Theorem mulneg1 8369

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 14-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A x. B ) = -u ( A x. B ) )

Proof of Theorem mulneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 7966	. . . 4 |- 0 e. CC
2		subdir 8360	. . . 4 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 0 - A ) x. B ) = ( ( 0 x. B ) - ( A x. B ) ) )
3	1, 2	mp3an1 1334	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 0 - A ) x. B ) = ( ( 0 x. B ) - ( A x. B ) ) )
4		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
5	4	mul02d 8366	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 0 x. B ) = 0 )
6	5	oveq1d 5905	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 0 x. B ) - ( A x. B ) ) = ( 0 - ( A x. B ) ) )
7	3, 6	eqtrd 2221	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 0 - A ) x. B ) = ( 0 - ( A x. B ) ) )
8		df-neg 8148	. . 3 |- -u A = ( 0 - A )
9	8	oveq1i 5900	. 2 |- ( -u A x. B ) = ( ( 0 - A ) x. B )
10		df-neg 8148	. 2 |- -u ( A x. B ) = ( 0 - ( A x. B ) )
11	7, 9, 10	3eqtr4g 2246	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A x. B ) = -u ( A x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1363   e. wcel 2159  (class class class)co 5890   CCcc 7826   0cc0 7828   x. cmul 7833   - cmin 8145   -ucneg 8146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-setind 4550  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-addcom 7928  ax-mulcom 7929  ax-addass 7930  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-cnre 7939

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-br 4018  df-opab 4079  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-sub 8147  df-neg 8148

This theorem is referenced by:  mulneg2  8370  mulneg12  8371  mulm1  8374  mulneg1i  8378  mulneg1d  8385  divnegap  8680  zmulcl  9323  cjreim  10929  tanval3ap  11739  dvdsnegb  11832  odd2np1  11895  modgcd  12009  pcexp  12326  cnfldmulg  13839  sinperlem  14612