ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulneg1 Unicode version

Theorem mulneg1 7820
Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 14-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mulneg1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u A  x.  B )  =  -u ( A  x.  B
) )

Proof of Theorem mulneg1
StepHypRef Expression
1 0cn 7427 . . . 4  |-  0  e.  CC
2 subdir 7811 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( 0  -  A
)  x.  B )  =  ( ( 0  x.  B )  -  ( A  x.  B
) ) )
31, 2mp3an1 1258 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 0  -  A )  x.  B
)  =  ( ( 0  x.  B )  -  ( A  x.  B ) ) )
4 simpr 108 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
54mul02d 7817 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 0  x.  B
)  =  0 )
65oveq1d 5630 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 0  x.  B )  -  ( A  x.  B )
)  =  ( 0  -  ( A  x.  B ) ) )
73, 6eqtrd 2117 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 0  -  A )  x.  B
)  =  ( 0  -  ( A  x.  B ) ) )
8 df-neg 7603 . . 3  |-  -u A  =  ( 0  -  A )
98oveq1i 5625 . 2  |-  ( -u A  x.  B )  =  ( ( 0  -  A )  x.  B )
10 df-neg 7603 . 2  |-  -u ( A  x.  B )  =  ( 0  -  ( A  x.  B
) )
117, 9, 103eqtr4g 2142 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u A  x.  B )  =  -u ( A  x.  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1287    e. wcel 1436  (class class class)co 5615   CCcc 7295   0cc0 7297    x. cmul 7302    - cmin 7600   -ucneg 7601
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-setind 4328  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-addcom 7392  ax-mulcom 7393  ax-addass 7394  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-cnre 7403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-br 3823  df-opab 3877  df-id 4096  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-sub 7602  df-neg 7603
This theorem is referenced by:  mulneg2  7821  mulneg12  7822  mulm1  7825  mulneg1i  7829  mulneg1d  7836  divnegap  8115  zmulcl  8739  cjreim  10254  dvdsnegb  10738  odd2np1  10798  modgcd  10907
  Copyright terms: Public domain W3C validator