Theorem lgsdir2lem4 15450

Description: Lemma for lgsdir2 15452. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem4	|- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )

Proof of Theorem lgsdir2lem4

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> A e. ZZ )
2		8nn 9203	. . . . . . 7 |- 8 e. NN
3	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> 8 e. NN )
4	1, 3	zmodcld 10488	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> ( A mod 8 ) e. NN0 )
5		elprg 3652	. . . . 5 |- ( ( A mod 8 ) e. NN0 -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
7	6	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
8	7	pm5.32i 454	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) <-> ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
9		zq 9746	. . . . . . 7 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
10	9	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> A e. QQ )
11		1nn 9046	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
12		nnq 9753	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. NN -> 1 e. QQ )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- 1 e. QQ
14	13	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> 1 e. QQ )
15		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> B e. ZZ )
16		nnq 9753	. . . . . . . 8 |- ( 8 e. NN -> 8 e. QQ )
17	2, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- 8 e. QQ
18	17	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> 8 e. QQ )
19		8pos 9138	. . . . . . 7 |- 0 < 8
20	19	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> 0 < 8 )
21		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> ( A mod 8 ) = 1 )
22		lgsdir2lem1 15447	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 mod 8 ) = 1 /\ ( -u 1 mod 8 ) = 7 ) /\ ( ( 3 mod 8 ) = 3 /\ ( -u 3 mod 8 ) = 5 ) )
23	22	simpli 111	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 mod 8 ) = 1 /\ ( -u 1 mod 8 ) = 7 )
24	23	simpli 111	. . . . . . 7 |- ( 1 mod 8 ) = 1
25	21, 24	eqtr4di 2255	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> ( A mod 8 ) = ( 1 mod 8 ) )
26	10, 14, 15, 18, 20, 25	modqmul1 10520	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> ( ( A x. B ) mod 8 ) = ( ( 1 x. B ) mod 8 ) )
27		zcn 9376	. . . . . . . 8 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
28	27	ad2antlr 489	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> B e. CC )
29	28	mulid2d 8090	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> ( 1 x. B ) = B )
30	29	oveq1d 5958	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> ( ( 1 x. B ) mod 8 ) = ( B mod 8 ) )
31	26, 30	eqtrd 2237	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> ( ( A x. B ) mod 8 ) = ( B mod 8 ) )
32	31	eleq1d 2273	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
33	9	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> A e. QQ )
34		qnegcl 9756	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. QQ -> -u 1 e. QQ )
35	13, 34	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- -u 1 e. QQ
36	35	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> -u 1 e. QQ )
37		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> B e. ZZ )
38	17	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> 8 e. QQ )
39	19	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> 0 < 8 )
40		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> ( A mod 8 ) = 7 )
41	23	simpri 113	. . . . . . . 8 |- ( -u 1 mod 8 ) = 7
42	40, 41	eqtr4di 2255	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> ( A mod 8 ) = ( -u 1 mod 8 ) )
43	33, 36, 37, 38, 39, 42	modqmul1 10520	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> ( ( A x. B ) mod 8 ) = ( ( -u 1 x. B ) mod 8 ) )
44	27	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> B e. CC )
45	44	mulm1d 8481	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> ( -u 1 x. B ) = -u B )
46	45	oveq1d 5958	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> ( ( -u 1 x. B ) mod 8 ) = ( -u B mod 8 ) )
47	43, 46	eqtrd 2237	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> ( ( A x. B ) mod 8 ) = ( -u B mod 8 ) )
48	47	eleq1d 2273	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
49		znegcl 9402	. . . . . . . 8 |- ( B e. ZZ -> -u B e. ZZ )
50		oveq1 5950	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = -u B -> ( x mod 8 ) = ( -u B mod 8 ) )
51	50	eleq1d 2273	. . . . . . . . . 10 |- ( x = -u B -> ( ( x mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
52		negeq 8264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = -u B -> -u x = -u -u B )
53	52	oveq1d 5958	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = -u B -> ( -u x mod 8 ) = ( -u -u B mod 8 ) )
54	53	eleq1d 2273	. . . . . . . . . 10 |- ( x = -u B -> ( ( -u x mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( -u -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
55	51, 54	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 |- ( x = -u B -> ( ( ( x mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> ( -u x mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) <-> ( ( -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> ( -u -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) )
56		zcn 9376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
57		neg1cn 9140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -u 1 e. CC
58		mulcom 8053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. CC /\ -u 1 e. CC ) -> ( x x. -u 1 ) = ( -u 1 x. x ) )
59	57, 58	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( x x. -u 1 ) = ( -u 1 x. x ) )
60		mulm1 8471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( -u 1 x. x ) = -u x )
61	59, 60	eqtrd 2237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( x x. -u 1 ) = -u x )
62	56, 61	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> ( x x. -u 1 ) = -u x )
63	62	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> ( x x. -u 1 ) = -u x )
64	63	oveq1d 5958	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> ( ( x x. -u 1 ) mod 8 ) = ( -u x mod 8 ) )
65		zq 9746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> x e. QQ )
66	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> x e. QQ )
67	13	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> 1 e. QQ )
68		neg1z 9403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u 1 e. ZZ
69	68	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> -u 1 e. ZZ )
70	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> 8 e. QQ )
71	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> 0 < 8 )
72		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> ( x mod 8 ) = 1 )
73	72, 24	eqtr4di 2255	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> ( x mod 8 ) = ( 1 mod 8 ) )
74	66, 67, 69, 70, 71, 73	modqmul1 10520	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> ( ( x x. -u 1 ) mod 8 ) = ( ( 1 x. -u 1 ) mod 8 ) )
