) mod 8 ) = ( B mod 8 ) )
31	26, 30	eqtrd 2264	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> ( ( A x. B ) mod 8 ) = ( B mod 8 ) )
32	31	eleq1d 2300	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
33	9	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> A e. QQ )
34		qnegcl 9914	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. QQ -> -u 1 e. QQ )
35	13, 34	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- -u 1 e. QQ
36	35	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> -u 1 e. QQ )
37		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> B e. ZZ )
38	17	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> 8 e. QQ )
39	19	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> 0 < 8 )
40		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> ( A mod 8 ) = 7 )
41	23	simpri 113	. . . . . . . 8 |- ( -u 1 mod 8 ) = 7
42	40, 41	eqtr4di 2282	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> ( A mod 8 ) = ( -u 1 mod 8 ) )
43	33, 36, 37, 38, 39, 42	modqmul1 10685	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> ( ( A x. B ) mod 8 ) = ( ( -u 1 x. B ) mod 8 ) )
44	27	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> B e. CC )
45	44	mulm1d 8631	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> ( -u 1 x. B ) = -u B )
46	45	oveq1d 6043	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> ( ( -u 1 x. B ) mod 8 ) = ( -u B mod 8 ) )
47	43, 46	eqtrd 2264	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> ( ( A x. B ) mod 8 ) = ( -u B mod 8 ) )
48	47	eleq1d 2300	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
49		znegcl 9554	. . . . . . . 8 |- ( B e. ZZ -> -u B e. ZZ )
50		oveq1 6035	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = -u B -> ( x mod 8 ) = ( -u B mod 8 ) )
51	50	eleq1d 2300	. . . . . . . . . 10 |- ( x = -u B -> ( ( x mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
52		negeq 8414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = -u B -> -u x = -u -u B )
53	52	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = -u B -> ( -u x mod 8 ) = ( -u -u B mod 8 ) )
54	53	eleq1d 2300	. . . . . . . . . 10 |- ( x = -u B -> ( ( -u x mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( -u -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
55	51, 54	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 |- ( x = -u B -> ( ( ( x mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> ( -u x mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) <-> ( ( -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> ( -u -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) )
56		zcn 9528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
57		neg1cn 9290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -u 1 e. CC
58		mulcom 8204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. CC /\ -u 1 e. CC ) -> ( x x. -u 1 ) = ( -u 1 x. x ) )
59	57, 58	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( x x. -u 1 ) = ( -u 1 x. x ) )
60		mulm1 8621	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( -u 1 x. x ) = -u x )
61	59, 60	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( x x. -u 1 ) = -u x )
62	56, 61	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> ( x x. -u 1 ) = -u x )
63	62	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> ( x x. -u 1 ) = -u x )
64	63	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> ( ( x x. -u 1 ) mod 8 ) = ( -u x mod 8 ) )
65		zq 9904	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> x e. QQ )
66	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> x e. QQ )
67	13	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> 1 e. QQ )
68		neg1z 9555	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u 1 e. ZZ
69	68	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> -u 1 e. ZZ )
70	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> 8 e. QQ )
71	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> 0 < 8 )
72		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> ( x mod 8 ) = 1 )
73	72, 24	eqtr4di 2282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> ( x mod 8 ) = ( 1 mod 8 ) )
74	66, 67, 69, 70, 71, 73	modqmul1 10685	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> ( ( x x. -u 1 ) mod 8 ) = ( ( 1 x. -u 1 ) mod 8 ) )
75	64, 74	eqtr3d 2266	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> ( -u x mod 8 ) = ( ( 1 x. -u 1 ) mod 8 ) )
76	57	mullidi 8225	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 x. -u 1 ) = -u 1
77	76	oveq1i 6038	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 x. -u 1 ) mod 8 ) = ( -u 1 mod 8 )
78	77, 41	eqtri 2252	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 x. -u 1 ) mod 8 ) = 7
79	75, 78	eqtrdi 2280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> ( -u x mod 8 ) = 7 )
80	79	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ZZ -> ( ( x mod 8 ) = 1 -> ( -u x mod 8 ) = 7 ) )
81	62	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> ( x x. -u 1 ) = -u x )
82	81	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> ( ( x x. -u 1 ) mod 8 ) = ( -u x mod 8 ) )
83	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> x e. QQ )
84	35	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> -u 1 e. QQ )
85	68	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> -u 1 e. ZZ )
86	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> 8 e. QQ )
87	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> 0 < 8 )
88		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> ( x mod 8 ) = 7 )
89	88, 41	eqtr4di 2282	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> ( x mod 8 ) = ( -u 1 mod 8 ) )
