Theorem mulneg1 8467

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 14-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A x. B ) = -u ( A x. B ) )

Proof of Theorem mulneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 8064	. . . 4 |- 0 e. CC
2		subdir 8458	. . . 4 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 0 - A ) x. B ) = ( ( 0 x. B ) - ( A x. B ) ) )
3	1, 2	mp3an1 1337	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 0 - A ) x. B ) = ( ( 0 x. B ) - ( A x. B ) ) )
4		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
5	4	mul02d 8464	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 0 x. B ) = 0 )
6	5	oveq1d 5959	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 0 x. B ) - ( A x. B ) ) = ( 0 - ( A x. B ) ) )
7	3, 6	eqtrd 2238	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 0 - A ) x. B ) = ( 0 - ( A x. B ) ) )
8		df-neg 8246	. . 3 |- -u A = ( 0 - A )
9	8	oveq1i 5954	. 2 |- ( -u A x. B ) = ( ( 0 - A ) x. B )
10		df-neg 8246	. 2 |- -u ( A x. B ) = ( 0 - ( A x. B ) )
11	7, 9, 10	3eqtr4g 2263	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A x. B ) = -u ( A x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176  (class class class)co 5944   CCcc 7923   0cc0 7925   x. cmul 7930   - cmin 8243   -ucneg 8244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-setind 4585  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-sub 8245  df-neg 8246

This theorem is referenced by:  mulneg2  8468  mulneg12  8469  mulm1  8472  mulneg1i  8476  mulneg1d  8483  divnegap  8779  zmulcl  9426  cjreim  11214  tanval3ap  12025  dvdsnegb  12119  odd2np1  12184  modgcd  12312  pcexp  12632  cnfldmulg  14338  sinperlem  15280