Theorem lgsdir2lem4 15356

Description: Lemma for lgsdir2 15358. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdir2lem4	|- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )

Proof of Theorem lgsdir2lem4

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> A e. ZZ )
2		8nn 9175	. . . . . . 7 |- 8 e. NN
3	2	a1i 9	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> 8 e. NN )
4	1, 3	zmodcld 10454	. . . . 5 |- ( A e. ZZ -> ( A mod 8 ) e. NN0 )
5		elprg 3643	. . . . 5 |- ( ( A mod 8 ) e. NN0 -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
7	6	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
8	7	pm5.32i 454	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) <-> ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
9		zq 9717	. . . . . . 7 |- ( A e. ZZ -> A e. QQ )
10	9	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> A e. QQ )
11		1nn 9018	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
12		nnq 9724	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. NN -> 1 e. QQ )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- 1 e. QQ
14	13	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> 1 e. QQ )
15		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> B e. ZZ )
16		nnq 9724	. . . . . . . 8 |- ( 8 e. NN -> 8 e. QQ )
17	2, 16	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- 8 e. QQ
18	17	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> 8 e. QQ )
19		8pos 9110	. . . . . . 7 |- 0 < 8
20	19	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> 0 < 8 )
21		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> ( A mod 8 ) = 1 )
22		lgsdir2lem1 15353	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 mod 8 ) = 1 /\ ( -u 1 mod 8 ) = 7 ) /\ ( ( 3 mod 8 ) = 3 /\ ( -u 3 mod 8 ) = 5 ) )
23	22	simpli 111	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 mod 8 ) = 1 /\ ( -u 1 mod 8 ) = 7 )
24	23	simpli 111	. . . . . . 7 |- ( 1 mod 8 ) = 1
25	21, 24	eqtr4di 2247	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> ( A mod 8 ) = ( 1 mod 8 ) )
26	10, 14, 15, 18, 20, 25	modqmul1 10486	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> ( ( A x. B ) mod 8 ) = ( ( 1 x. B ) mod 8 ) )
27		zcn 9348	. . . . . . . 8 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
28	27	ad2antlr 489	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> B e. CC )
29	28	mulid2d 8062	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> ( 1 x. B ) = B )
30	29	oveq1d 5940	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> ( ( 1 x. B ) mod 8 ) = ( B mod 8 ) )
31	26, 30	eqtrd 2229	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> ( ( A x. B ) mod 8 ) = ( B mod 8 ) )
32	31	eleq1d 2265	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 1 ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
33	9	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> A e. QQ )
34		qnegcl 9727	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. QQ -> -u 1 e. QQ )
35	13, 34	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- -u 1 e. QQ
36	35	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> -u 1 e. QQ )
37		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> B e. ZZ )
38	17	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> 8 e. QQ )
39	19	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> 0 < 8 )
40		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> ( A mod 8 ) = 7 )
41	23	simpri 113	. . . . . . . 8 |- ( -u 1 mod 8 ) = 7
42	40, 41	eqtr4di 2247	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> ( A mod 8 ) = ( -u 1 mod 8 ) )
43	33, 36, 37, 38, 39, 42	modqmul1 10486	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> ( ( A x. B ) mod 8 ) = ( ( -u 1 x. B ) mod 8 ) )
44	27	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> B e. CC )
45	44	mulm1d 8453	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> ( -u 1 x. B ) = -u B )
46	45	oveq1d 5940	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> ( ( -u 1 x. B ) mod 8 ) = ( -u B mod 8 ) )
47	43, 46	eqtrd 2229	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> ( ( A x. B ) mod 8 ) = ( -u B mod 8 ) )
48	47	eleq1d 2265	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
49		znegcl 9374	. . . . . . . 8 |- ( B e. ZZ -> -u B e. ZZ )
50		oveq1 5932	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = -u B -> ( x mod 8 ) = ( -u B mod 8 ) )
51	50	eleq1d 2265	. . . . . . . . . 10 |- ( x = -u B -> ( ( x mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
52		negeq 8236	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = -u B -> -u x = -u -u B )