90	83, 84, 85, 86, 87, 89	modqmul1 10685	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> ( ( x x. -u 1 ) mod 8 ) = ( ( -u 1 x. -u 1 ) mod 8 ) )
91	82, 90	eqtr3d 2266	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> ( -u x mod 8 ) = ( ( -u 1 x. -u 1 ) mod 8 ) )
92		neg1mulneg1e1 9398	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -u 1 x. -u 1 ) = 1
93	92	oveq1i 6038	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u 1 x. -u 1 ) mod 8 ) = ( 1 mod 8 )
94	93, 24	eqtri 2252	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u 1 x. -u 1 ) mod 8 ) = 1
95	91, 94	eqtrdi 2280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> ( -u x mod 8 ) = 1 )
96	95	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ZZ -> ( ( x mod 8 ) = 7 -> ( -u x mod 8 ) = 1 ) )
97	80, 96	orim12d 794	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ZZ -> ( ( ( x mod 8 ) = 1 \/ ( x mod 8 ) = 7 ) -> ( ( -u x mod 8 ) = 7 \/ ( -u x mod 8 ) = 1 ) ) )
98		zmodcl 10652	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ 8 e. NN ) -> ( x mod 8 ) e. NN0 )
99	2, 98	mpan2 425	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ZZ -> ( x mod 8 ) e. NN0 )
100		elprg 3693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x mod 8 ) e. NN0 -> ( ( x mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( x mod 8 ) = 1 \/ ( x mod 8 ) = 7 ) ) )
101	99, 100	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ZZ -> ( ( x mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( x mod 8 ) = 1 \/ ( x mod 8 ) = 7 ) ) )
102		znegcl 9554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ZZ -> -u x e. ZZ )
103	2	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ZZ -> 8 e. NN )
104	102, 103	zmodcld 10653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> ( -u x mod 8 ) e. NN0 )
105		elprg 3693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u x mod 8 ) e. NN0 -> ( ( -u x mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( -u x mod 8 ) = 1 \/ ( -u x mod 8 ) = 7 ) ) )
106	104, 105	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ZZ -> ( ( -u x mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( -u x mod 8 ) = 1 \/ ( -u x mod 8 ) = 7 ) ) )
107		orcom 736	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -u x mod 8 ) = 1 \/ ( -u x mod 8 ) = 7 ) <-> ( ( -u x mod 8 ) = 7 \/ ( -u x mod 8 ) = 1 ) )
108	106, 107	bitrdi 196	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ZZ -> ( ( -u x mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( -u x mod 8 ) = 7 \/ ( -u x mod 8 ) = 1 ) ) )
109	97, 101, 108	3imtr4d 203	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ZZ -> ( ( x mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> ( -u x mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
110	55, 109	vtoclga 2871	. . . . . . . 8 |- ( -u B e. ZZ -> ( ( -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> ( -u -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
111	49, 110	syl 14	. . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> ( ( -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> ( -u -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
112	27	negnegd 8523	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ZZ -> -u -u B = B )
113	112	oveq1d 6043	. . . . . . . 8 |- ( B e. ZZ -> ( -u -u B mod 8 ) = ( B mod 8 ) )
114	113	eleq1d 2300	. . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> ( ( -u -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
115	111, 114	sylibd 149	. . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> ( ( -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
116		oveq1 6035	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> ( x mod 8 ) = ( B mod 8 ) )
117	116	eleq1d 2300	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( ( x mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
118		negeq 8414	. . . . . . . . . 10 |- ( x = B -> -u x = -u B )
119	118	oveq1d 6043	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> ( -u x mod 8 ) = ( -u B mod 8 ) )
120	119	eleq1d 2300	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( ( -u x mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
121	117, 120	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( ( ( x mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> ( -u x mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) <-> ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> ( -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) )
122	121, 109	vtoclga 2871	. . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> ( -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
123	115, 122	impbid 129	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> ( ( -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
124	123	ad2antlr 489	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> ( ( -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
125	48, 124	bitrd 188	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
126	32, 125	jaodan 805	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
127	8, 126	sylbi 121	1 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2202   {cpr 3674   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   CCcc 8073   0cc0 8075   1c1 8076   x. cmul 8080   < clt 8256   -ucneg 8393   NNcn 9185   3c3 9237   5c5 9239   7c7 9241   8c8 9242   NN0cn0 9444   ZZcz 9523   QQcq 9897   mod cmo 10630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-n0 9445  df-z 9524  df-q 9898  df-rp 9933  df-fl 10576  df-mod 10631

This theorem is referenced by:  lgsdir2  15835