Theorem negm 9617

Description: The image under negation of an inhabited set of reals is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
negm	|- ( ( A C_ RR /\ E. x x e. A ) -> E. y y e. { z e. RR | -u z e. A } )

Distinct variable group:   x, A, y, z

Proof of Theorem negm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3151	. . . . 5 |- ( A C_ RR -> ( x e. A -> x e. RR ) )
2		renegcl 8220	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> -u x e. RR )
3		negeq 8152	. . . . . . . . . 10 |- ( z = -u x -> -u z = -u -u x )
4	3	eleq1d 2246	. . . . . . . . 9 |- ( z = -u x -> ( -u z e. A <-> -u -u x e. A ) )
5	4	elrab3 2896	. . . . . . . 8 |- ( -u x e. RR -> ( -u x e. { z e. RR | -u z e. A } <-> -u -u x e. A ) )
6	2, 5	syl 14	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( -u x e. { z e. RR | -u z e. A } <-> -u -u x e. A ) )
7		recn 7946	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> x e. CC )
8	7	negnegd 8261	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> -u -u x = x )
9	8	eleq1d 2246	. . . . . . 7 |- ( x e. RR -> ( -u -u x e. A <-> x e. A ) )
10	6, 9	bitrd 188	. . . . . 6 |- ( x e. RR -> ( -u x e. { z e. RR | -u z e. A } <-> x e. A ) )
11	10	biimprd 158	. . . . 5 |- ( x e. RR -> ( x e. A -> -u x e. { z e. RR | -u z e. A } ) )
12	1, 11	syli 37	. . . 4 |- ( A C_ RR -> ( x e. A -> -u x e. { z e. RR | -u z e. A } ) )
13		elex2 2755	. . . 4 |- ( -u x e. { z e. RR | -u z e. A } -> E. y y e. { z e. RR | -u z e. A } )
14	12, 13	syl6 33	. . 3 |- ( A C_ RR -> ( x e. A -> E. y y e. { z e. RR | -u z e. A } ) )
15	14	exlimdv 1819	. 2 |- ( A C_ RR -> ( E. x x e. A -> E. y y e. { z e. RR | -u z e. A } ) )
16	15	imp 124	1 |- ( ( A C_ RR /\ E. x x e. A ) -> E. y y e. { z e. RR | -u z e. A } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   {crab 2459   C_ wss 3131   RRcr 7812   -ucneg 8131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-setind 4538  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-sub 8132  df-neg 8133

This theorem is referenced by: (None)