53	52	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = -u B -> ( -u x mod 8 ) = ( -u -u B mod 8 ) )
54	53	eleq1d 2265	. . . . . . . . . 10 |- ( x = -u B -> ( ( -u x mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( -u -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
55	51, 54	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 |- ( x = -u B -> ( ( ( x mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> ( -u x mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) <-> ( ( -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> ( -u -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) )
56		zcn 9348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
57		neg1cn 9112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -u 1 e. CC
58		mulcom 8025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( x e. CC /\ -u 1 e. CC ) -> ( x x. -u 1 ) = ( -u 1 x. x ) )
59	57, 58	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( x x. -u 1 ) = ( -u 1 x. x ) )
60		mulm1 8443	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( -u 1 x. x ) = -u x )
61	59, 60	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. CC -> ( x x. -u 1 ) = -u x )
62	56, 61	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> ( x x. -u 1 ) = -u x )
63	62	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> ( x x. -u 1 ) = -u x )
64	63	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> ( ( x x. -u 1 ) mod 8 ) = ( -u x mod 8 ) )
65		zq 9717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> x e. QQ )
66	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> x e. QQ )
67	13	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> 1 e. QQ )
68		neg1z 9375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u 1 e. ZZ
69	68	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> -u 1 e. ZZ )
70	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> 8 e. QQ )
71	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> 0 < 8 )
72		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> ( x mod 8 ) = 1 )
73	72, 24	eqtr4di 2247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> ( x mod 8 ) = ( 1 mod 8 ) )
74	66, 67, 69, 70, 71, 73	modqmul1 10486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> ( ( x x. -u 1 ) mod 8 ) = ( ( 1 x. -u 1 ) mod 8 ) )
75	64, 74	eqtr3d 2231	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> ( -u x mod 8 ) = ( ( 1 x. -u 1 ) mod 8 ) )
76	57	mullidi 8046	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 x. -u 1 ) = -u 1
77	76	oveq1i 5935	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 x. -u 1 ) mod 8 ) = ( -u 1 mod 8 )
78	77, 41	eqtri 2217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 x. -u 1 ) mod 8 ) = 7
79	75, 78	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 1 ) -> ( -u x mod 8 ) = 7 )
80	79	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ZZ -> ( ( x mod 8 ) = 1 -> ( -u x mod 8 ) = 7 ) )
81	62	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> ( x x. -u 1 ) = -u x )
82	81	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> ( ( x x. -u 1 ) mod 8 ) = ( -u x mod 8 ) )
83	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> x e. QQ )
84	35	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> -u 1 e. QQ )
85	68	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> -u 1 e. ZZ )
86	17	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> 8 e. QQ )
87	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> 0 < 8 )
88		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> ( x mod 8 ) = 7 )
89	88, 41	eqtr4di 2247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> ( x mod 8 ) = ( -u 1 mod 8 ) )
90	83, 84, 85, 86, 87, 89	modqmul1 10486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> ( ( x x. -u 1 ) mod 8 ) = ( ( -u 1 x. -u 1 ) mod 8 ) )
91	82, 90	eqtr3d 2231	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> ( -u x mod 8 ) = ( ( -u 1 x. -u 1 ) mod 8 ) )
92		neg1mulneg1e1 9220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -u 1 x. -u 1 ) = 1
93	92	oveq1i 5935	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u 1 x. -u 1 ) mod 8 ) = ( 1 mod 8 )
94	93, 24	eqtri 2217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u 1 x. -u 1 ) mod 8 ) = 1
95	91, 94	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ ( x mod 8 ) = 7 ) -> ( -u x mod 8 ) = 1 )
96	95	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ZZ -> ( ( x mod 8 ) = 7 -> ( -u x mod 8 ) = 1 ) )
97	80, 96	orim12d 787	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ZZ -> ( ( ( x mod 8 ) = 1 \/ ( x mod 8 ) = 7 ) -> ( ( -u x mod 8 ) = 7 \/ ( -u x mod 8 ) = 1 ) ) )
