Theorem mulneg1 8024

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 14-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
mulneg1	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A x. B ) = -u ( A x. B ) )

Proof of Theorem mulneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 7630	. . . 4 |- 0 e. CC
2		subdir 8015	. . . 4 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 0 - A ) x. B ) = ( ( 0 x. B ) - ( A x. B ) ) )
3	1, 2	mp3an1 1270	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 0 - A ) x. B ) = ( ( 0 x. B ) - ( A x. B ) ) )
4		simpr 109	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> B e. CC )
5	4	mul02d 8021	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 0 x. B ) = 0 )
6	5	oveq1d 5721	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 0 x. B ) - ( A x. B ) ) = ( 0 - ( A x. B ) ) )
7	3, 6	eqtrd 2132	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( 0 - A ) x. B ) = ( 0 - ( A x. B ) ) )
8		df-neg 7807	. . 3 |- -u A = ( 0 - A )
9	8	oveq1i 5716	. 2 |- ( -u A x. B ) = ( ( 0 - A ) x. B )
10		df-neg 7807	. 2 |- -u ( A x. B ) = ( 0 - ( A x. B ) )
11	7, 9, 10	3eqtr4g 2157	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A x. B ) = -u ( A x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1299   e. wcel 1448  (class class class)co 5706   CCcc 7498   0cc0 7500   x. cmul 7505   - cmin 7804   -ucneg 7805

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-setind 4390  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-sub 7806  df-neg 7807

This theorem is referenced by:  mulneg2  8025  mulneg12  8026  mulm1  8029  mulneg1i  8033  mulneg1d  8040  divnegap  8327  zmulcl  8959  cjreim  10516  tanval3ap  11219  dvdsnegb  11305  odd2np1  11365  modgcd  11474