Theorem eqreznegel 9679

Description: Two ways to express the image under negation of a set of integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
eqreznegel	|- ( A C_ ZZ -> { z e. RR | -u z e. A } = { z e. ZZ | -u z e. A } )

Distinct variable group:   z, A

Proof of Theorem eqreznegel

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3173	. . . . . . . 8 |- ( A C_ ZZ -> ( -u w e. A -> -u w e. ZZ ) )
2		recn 8005	. . . . . . . . 9 |- ( w e. RR -> w e. CC )
3		negid 8266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. CC -> ( w + -u w ) = 0 )
4		0z 9328	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ZZ
5	3, 4	eqeltrdi 2284	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. CC -> ( w + -u w ) e. ZZ )
6	5	pm4.71i 391	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. CC <-> ( w e. CC /\ ( w + -u w ) e. ZZ ) )
7		zrevaddcl 9367	. . . . . . . . . 10 |- ( -u w e. ZZ -> ( ( w e. CC /\ ( w + -u w ) e. ZZ ) <-> w e. ZZ ) )
8	6, 7	bitrid 192	. . . . . . . . 9 |- ( -u w e. ZZ -> ( w e. CC <-> w e. ZZ ) )
9	2, 8	imbitrid 154	. . . . . . . 8 |- ( -u w e. ZZ -> ( w e. RR -> w e. ZZ ) )
10	1, 9	syl6 33	. . . . . . 7 |- ( A C_ ZZ -> ( -u w e. A -> ( w e. RR -> w e. ZZ ) ) )
11	10	com23 78	. . . . . 6 |- ( A C_ ZZ -> ( w e. RR -> ( -u w e. A -> w e. ZZ ) ) )
12	11	impd 254	. . . . 5 |- ( A C_ ZZ -> ( ( w e. RR /\ -u w e. A ) -> w e. ZZ ) )
13		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( w e. RR /\ -u w e. A ) -> -u w e. A )
14	13	a1i 9	. . . . 5 |- ( A C_ ZZ -> ( ( w e. RR /\ -u w e. A ) -> -u w e. A ) )
15	12, 14	jcad 307	. . . 4 |- ( A C_ ZZ -> ( ( w e. RR /\ -u w e. A ) -> ( w e. ZZ /\ -u w e. A ) ) )
16		zre 9321	. . . . 5 |- ( w e. ZZ -> w e. RR )
17	16	anim1i 340	. . . 4 |- ( ( w e. ZZ /\ -u w e. A ) -> ( w e. RR /\ -u w e. A ) )
18	15, 17	impbid1 142	. . 3 |- ( A C_ ZZ -> ( ( w e. RR /\ -u w e. A ) <-> ( w e. ZZ /\ -u w e. A ) ) )
19		negeq 8212	. . . . 5 |- ( z = w -> -u z = -u w )
20	19	eleq1d 2262	. . . 4 |- ( z = w -> ( -u z e. A <-> -u w e. A ) )
21	20	elrab 2916	. . 3 |- ( w e. { z e. RR | -u z e. A } <-> ( w e. RR /\ -u w e. A ) )
22	20	elrab 2916	. . 3 |- ( w e. { z e. ZZ | -u z e. A } <-> ( w e. ZZ /\ -u w e. A ) )
23	18, 21, 22	3bitr4g 223	. 2 |- ( A C_ ZZ -> ( w e. { z e. RR | -u z e. A } <-> w e. { z e. ZZ | -u z e. A } ) )
24	23	eqrdv 2191	1 |- ( A C_ ZZ -> { z e. RR | -u z e. A } = { z e. ZZ | -u z e. A } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   {crab 2476   C_ wss 3153  (class class class)co 5918   CCcc 7870   RRcr 7871   0cc0 7872   + caddc 7875   -ucneg 8191   ZZcz 9317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318

This theorem is referenced by: (None)