Theorem mulm1 8721

Description: Product with minus one is negative. (Contributed by NM, 16-Nov-1999.)

Assertion

Ref	Expression
mulm1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Proof of Theorem mulm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 8266	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		mulneg1 8716	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-1 · 𝐴) = -(1 · 𝐴))
3	1, 2	mpan 428	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -(1 · 𝐴))
4		mullid 8318	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
5	4	negeqd 8515	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(1 · 𝐴) = -𝐴)
6	3, 5	eqtrd 2271	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6079  ℂcc 8171  1c1 8174   · cmul 8178  -cneg 8492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-setind 4682  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-sub 8493  df-neg 8494

This theorem is referenced by:  mulm1i  8724  mulm1d  8731  div2negap  9059  demoivreALT  12524  sinmpi  15899  cosmpi  15900  sinppi  15901  cosppi  15902  rprelogbdiv  16042  lgsdir2lem4  16133