75	64, 74	eqtr3d 2239	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> ( -u x mod 8 ) = ( ( 1 x. -u 1 ) mod 8 ) )
76	57	mullidi 8074	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 x. -u 1 ) = -u 1
77	76	oveq1i 5953	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 x. -u 1 ) mod 8 ) = ( -u 1 mod 8 )
78	77, 41	eqtri 2225	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 x. -u 1 ) mod 8 ) = 7
79	75, 78	eqtrdi 2253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> ( -u x mod 8 ) = 7 )
80	79	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ZZ -> ( ( x mod 8 ) = 1 -> ( -u x mod 8 ) = 7 ) )
81	62	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> ( x x. -u 1 ) = -u x )
82	81	oveq1d 5958	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> ( ( x x. -u 1 ) mod 8 ) = ( -u x mod 8 ) )
83	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> x e. QQ )
84	35	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> -u 1 e. QQ )
85	68	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> -u 1 e. ZZ )
86	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> 8 e. QQ )
87	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> 0 < 8 )
88		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> ( x mod 8 ) = 7 )
89	88, 41	eqtr4di 2255	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> ( x mod 8 ) = ( -u 1 mod 8 ) )
90	83, 84, 85, 86, 87, 89	modqmul1 10520	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> ( ( x x. -u 1 ) mod 8 ) = ( ( -u 1 x. -u 1 ) mod 8 ) )
91	82, 90	eqtr3d 2239	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> ( -u x mod 8 ) = ( ( -u 1 x. -u 1 ) mod 8 ) )
92		neg1mulneg1e1 9248	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -u 1 x. -u 1 ) = 1
93	92	oveq1i 5953	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u 1 x. -u 1 ) mod 8 ) = ( 1 mod 8 )
94	93, 24	eqtri 2225	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u 1 x. -u 1 ) mod 8 ) = 1
95	91, 94	eqtrdi 2253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> ( -u x mod 8 ) = 1 )
96	95	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ZZ -> ( ( x mod 8 ) = 7 -> ( -u x mod 8 ) = 1 ) )
97	80, 96	orim12d 787	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ZZ -> ( ( ( x mod 8 ) = 1 \/ ( x mod 8 ) = 7 ) -> ( ( -u x mod 8 ) = 7 \/ ( -u x mod 8 ) = 1 ) ) )
98		zmodcl 10487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ 8 e. NN ) -> ( x mod 8 ) e. NN0 )
99	2, 98	mpan2 425	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ZZ -> ( x mod 8 ) e. NN0 )
100		elprg 3652	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x mod 8 ) e. NN0 -> ( ( x mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( x mod 8 ) = 1 \/ ( x mod 8 ) = 7 ) ) )
101	99, 100	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ZZ -> ( ( x mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( x mod 8 ) = 1 \/ ( x mod 8 ) = 7 ) ) )
102		znegcl 9402	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ZZ -> -u x e. ZZ )
103	2	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ZZ -> 8 e. NN )
104	102, 103	zmodcld 10488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> ( -u x mod 8 ) e. NN0 )
105		elprg 3652	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u x mod 8 ) e. NN0 -> ( ( -u x mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( -u x mod 8 ) = 1 \/ ( -u x mod 8 ) = 7 ) ) )
106	104, 105	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ZZ -> ( ( -u x mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( -u x mod 8 ) = 1 \/ ( -u x mod 8 ) = 7 ) ) )
107		orcom 729	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -u x mod 8 ) = 1 \/ ( -u x mod 8 ) = 7 ) <-> ( ( -u x mod 8 ) = 7 \/ ( -u x mod 8 ) = 1 ) )
108	106, 107	bitrdi 196	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ZZ -> ( ( -u x mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( -u x mod 8 ) = 7 \/ ( -u x mod 8 ) = 1 ) ) )
109	97, 101, 108	3imtr4d 203	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ZZ -> ( ( x mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> ( -u x mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
110	55, 109	vtoclga 2838	. . . . . . . 8 |- ( -u B e. ZZ -> ( ( -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> ( -u -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
111	49, 110	syl 14	. . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> ( ( -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> ( -u -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
112	27	negnegd 8373	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ZZ -> -u -u B = B )
113	112	oveq1d 5958	. . . . . . . 8 |- ( B e. ZZ -> ( -u -u B mod 8 ) = ( B mod 8 ) )
114	113	eleq1d 2273	. . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> ( ( -u -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
115	111, 114	sylibd 149	. . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> ( ( -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
116		oveq1 5950	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> ( x mod 8 ) = ( B mod 8 ) )
117	116	eleq1d 2273	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( ( x mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
118		negeq 8264	. . . . . . . . . 10 |- ( x = B -> -u x = -u B )
119	118	oveq1d 5958	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> ( -u x mod 8 ) = ( -u B mod 8 ) )
120	119	eleq1d 2273	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( ( -u x mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
121	117, 120	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( ( ( x mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> ( -u x mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) <-> ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> ( -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) )
122	121, 109	vtoclga 2838	. . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> ( -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
123	115, 122	impbid 129	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> ( ( -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
124	123	ad2antlr 489	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> ( ( -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
125	48, 124	bitrd 188	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
126	32, 125	jaodan 798	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
127	8, 126	sylbi 121	1 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1372   e. wcel 2175   {cpr 3633   class class class wbr 4043  (class class class)co 5943   CCcc 7922   0cc0 7924   1c1 7925   x. cmul 7929   < clt 8106   -ucneg 8243   NNcn 9035   3c3 9087   5c5 9089   7c7 9091   8c8 9092   NN0cn0 9294   ZZcz 9371   QQcq 9739   mod cmo 10465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-5 9097  df-6 9098  df-7 9099  df-8 9100  df-n0 9295  df-z 9372  df-q 9740  df-rp 9775  df-fl 10411  df-mod 10466

This theorem is referenced by:  lgsdir2  15452