Theorem mulneg1 8416

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 14-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A x. B ) = -u ( A x. B ) )

Proof of Theorem mulneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 8013	. . . 4 |- 0 e. CC
2		subdir 8407	. . . 4 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 0 - A ) x. B ) = ( ( 0 x. B ) - ( A x. B ) ) )
3	1, 2	mp3an1 1335	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 0 - A ) x. B ) = ( ( 0 x. B ) - ( A x. B ) ) )
4		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
5	4	mul02d 8413	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 0 x. B ) = 0 )
6	5	oveq1d 5934	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 0 x. B ) - ( A x. B ) ) = ( 0 - ( A x. B ) ) )
7	3, 6	eqtrd 2226	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 0 - A ) x. B ) = ( 0 - ( A x. B ) ) )
8		df-neg 8195	. . 3 |- -u A = ( 0 - A )
9	8	oveq1i 5929	. 2 |- ( -u A x. B ) = ( ( 0 - A ) x. B )
10		df-neg 8195	. 2 |- -u ( A x. B ) = ( 0 - ( A x. B ) )
11	7, 9, 10	3eqtr4g 2251	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A x. B ) = -u ( A x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164  (class class class)co 5919   CCcc 7872   0cc0 7874   x. cmul 7879   - cmin 8192   -ucneg 8193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-setind 4570  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-sub 8194  df-neg 8195

This theorem is referenced by:  mulneg2  8417  mulneg12  8418  mulm1  8421  mulneg1i  8425  mulneg1d  8432  divnegap  8727  zmulcl  9373  cjreim  11050  tanval3ap  11860  dvdsnegb  11954  odd2np1  12017  modgcd  12131  pcexp  12450  cnfldmulg  14075  sinperlem  14984