98		zmodcl 10453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ 8 e. NN ) -> ( x mod 8 ) e. NN0 )
99	2, 98	mpan2 425	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ZZ -> ( x mod 8 ) e. NN0 )
100		elprg 3643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x mod 8 ) e. NN0 -> ( ( x mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( x mod 8 ) = 1 \/ ( x mod 8 ) = 7 ) ) )
101	99, 100	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ZZ -> ( ( x mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( x mod 8 ) = 1 \/ ( x mod 8 ) = 7 ) ) )
102		znegcl 9374	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ZZ -> -u x e. ZZ )
103	2	a1i 9	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ZZ -> 8 e. NN )
104	102, 103	zmodcld 10454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> ( -u x mod 8 ) e. NN0 )
105		elprg 3643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u x mod 8 ) e. NN0 -> ( ( -u x mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( -u x mod 8 ) = 1 \/ ( -u x mod 8 ) = 7 ) ) )
106	104, 105	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ZZ -> ( ( -u x mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( -u x mod 8 ) = 1 \/ ( -u x mod 8 ) = 7 ) ) )
107		orcom 729	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( -u x mod 8 ) = 1 \/ ( -u x mod 8 ) = 7 ) <-> ( ( -u x mod 8 ) = 7 \/ ( -u x mod 8 ) = 1 ) )
108	106, 107	bitrdi 196	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ZZ -> ( ( -u x mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( -u x mod 8 ) = 7 \/ ( -u x mod 8 ) = 1 ) ) )
109	97, 101, 108	3imtr4d 203	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ZZ -> ( ( x mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> ( -u x mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
110	55, 109	vtoclga 2830	. . . . . . . 8 |- ( -u B e. ZZ -> ( ( -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> ( -u -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
111	49, 110	syl 14	. . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> ( ( -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> ( -u -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
112	27	negnegd 8345	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ZZ -> -u -u B = B )
113	112	oveq1d 5940	. . . . . . . 8 |- ( B e. ZZ -> ( -u -u B mod 8 ) = ( B mod 8 ) )
114	113	eleq1d 2265	. . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> ( ( -u -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
115	111, 114	sylibd 149	. . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> ( ( -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
116		oveq1 5932	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> ( x mod 8 ) = ( B mod 8 ) )
117	116	eleq1d 2265	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( ( x mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
118		negeq 8236	. . . . . . . . . 10 |- ( x = B -> -u x = -u B )
119	118	oveq1d 5940	. . . . . . . . 9 |- ( x = B -> ( -u x mod 8 ) = ( -u B mod 8 ) )
120	119	eleq1d 2265	. . . . . . . 8 |- ( x = B -> ( ( -u x mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
121	117, 120	imbi12d 234	. . . . . . 7 |- ( x = B -> ( ( ( x mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> ( -u x mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) <-> ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> ( -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) )
122	121, 109	vtoclga 2830	. . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> ( -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
123	115, 122	impbid 129	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> ( ( -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
124	123	ad2antlr 489	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> ( ( -u B mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
125	48, 124	bitrd 188	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) = 7 ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
126	32, 125	jaodan 798	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
127	8, 126	sylbi 121	1 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2167   {cpr 3624   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925   CCcc 7894   0cc0 7896   1c1 7897   x. cmul 7901   < clt 8078   -ucneg 8215   NNcn 9007   3c3 9059   5c5 9061   7c7 9063   8c8 9064   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   QQcq 9710   mod cmo 10431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-n0 9267  df-z 9344  df-q 9711  df-rp 9746  df-fl 10377  df-mod 10432

This theorem is referenced by:  lgsdir2  15358