Theorem mulneg1 8722

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 14-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A x. B ) = -u ( A x. B ) )

Proof of Theorem mulneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 8318	. . . 4 |- 0 e. CC
2		subdir 8713	. . . 4 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 0 - A ) x. B ) = ( ( 0 x. B ) - ( A x. B ) ) )
3	1, 2	mp3an1 1365	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 0 - A ) x. B ) = ( ( 0 x. B ) - ( A x. B ) ) )
4		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
5	4	mul02d 8719	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 0 x. B ) = 0 )
6	5	oveq1d 6100	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 0 x. B ) - ( A x. B ) ) = ( 0 - ( A x. B ) ) )
7	3, 6	eqtrd 2271	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 0 - A ) x. B ) = ( 0 - ( A x. B ) ) )
8		df-neg 8500	. . 3 |- -u A = ( 0 - A )
9	8	oveq1i 6095	. 2 |- ( -u A x. B ) = ( ( 0 - A ) x. B )
10		df-neg 8500	. 2 |- -u ( A x. B ) = ( 0 - ( A x. B ) )
11	7, 9, 10	3eqtr4g 2296	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A x. B ) = -u ( A x. B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   CCcc 8177   0cc0 8179   x. cmul 8184   - cmin 8497   -ucneg 8498

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8499  df-neg 8500

This theorem is used by:  mulneg2  8723  mulneg12  8724  mulm1  8727  mulneg1i  8731  mulneg1d  8738  divnegap  9036  zmulcl  9698  cjreim  11669  tanval3ap  12481  dvdsnegb  12575  odd2np1  12640  modgcd  12768  pcexp  13088  cnfldmulg  14913  sinperlem  15909